Funktion diffbar für a,b < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Do 10.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils a,b [mm] \in \IR, [/mm] so dass die Funktionen
[mm] f_{1}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x \le 1 \\ ax+b, & \mbox{für } x > 1 \end{cases}
[/mm]
[mm] f_{2}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} -cos(x)+1, & \mbox{für } |x| \le \pi \\ ax+b, & \mbox{für } |x| > \pi \end{cases}
[/mm]
[mm] f_{3}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} x^{4}, & \mbox{für } |x| \le 2 \\ ax^{2}+b, & \mbox{für } |x| > 2 \end{cases}
[/mm]
auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar sind. |
Hallo,
hier ist schon wieder eine Aufgabe bei der ich nicht wirklich weiter weiß. Habe versucht mir das ganze bei [mm] f_{1}(x) [/mm] zeichnerisch vorzustellen. a und b müssen ja so gewählt werden, das die gesamte Funktion keinen "knick" bei x = 1 hat. Ich habe aber leider überhaupt keine ahnung, wie ich a und b bestimmen kann um dies zu erreichen. Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.
LG Loriot95
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Huhu,
wie wärs, wenn du das mal mithilfe des Differenzenquotienten untersuchst?
Rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert bilden und du hast deine Lösung jeweils!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:18 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank für deine Hilfe.
Ok habe das dann Mal für [mm] f_{1}(x) [/mm] versucht... Das sieht bei mir wie folgt aus:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f_{1}(1+h) -f_{1}(1)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{(1+h)^{2}-1}{h} [/mm] = 2
und [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f_{1}(1+h) -f_{1}(1)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{a(1+h)+b-(a+b)}{h} [/mm] = a
[mm] \Rightarrow [/mm] a=2, b ist beliebig.
Stimmt das so?
Nun bei [mm] f_{2} [/mm] hab ich da so meine Probleme. Habe folgendes:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f_{2}(1+h) -f_{2}(1)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{-cos(\pi +h)-1}{h}
[/mm]
Nun was kann ich hier tun, damit der [mm] -cos(\pi [/mm] +h) verschwindet bzw. wie bekommt man das h aus dem Nenner?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Hilfe.
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> Ok habe das dann Mal für [mm]f_{1}(x)[/mm] versucht... Das sieht
> bei mir wie folgt aus:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f_{1}(1+h) -f_{1}(1)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{(1+h)^{2}-1}{h}[/mm] = 2
>
> und [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f_{1}(1+h) -f_{1}(1)}{h}[/mm]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{a(1+h)+b-(a+b)}{h}[/mm] = a
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] a=2
O.K.
> , b ist beliebig.
Unfug ! Für b= 1234 ist [mm] f_1 [/mm] im Punkt x=1 nicht stetig !! Also auch nicht differenzierbar.
Bestimme b so, dass [mm] f_1 [/mm] in x=1 steig ist.
>
> Stimmt das so?
Nein. S.o.
>
> Nun bei [mm]f_{2}[/mm] hab ich da so meine Probleme. Habe
> folgendes:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f_{2}(1+h) -f_{2}(1)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{-cos(\pi +h)-1}{h}[/mm]
>
> Nun was kann ich hier tun, damit der [mm]-cos(\pi[/mm] +h)
> verschwindet bzw. wie bekommt man das h aus dem Nenner?
[mm] \bruch{-cos(\pi +h)-1}{h} [/mm]
ist ein Differenzenquotient ! Und der treibt was für h [mm] \to [/mm] 0 ?
FRED
>
> LG Loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> > Vielen Dank für deine Hilfe.
> >
> > Ok habe das dann Mal für [mm]f_{1}(x)[/mm] versucht... Das sieht
> > bei mir wie folgt aus:
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f_{1}(1+h) -f_{1}(1)}{h}[/mm] =
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{(1+h)^{2}-1}{h}[/mm] = 2
> >
> > und [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f_{1}(1+h) -f_{1}(1)}{h}[/mm]
> > = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{a(1+h)+b-(a+b)}{h}[/mm] = a
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] a=2
>
>
> O.K.
>
>
> > , b ist beliebig.
>
> Unfug ! Für b= 1234 ist [mm]f_1[/mm] im Punkt x=1 nicht stetig !!
> Also auch nicht differenzierbar.
>
> Bestimme b so, dass [mm]f_1[/mm] in x=1 steig ist.
Da habe ich nun b = -1 raus.
> >
> > Stimmt das so?
>
> Nein. S.o.
>
>
> >
> > Nun bei [mm]f_{2}[/mm] hab ich da so meine Probleme. Habe
> > folgendes:
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f_{2}(1+h) -f_{2}(1)}{h}[/mm] =
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{-cos(\pi +h)-1}{h}[/mm]
> >
> > Nun was kann ich hier tun, damit der [mm]-cos(\pi[/mm] +h)
> > verschwindet bzw. wie bekommt man das h aus dem Nenner?
>
>
>
> [mm]\bruch{-cos(\pi +h)-1}{h}[/mm]
>
> ist ein Differenzenquotient ! Und der treibt was für h
> [mm]\to[/mm] 0 ?
Der treibt sowohl Zähler als auch Nenner gegen 0. Also habe ich hier L'Hopital angewendet. Dann kam [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] -sin(h) = 0 raus.
Desweiteren gilt: [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{a(\pis +h) +b - a(\pi) -b}{h} [/mm] = 0
Nun habe ich hier die Stetigkeit überprüft:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} -cos(\pi [/mm] +h) +1 = 2
[mm] \limes_{h \rightarrow 0} a(\pi [/mm] +h) +b = [mm] a*\pi [/mm] +b
Also muss [mm] a*\pi [/mm] +b = 2 gelten.
Nun habe ich allerdings keine zweite Gleichung um a und b genauer zu bestimmen. Ist dies soweit richtig?
> FRED
> >
> > LG Loriot95
>
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Mo 14.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Funktion
[mm] \begin{cases} -cos(x)+1, & \mbox{für } |x| \le \pi \\ ax+b, & \mbox{für } |x| > \pi \end{cases}
[/mm]
ist dann differenzierbar wenn sie stetig und differenzierbar an den kritischen Stellen ist. Also muss gelten
(I) [mm] -cos(\pi)+1=a*\pi+b [/mm] und
(II) [mm] sin(\pi)=a
[/mm]
weil [mm] sin(\pi)=0 [/mm] und [mm] cos(\pi)=-1 [/mm] gilt
(I') [mm] 2=a*\pi+b
[/mm]
(II') 0=a
also a=0 und b=2
Die anderen Aufgaben gehen genauso.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank :)
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