Funktion beschreiben < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f: [mm] [-1,\infty[\to[-4,\infty[,f(x):=\wurzel{3x+3}-4
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm] \forallx1, [/mm] x2 mit -1 [mm] \le [/mm] x1 < x2 gilt f(x1)<f(x2)
b) Zeigen Sie, dass f injektiv,surjektiv und schließlich bijektiv ist.
c) Geben Sie die Umkehrabbildung [mm] f^{-1} [/mm] an.
d) Geben Sie [mm] f^{-1} [/mm] ([-1,1]) an. |
Da wir in der Uni das Thema recht neu haben und der Dozent das alles nur so überflogen hat, komme ich mit dieser Aufgabe überhaupt nicht klar.
Ich weiß zwar grob was die einzelnen Bezeichnungen bedeuten, nur kann ich damit nicht arbeiten und bräuchte Hilfe.
1. weiso hat er nur  [[ verwendet und wieso gibts dort keine ]] ??? kann es seinn dass er sich ienfach nur vertan hat ?
falls er sich vertan haben sollte, würde ich die funktion so deuten:
f: [mm] [-1,\infty[\to[-4,\infty[ [/mm] für mich steht das für eine abbildung bei der die elemente -1/infty auf die werte [mm] -4\infity [/mm] abgebildet werden ?!?(-1 auf -4 und /infty auf /infty) ?? also zugeordnet ?!? und was diese funktion f(x) in diesem zusammenhang bedeutet...keine ahnung...
vllt. könntet ihr mir helfen die aufgabe zu lösen...
grüße smuji
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
(edit: korrigiert; Danke Tobi!)
> Gegeben sei die Funktion f:
> [mm][-1,\infty[\to[-4,\infty[,f(x):=\wurzel{3x+3}-4[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\forallx1,[/mm] x2 mit -1 [mm]\le[/mm] x1 < x2 gilt
> f(x1)<f(x2)
>
> b) Zeigen Sie, dass f injektiv,surjektiv und schließlich
> bijektiv ist.
>
> c) Geben Sie die Umkehrabbildung [mm]f^{-1}[/mm] an.
>
> d) Geben Sie [mm]f^{-1}[/mm] ([-1,1]) an.
> Da wir in der Uni das Thema recht neu haben und der Dozent
> das alles nur so überflogen hat, komme ich mit dieser
> Aufgabe überhaupt nicht klar.
>
> Ich weiß zwar grob was die einzelnen Bezeichnungen
> bedeuten, nur kann ich damit nicht arbeiten und bräuchte
> Hilfe.
>
> 1. weiso hat er nur [[ verwendet und wieso gibts dort
> keine ]] ??? kann es seinn dass er sich ienfach nur
> vertan hat ?
er kann doch Funktionen dort und wie auch immer definieren, wie er
gerade Lust hat.
> falls er sich vertan haben sollte, würde ich die funktion
> so deuten:
>
> f: [mm][-1,\infty[\to[-4,\infty[[/mm] für mich steht das für
> eine abbildung bei der die elemente -1/infty auf die werte
> [mm]-4\infity[/mm] abgebildet werden ?!?(-1 auf -4 und /infty auf
> /infty) ?? also zugeordnet ?!? und was diese funktion
> f(x) in diesem zusammenhang bedeutet...keine ahnung...
???
Dir ist hier ziemlich viel Unklar: $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$ bedeutet, dass [mm] $f\,$ [/mm] den Definitionsbereich
[mm] $D\,$ [/mm] und den Zielbereich [mm] $Z\,$ [/mm] hat. Damit hat man noch nicht viel, denn man
weiß gar nicht, wie [mm] $f\,$ [/mm] nun "aussieht" (weder theoretisch noch "konkret").
Das muss halt irgendwo stehen, dass "für jedes $x [mm] \in [/mm] D$ der Ausdruck $f(x)$ definiert
ist/wird durch $f(x)=...$".
Wichtig ist dabei, dass für jedes $x [mm] \in [/mm] D$ auch $f(x) [mm] \in [/mm] Z$ gilt, wenn $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to Z\,.$ [/mm] Anders formuliert:
Mit [mm] $f(D):=\{f(x):\;\;x \in D\}$ [/mm] muss auch [mm] $\underbrace{f(D)}_{=\text{Wertebereich von }f} \;\;\subseteq\;\;Z$
[/mm]
gelten.
Machen wir mal ein paar Beispiele:
Betrachten wir $f [mm] \colon [/mm] [0,1[ [mm] \to [/mm] [0,2[$ definiert durch $f(x):=2x$ für alle $x [mm] \in [0,1[\,.$
[/mm]
Das ist eine (wohl-)definierte und sogar bijektive Funktion.
