Funktion einschränken < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Do 19.07.2012 | | Autor: | Hikari |
| Aufgabe | | Zeigen Sie,dass die Funktion f:reelle [mm] Zahlen^{2}->reelle Zahlen,(x,y)->3x^{4}-4x^{2}*y+y^{2} [/mm] eingeschränkt auf eine Gerade durch den Ursprung, dort ein lokales Minimum besitzt.Ist der Ursprung lokales Minimum von f? |
Ich würde jetzt sobald ich die nebenbedingung habe, lagrage anwenden aber ich weiß wirklich nicht wie man die funktion auf eine gerade durch den ursprung einschränkt.Kann mir bitte jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Do 19.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie,dass die Funktion f:reelle [mm]Zahlen^{2}->reelle Zahlen,(x,y)->3x^{4}-4x^{2}*y+y^{2}[/mm]
Du meinst sicher
f: [mm]\IR^{2}->\IR,
(x,y)->3x^{4}-4x^{2}*y+y^{2}[/mm]
> eingeschränkt auf eine Gerade durch den Ursprung, dort ein
> lokales Minimum besitzt.Ist der Ursprung lokales Minimum
> von f?
> Ich würde jetzt sobald ich die nebenbedingung habe,
> lagrage anwenden
Das ist mit Kanonen auf Spatzen geschossen !
Für eine Gerade durch den Ursprung gibt es 2 Möglichkeiten:
1. Geradengleichung y=mx oder 2. Geradengleichung x=0
Für 1. zeige, dass g(x):=f(x,mx) in x=0 ein lokales Minimum hat.
Für 2. zeige, dass h(y):=f(0,y) in xy=0 ein lokales Minimum hat.
FRED
> aber ich weiß wirklich nicht wie man die
> funktion auf eine gerade durch den ursprung
> einschränkt.Kann mir bitte jemand helfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Do 19.07.2012 | | Autor: | Hikari |
Das mit den Geradengleichungen hatte ich mir auch überlegt.Aber wir gehen ja von [mm] (IR)^{2}->\IR-muss [/mm] man da nicht mit einem Vektor anfangen?und ich kann mir leider auch nicht vorstellen wie g(x):=f(x,mx) und h(y):=f(0,y) konkret aussehen.setzt man da einfach für y die nebenbedingung ein oder wie?bzw wieso belässt man es bei der zweiten variante mit y?
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> Das mit den Geradengleichungen hatte ich mir auch
> überlegt.Aber wir gehen ja von [mm](IR)^{2}->\IR-muss[/mm] man da
> nicht mit einem Vektor anfangen?und ich kann mir leider
> auch nicht vorstellen wie g(x):=f(x,mx) und h(y):=f(0,y)
> konkret aussehen.setzt man da einfach für y die
> nebenbedingung ein oder wie?bzw wieso belässt man es bei
> der zweiten variante mit y?
Hallo,
Du hattest richtig festgestellt, daß Deine Aufgabe eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung ist.
Die NB "Gerade durch den Ursprung" lautet als Gleichung entweder
1. y=Mx oder
2. x=0.
(Letztere Gerade ist die Gerade, die auf der y-Achse liegt.)
Deine Idee war, die Aufgabe mit der Lagrangefunktion zu untersuchen. Das kann man machen, und das funktioniert.
Fred schlug Dir einen anderen Weg vor: er baut die NB in die Funktion ein, und erhält so Funktionen, die nur noch von einer Variablen abhängen:
Im Fall 1., NB y=mx,
erhältst Du, indem Du y durch den Ausdruck mx ersetzt, eine Funktion, die nur noch von x abhängt:
g(x)=f(x,mx)=...
(Du kennst doch f(x,y). Nun schreib halt in der Funktionsgleichung überall dort, wo y steht, mx hin.)
Im Fall 2., x=0,
erhältst Du, indem Du x durch die 0 ersetzt, eine Funktion, die nur noch von y abhängt:
h(y)=f(0,y)=...
(Du kennst doch f(x,y). Nun schreib halt in der Funktionsgleichung überall dort, wo x steht, 0 hin.)
Mit diesen Funktionen kannst Du nun eine "ganz normale" Extremwertberechnung machen.
Auch wenn es wirklich übertrieben ist, rate ich Dir, das auch nochmal mit der Lagrangefunktion zu lösen, denn in Klausuren wird es ja doch manchmal ausdrücklich verlangt.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Do 19.07.2012 | | Autor: | Hikari |
super vielen dank für deine mühe:)
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