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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass es genau eine Funktion [mm] g:\IR\to\IR [/mm] gibt, derart, dass
exp(g(x))+g(x)=x. |
Guten Morgen!
Ich habe schon so einige Schmierblätter auf diese Aufgabe verwendet aber zum richtigen Schluss bin ich noch nicht gekommen. Evtl. könnt Ihr mir da unter die Arme greifen.
Ich möchte einen Widerspruchsbeweis führen in dem ich annehme, dass auch noch eine andere Funktion f(x) exisitiert für die obiges gilt um dann letztendlich zu zeigen, dass g(x)=f(x) ist. Aber auf dem Weg bleib ich immer stecken.
Vorab schon mal vielen Dank für Eure Hilfe
Susi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Fr 05.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich formuliere die Aufgabe um:
zeige: zu jedem x [mm] \in \IR [/mm] gibt es genau ein z (=z(x)) [mm] \in \IR [/mm] mit:
[mm] $e^z+z=x$
[/mm]
Wenn Du das gezeigt hast, ist durch die Zuordnung x [mm] \mapsto [/mm] z(x) eine Funktion [mm] g:\IR \to \IR [/mm] def. mit der gewünschten Eigenschaft.
Zu diesem Zweck untersuche die Funktion $f(z) := [mm] e^z+z$
[/mm]
Folgendes dürfte klar sein:
1. $f(z) [mm] \to \infty [/mm] $ für $z [mm] \to \infty$
[/mm]
2. $f(z) [mm] \to -\infty [/mm] $ für $z [mm] \to -\infty$
[/mm]
Aus 1. und 2. folgt (mit welchem Satz ?), dass es zu jedem x [mm] \in \IR [/mm] ein z (=z(x)) [mm] \in \IR [/mm] mit
[mm] $e^z+z=x$
[/mm]
gibt. Begründe das sauber.
Welche Eigenschaft von f wird noch benötigt, um die Eindeutigkeit der obigen Zahl z(x) zu garantieren ?
FRED
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