Würde ich nun $g [mm] \colon [/mm] [0,1] [mm] \to [0,2\red{[}$ [/mm] mit $g(x):=2x$ für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$
schreiben, so wäre das keine Funktion mehr, einfach, weil $g(1)=2 [mm] \notin [/mm] [0,2[=Z$ gilt.
(Was aber ginge, ist etwa, $g [mm] \colon [/mm] [0,1[ [mm] \to [/mm] [0,2]$ mit $g(x):=2x$ für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1[$ zu definieren.)
Betrachte ich $h [mm] \colon [/mm] [0,1[ [mm] \to \IR$ [/mm] mit $h(x):=2x$ für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1[,$ so ist
das sehr wohl eine Funktion, allerdings ist sie nicht surjektiv (wohl aber injektiv).
Betrachte ich $k [mm] \colon [/mm] [-1,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit $k(x):=2*|x|$ für alle $x [mm] \in [/mm] [-1,1],$
so ist [mm] $k\,$ [/mm] weder surjektiv noch injektiv.
Schau halt etwa mal hier:
![[]](/images/popup.gif) 1. Kapitel
rein (insbesondere ab Definition 1.6).
Bei Deiner Funktion $f [mm] \colon [-1,\infty[ \to [-4,\infty[$ [/mm] definiert durch [mm] $f(x):=\sqrt{3x+3}-4\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in [-1,\infty[$ [/mm] ist halt zu zeigen:
Vorüberlegung:
V) Für jedes $x [mm] \in [-1,\infty[$ [/mm] ist [mm] $f(x)\,$ [/mm] definiert und es gilt dann [mm] $f(x)=\sqrt{3x+3}-4 \in [-4,\infty[$
[/mm]
(Bei letzterem kann man durchaus auch den Aufgabenteil mit der Monotonie
ins Spiel bringen.)
Schön ist schonmal [mm] $f(-1)=\sqrt{3*(-1)+3}-4=\sqrt{0}-4=-4 \in [-4,\infty[$...
[/mm]
Zur Aufgabe:
a) Dort wird behauptet, dass [mm] $f\,$ [/mm] streng wachsend ist.
b1) Injektivität kannst Du aus strenger Monotonie folgern: Wie?
b2) Surjektivität: Zu beliebigem, aber festem $y [mm] \in [-4,\infty[$ [/mm] ist ein $x [mm] \in [-1,\infty[$
[/mm]
anzugeben mit [mm] $f(x)=y\,.$ [/mm] Löse also "einfach mal"
[mm] $\sqrt{3x+3}-4=y$
[/mm]
nach [mm] $x\,$ [/mm] auf (und bedenke, dass Du nachher auch $x [mm] \ge [/mm] -1$ brauchst - dafür sollte
natürlich $y [mm] \ge [/mm] -4$ mit einfließen).
Injektivität und Surjektivität zusammen liefern Dir Bijektivität.
c) Für bijektives $f [mm] \colon [-1,\infty[ \to [-4,\infty[$ [/mm] ist natürlich die Umkehrabbildung der Bauart [mm] $f^{-1} \colon [-4,\infty[ \to [-1,\infty[\,.$
[/mm]
Verwende hier das Ergebnis aus b2), um [mm] $f^{-1}$ [/mm] konkret anzugeben.
d) [mm] $f^{-1}([-1,1])$ [/mm] ist hier erstmal etwas blöd: Meint das nun das Urbild der Menge
$[-1,1]$ unter [mm] $f\,,$ [/mm] also
[mm] $f^{-1}([-1,1])=\{x \in [-1,\infty[:\;\;f(x) \in [-1,1]\}$?
[/mm]
Oder ist das Bild der Menge $[-1,1]$ unter der Funktion [mm] $f^{-1}$ [/mm] gemeint, also
[mm] $f^{-1}([-1,1])=\{f^{-1}(y):\;\; y \in [-1,1]\}$ [/mm] (da kann man Teil b2) bzw. c) wieder verwenden)?
Das ist erstmal unklar, allerdings ist das Schöne, dass es egal ist, was hier
gemeint ist, denn beide Interpretationen liefern die gleiche Menge!
