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| Aufgabe | Welche Funktion wird dargestellt [mm] \summe_{n=1}^{\infty}-(\bruch{1}{3})^{n+2}*x^{n+1}?
[/mm]
Guten Tag alle zusammen,
ich habe zwei Fragen zu dieser Aufgabe erstens verstehe ich nicht was mit der Funktion gemeint ist bzw. ich habe keine Ahnung auf welche Funktion das hinaus laufen soll?
Lösungsversuch: die Funktion ähnelt ja einer geometrischen Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}-(\bruch{1}{3})^{n+2}*x^{n+1}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=1}^{\infty}-(\bruch{1}{3})^{n}*-(\bruch{1}{3})^{2}*x*x^n
[/mm]
[mm] =\summe_{n=1}^{\infty}x^n*-(\bruch{1}{3})^{n}*(\bruch{1}{9})*x
[/mm]
[mm] q=-(\bruch{x}{3})^{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{x}{9}*\bruch{1}{1--(\bruch{x}{3})}
[/mm]
[mm] =\bruch{x}{9}*\bruch{3}{3+x}
[/mm]
[mm] =\bruch{x}{3(3+x)} [/mm] |
Frage zwei: gesetz dem Fall meine Berechnung stimmt bis hier hin. Weiß ich jetzt nicht mehr weiter, was muss ich den jetzt noch machen?
Oder kann man jetzt die Funktion erkennen(also ich seh da nichts)?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Welche Funktion wird dargestellt
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}-(\bruch{1}{3})^{n+2}*x^{n+1}?[/mm]
>
> Guten Tag alle zusammen,
>
> ich habe zwei Fragen zu dieser Aufgabe erstens verstehe ich
> nicht was mit der Funktion gemeint ist bzw. ich habe keine
> Ahnung auf welche Funktion das hinaus laufen soll?
>
> Lösungsversuch: die Funktion ähnelt ja einer
> geometrischen Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}-(\bruch{1}{3})^{n+2}*x^{n+1}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{n=1}^{\infty}-(\bruch{1}{3})^{n}*-(\bruch{1}{3})^{2}*x*x^n[/mm]
zieh' das Minuszeichen am Besten direkt vor die Summe - und oben hast
Du ein Minus zu viel! (Vermutlich ist das aber nur ein Verschreiber!)
> [mm]=\summe_{n=1}^{\infty}x^n*-(\bruch{1}{3})^{n}*(\bruch{1}{9})*x[/mm]
>
> [mm]q=-(\bruch{x}{3})^{n}[/mm]
Hier wird's dann falsch. (Übrigens wäre Deine Rechnung fast korrekt,
wenn Du von Anfang an
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{1}{3}\right)^{n+2}*x^{n+1}$$
[/mm]
vorliegen hattest - war dem so? Sie ist dann "minimal" falsch, weil Dir noch
ein Faktor [mm] $(-x/3)\,$ [/mm] fehlt - siehe untenstehende Formel [mm] $\red{(\*)}$!
[/mm]
Und zudem wäre $q [mm] \not=-(x/3)^n\,$ [/mm] - das ist doch schon schlecht, wenn
[mm] $q=q_n\,$ [/mm] wäre - SONDERN, und so hast Du (bis auf den bereits schon
erwähnten Fehler)
auch gerechnet: Es ist dann [mm] $q=\;-\;\frac{x}{3}\,.$ [/mm] Und es fehlt noch
ein Hinweis, für (genau) welche [mm] $x\,$ [/mm] Du so rechnen darfst, wie Du es
getan hast!)
Vorweg, es gilt für jedes $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] und $N [mm] \in \IN_0$
[/mm]
[mm] $$\red{(\*)}\;\;\;\;\;\;\sum_{k=N}^\infty q^k=\frac{q^N}{1-q}\,.$$
[/mm]
(Beweis? Zudem beachte, dass die Reihe GENAU für alle [mm] $|q|<1\,$ [/mm] konvergiert!)
Daher
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty}-\left(\bruch{1}{3}\right)^{n+2}*x^{n+1}=-\;\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{3}\right)^{n+2}*x^{n+1}=-\;\frac{x}{9}\;\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{x}{3}\right)^n$$
[/mm]
Jetzt musst Du [mm] $\left|\frac{x}{3}\right|<1$ [/mm] fordern, damit die dort
stehende Reihe konvergiert (für genau welche [mm] $x\,$ [/mm] konvergiert sie also?),
und dann kannst Du die vorgegebene Formel aus [mm] $\red{(\*)}$ [/mm] anwenden!