P.S. Damit Dir Deine Funktion $f [mm] \colon [-1,\infty[ \to [-4,\infty[$ [/mm] definiert durch [mm] $f(x):=\sqrt{3x+3}-4\,$ [/mm] für
alle $x [mm] \in [-1,\infty[$ [/mm] mal etwas klarer wird, kannst Du Dir deren Graphen
skizzieren. Tipp dazu:
Zeichne Dir zwei Hilfsgeraden ein, und zwar:
1. Hilfsgerade: Parallele zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] durch den Punkt [mm] $(-1,0)\,$ [/mm] der $x-$Achse
(In der Schule spricht man dann auch gerne von "der Geraden [mm] $x=\,-\,1\,.$")
[/mm]
2. Hilfsgerade: Parallele zur [mm] $x\,$-Achse [/mm] durch den Punkt [mm] $(-\,1,-\,4)\,.$
[/mm]
(In der Schule spricht man am besten von der durch die Gleichung [mm] $y=-4\,$
[/mm]
definieren Geraden!)
Am Graphen erkennt man die strenge Monotonie sehr schnell (warum?).
Die erste Hilfsgerade soll Dir bzgl. des Definitionsbereichs von [mm] $f\,$ [/mm] hilfreich
zur Seite stehen. Die zweite Hilfsgerade hilft bzgl. des Verständnisses zur
Surjektivität:
Wie, das sollst Du zunächst mal selbst überdenken und was dazu äußern,
das weden wir uns dann angucken und entweder "bejahen" oder kritisieren
und Dich (hoffentlich) auf den richtigen Weg führen.
P.S. Übrigens kann man auch die Injektivität mithilfe des Graphen "ablesen".
(Dazu später von mir oder von anderer Seite vielleicht noch mehr.)
Allerdings: Diese Skizzen ersetzen keinesfalls einen Beweis, jedenfalls nicht
für jemanden, der nicht schon bewiesen hat, dass er die Beweise auch
formal sauber ohne Weiteres liefern kann. 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Smuji |
vielen dank erstmal für deine mühe.
ja du hast recht, mir ist vieles nicht klar....deshalb suche ich ja auch nach rat, damit es mir klar wird. wir haben nur ein paar definitionen zum abschreiben bekommen und das alles in fachchinesisch und keine übungen oder sonst was gemacht....nun stehe ich vor einem neuen thema wenn ich mir es durchlese scheint es logisch zu sein, nur in der realtiät sieht es ganz anders aus...
ich kann ja kaum das übersetzen, was das geschriebene bedeuten soll. sprich, was bedeutet f : der doppeltpunkt heist so viel wie "gilt" oder "sei" richtig ? oder der definitionsbereich ?!? damit ist gemeint von wo nach wo ?!
was bedeuten die werte in den klammern ? (-1,unendlich)...... sind das x und y-werte ? oder sind das die quelle und die zielmenge ? oder elemente einer menge ?soll das soviel heißen wie f: A -> B ? dass menge A auf Menge B abgebildet werden soll ? oder dass die elemente [mm] -1,\infty [/mm] auf die anderen elemente abgebildet werden sollen ?
denn soweit ich weiß steht ja f: für eine abbildung (laut youtube-tutorials)
funktion f : [mm] [-1,\infty[\to[-4,\infty[, f(x):=\wurzel{3x+3}-4 [/mm]
dann steht bei a) zeigen sie, dass für alle x1, x2 mit -1 ..... blablabla fachchinesisch
umgedrehtes A beudetet ja so viel wie FÜR ALLE , x1 (wo sind denn x1 und x2 her ? ich sehe nur ein normales x ....
also ich stehe da komplett aufm schlauch.... ähnlich wie wenn ein nichtschwimmer in 4schulstunden mit formeln und definitionen beigebracht wird, wie man schwimmt und direkt danach ins wasser geworfen wird und er dann erstmal überlegen muss was der kerl da an der tafel mit seinem fachchinesisch ihm erklären wollte....ist doch klar dass das schwimmen dann nicht so klappt...
ich habe probleme mit dem übersetzen der aufgabenstellung,definitionen, symbolen und fragen....
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Hallo,
> vielen dank erstmal für deine mühe.
>
>
> ja du hast recht, mir ist vieles nicht klar....deshalb
> suche ich ja auch nach rat, damit es mir klar wird. wir
> haben nur ein paar definitionen zum abschreiben bekommen
Was heißt 'nur'? Hast du den Sinn dieser Definitionen versucht zu hinterfragen und zu verstehen?
> und das alles in fachchinesisch und keine übungen oder
> sonst was gemacht....nun stehe ich vor einem neuen thema
> wenn ich mir es durchlese scheint es logisch zu sein, nur
> in der realtiät sieht es ganz anders aus...
>
> ich kann ja kaum das übersetzen, was das geschriebene
> bedeuten soll. sprich, was bedeutet f : der
> doppeltpunkt heist so viel wie "gilt" oder "sei" richtig
> ? oder der definitionsbereich ?!? damit ist gemeint von
> wo nach wo ?!
>
> was bedeuten die werte in den klammern ?