Und zu Deiner Schlussfrage:
Wenn man fragen würde: Welche Funktion wird dargestellt:
[mm] $$(x^2+x-1)*\sum_{k=0}^\infty x^k$$
[/mm]
Dann wäre die Antwort:
Es wird (etwa) die Funktion
$$f [mm] \colon \{r \in \red{\IR}:\;\; |r| < 1\} \to \red{\IR}$$
[/mm]
mit [mm] $f(x):=(x^2+x-1)*\frac{1}{1-x}$ [/mm] dargestellt. (Ganz eindeutig kann die
Funktion nicht angegeben werden, weil ich ja etwa einfach den Zielbereich
vergößern könnte, ohne den Rest der Funktion zu ändern... oder ich
könnte den Definitionsbereich verkleinern - wobei man in dem
Zusammenhang hier das aber sicher nicht will, sondern man will "einen
'maximalen' Definitionsbereich".)
(Dabei kann man, je nachdem, in welchem Zusammenhang die Aufgabe
gestellt ist, hier etwa auch [mm] $\red{\IR}$ [/mm] durch [mm] $\IC$ [/mm] ersetzen!)
Kurz würde man einfach sagen: Es wird die Funktion [mm] $(x^2+x-1)*\frac{1}{1-x}$ [/mm] für $|x| < [mm] 1\,$ [/mm]
dargestellt - oder "etwas" besser:
Es wird die Funktion $x [mm] \mapsto (x^2+x-1)*\frac{1}{1-x}$ [/mm] für $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] dargestellt.
(Lies' ruhig etwa nochmal im Heuser nach, welche üblichen "verkürzenden
Sprechweisen" es zur 'Beschreibung' einer Funktion gibt.)
Ich denke, Du weißt nun, wie Du das zu Ende zu rechnen hast, und kannst
einen entsprechenden Antwortsatz auch formulieren?!
P.S. Prüfe aber erstmal, ob die Reihe so vorlag, wie ich sie nun gerechnet
habe, oder ob Du einfach falsch geklammert hast. In letzterem Falle ist,
wie gesagt, Deine Rechnung FAST korrekt - und mit meinem obigen
Hinweis solltest Du den Fehler finden!
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Hey Marcel,
es gilt [mm] |\bruch{x}{3}|<1
[/mm]
also für alle |x|<3
die Aufgabe lautet wie folgt:
[mm] \sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{1}{3}\right)^{n+2}\cdot{}x^{n+1}
[/mm]
also Schreibfehler meiner seits, sorry. Du sagst mir fehlt ein Faktor [mm] -\bruch{x}{3}
[/mm]
Die Formel lautet ja: [mm] \sum_{k=N}^\infty q^k=\frac{q^N}{1-q} [/mm] für N [mm] \in N_{0}
[/mm]
ich hatte ja [mm] \bruch{x}{9}* \bruch{3}{3+x}
[/mm]
müsste es demzufolge [mm] \bruch{x}{9}*\bruch {\bruch{-x}{3}}{1+\bruch{x}{3}} [/mm] |
heißen? Falls ja warum dann aber N [mm] \in N_{0}, [/mm] das würde ja irgendwie nicht passen.
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey Marcel,
>
> es gilt [mm]|\bruch{x}{3}|<1[/mm]
>
> also für alle |x|<3
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Schreib's aber lieber mathematisch ausführlich auf:
Die Reihe konvergiert genau für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x/3| < 1 [mm] \iff [/mm] |x| < [mm] 3\,.$
[/mm]
>
> die Aufgabe lautet wie folgt:
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{1}{3}\right)^{n+2}\cdot{}x^{n+1}[/mm]
> also Schreibfehler meiner seits, sorry.
Macht nix!
> Du sagst mir fehlt
> ein Faktor [mm]-\bruch{x}{3}[/mm]
>
> Die Formel lautet ja: [mm]\sum_{k=N}^\infty q^k=\frac{q^N}{1-q}[/mm]
> für N [mm]\in N_{0}[/mm]
>
> ich hatte ja [mm]\bruch{x}{9}* \bruch{3}{3+x}[/mm]
>
> müsste es demzufolge [mm]\bruch{x}{9}*\bruch {\bruch{-x}{3}}{1+\bruch{x}{3}}[/mm]
>
> heißen?
Ja, denn es ist für [mm] $|q|<1\,$
[/mm]
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty q^k=q*\sum_{\ell=0}^\infty q^\ell=\red{q}*\frac{1}{1-q}=\frac{q}{1-q}\,.$$
[/mm]
Ja! Oder - Du hattest sowas doch schon umgeformt -
[mm] $$\;-\;\frac{x}{3}*\frac{x}{9}*\frac{3}{3+x}=\;-\;\frac{x}{3}*\frac{x}{3}*\frac{1}{3+x}=\;-\;\left(\frac{x}{3}\right)^2*\frac{1}{3+x}\,.$$
[/mm]
> Falls ja warum dann aber N [mm]\in N_{0},[/mm] das würde
> ja irgendwie nicht passen.
Warum nicht? Die Formel passt FÜR JEDES $N [mm] \in \IN_0\,,$ [/mm] sofern auch [mm] $q\,$ [/mm] mit [mm] $|q|<1\,$ [/mm]
ist. Bei Dir ist doch nur speziell [mm] $N=1\,,$ [/mm] und es ist $1 [mm] \in \IN_0\,.$ [/mm] Hast Du
die Formel mal bewiesen? (Ich habe sie ja nun quasi oben für speziell
[mm] $N=1\,$ [/mm] hergeleitet!)
P.S. Wenn Du unbedingt willst (entsprechend kann man auch die Formel
beweisen), kannst Du das ganze auch nochmal so rechnen:
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{1}{3}\right)^{n+2}\cdot{}x^{n+1}=\left(-\frac{1}{3}\right)^3*x^2*\sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}\cdot{}x^{n-1}$$
[/mm]
Substituiere [mm] $\ell:=n-1\,,$ [/mm] dann durchläuft [mm] $\ell$ [/mm] genau alle natürliche Zahlen $0,1,2,3,...,$
in dieser Reihenfolge, weil [mm] $n\,$ [/mm] alle natürlichen $1,2,3...$ in dieser Reihenfolge
durchläuft (bei den Summanden findet also kein Vertauschen der
Reihenfolge statt).
Dann kannst Du einfach mit
[mm] $$\sum_{\ell=0}^\infty q^\ell=\frac{1}{1-q}$$
[/mm]
arbeiten. Und kommst zum gleichen Ergebnis wie oben!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Fr 05.04.2013 | | Autor: | JamesDean |
Vielen Dank Marcel für deine Geduld.
Natürlich sieht die Formel folgendermaßen aus: [mm] \frac{x}{3}\cdot{}\frac{x}{9}\cdot{}\frac{3}{3+x}
[/mm]
Dieser ganze Reihenkram macht mich noch ........... Normalerweise kann ich die geometrische Reihe aus dem FF. Aber dadurch das man jetzt "fast täglich" neue Reihen kennen lernt, kommt man durcheinander. Vielen Dank für deine Hilfe.
Top Forum, mit Top Leuten
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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| Aufgabe | Das minus habe ich vergessen mit auf zu schreiben...
Ein neuer Tag eine neue Reihe 
Neue Aufgabe:
Wie lautet die Potenzreihe von arctan(x) für [mm] x_{0}=0?
[/mm]
Hinweiß: es gilt arctan(x) = [mm] \integral{\bruch{1}{1+x^2} dx}
[/mm]
Laut verschiedenen Mathe-Büchern lautet die Taylorreihe/Potenzreihe im Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0 [/mm] :
[mm] \sum_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{2n+1}*x^{2n+1}
[/mm]
[mm] arctan(x)=x-\bruch{x^3}{3}+\bruch{x^5}{5}-\bruch{x^7}{7}+...
[/mm]
Die Herleitung fehlt natürlich...
Vermutlich muss ich jetzt ableiten, also wird aus arctan(x) = [mm] \integral{\bruch{1}{1+x^2} dx}
[/mm]
[mm] arctan'(x)=\bruch{d}{dx}*\bruch{1}{1+x^2} [/mm]
[mm] arctan'(x)=\bruch{d}{dx}*1(1+x^2)^{-1}
[/mm]
[mm] arctan'(x)=(-1)*(2x)*(1+x^2)^{-2}
[/mm]
[mm] arctan'(x)=\bruch{-2x}{(1+x^2)^{2}} [/mm] |
Guten Tag,
fragen wir mal so taugt mein Ansatz was? Und wie geht es jetzt weiter?
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Sa 06.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieder geom. Reihe und die integrieren!
die geom Reihe ist so grundlegend, dass man sie immer wieder benutzen kann, deshal die vielen Übungen dazu!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Sa 06.04.2013 | | Autor: | JamesDean |
| Aufgabe | | Achso das heißt ich integriere [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] |
Guten Tag,
Und schon mal danke.
Mit freundlichen grüßen
J.dean
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