> (-1,unendlich)...... sind das x und y-werte ? oder sind das
> die quelle und die zielmenge ? oder elemente einer menge
> ?soll das soviel heißen wie f: A -> B ? dass menge A
> auf Menge B abgebildet werden soll ? oder dass die elemente
> [mm]-1,\infty[/mm] auf die anderen elemente abgebildet werden sollen
> ?
>
> denn soweit ich weiß steht ja f: für eine abbildung
> (laut youtube-tutorials)
>
>
>
>
> funktion f : [mm][-1,\infty[\to[-4,\infty[, f(x):=\wurzel{3x+3}-4[/mm]
>
>
Vergiss YouTube, benutze BÜCHER! Was da steht, ist einfach eine vollständig aufgeschriebene Funktionsdefinition nach dem Schema
f: A->B , f: f ist so und so definiert
Also ist A die Urbild- bzw. die Definitionsmenge und B. die Wertemenge (nicht zu verwechseln mit dem Wertebereich!). In der Schule hätte man früher eben
[mm] f(x)=\sqrt{3x+3}-4
[/mm]
geschrieben und fertig. Das war aber bloßes Rechnen, keine Mathematik!
Die Intervallklammern kannst du IMO schon selbst nachschlagen, aber der Definitionsbereich bspw. geht von -1 bis unendlich und enthält die -1.
> dann steht bei a) zeigen sie, dass für alle x1, x2 mit -1
> ..... blablabla fachchinesisch
>
Was soll das in einem Fachforum? Das nmacht nur deinen Post unleserlich, ist aber ja nicht zu beantworten!
> umgedrehtes A beudetet ja so viel wie FÜR ALLE , x1 (wo
> sind denn x1 und x2 her ? ich sehe nur ein normales x
> ....
>
>
> also ich stehe da komplett aufm schlauch.... ähnlich wie
> wenn ein nichtschwimmer in 4schulstunden mit formeln und
> definitionen beigebracht wird, wie man schwimmt und direkt
> danach ins wasser geworfen wird und er dann erstmal
> überlegen muss was der kerl da an der tafel mit seinem
> fachchinesisch ihm erklären wollte....ist doch klar dass
> das schwimmen dann nicht so klappt...
Das kann ja sein: aber es ist an dir, dies zu ändern. Hättest du dich mit entsprechender Fachliteratur auseinandergesetzt, dann wäre dem nämlich nicht so.
In Aufgabe a) bspw. ist zu zeigen, dass die Funktion f streng monoton steigend ist. Was da steht, ist nichts anderes als die Definition der strengen Monotonie. Was konkret verstehst du daran nicht? Es geht darum, dass für zwei unterschiedliche x-Werte der Funktionswert des größeren dieser beiden Werte ebenfalls größer ist als der Funktionswert des kleineren.
>
> ich habe probleme mit dem übersetzen der
> aufgabenstellung,definitionen, symbolen und fragen....
Ja, das ist jetzt klar geworden, aber was erwartest du denn, dass wir dir die Lernarbeit abnehmen???
Bei b) schlage bitte diese drei Eigenschaften nach. Dann stelle konkrete Fragen.
c) kann man erst bearbeiten, wenn man bei b) zu dem Ergebnis gekommen ist, dass f bijektiv ist. Dann vertauscht man x und f(x) und löst nach f(x) auf, das ist Schulmathematik!
Bei d) schließlich soll untersucht werden, in welchem Intervall die Funktionswerte dieser Umkehrfunktion liegen, wenn man Werte aus dem Intervall [-1;1] einsetzt.
Bitte entschguldige meinen relativ harschen Tonfall: aber aus deiner Frage kommt eine Lerneinstellung zum Audruck, die geprägt ist von Unselbständigkeit und mit der man dir ein Scheitern in diesem Fach relativ sicher voraussagen kann. Also überdenke zunächst komplett deine Lernstrategie!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 So 27.10.2013 | | Autor: | Smuji |
Es geht darum, dass für zwei unterschiedliche x-Werte der Funktionswert des größeren dieser beiden Werte ebenfalls größer ist als der Funktionswert des kleineren.
warum ?!? beide haben doch den y-wert UNEDLICH, warum soll das unendlich von -4 größer sein als das von -1 ?
p.s. ich habe mir nun papula bestellt....wurde uns empfohlen.
was du nicht richtig verstanden hast, bzw. ich falsch beschrieben habe, ist , dass ich die definition nicht richtig lesen kann....die buchstaben, klammern und pfeile.... -4 und unendlich kann ich noch entziffern....
trotzdem danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Es geht darum, dass für zwei unterschiedliche x-Werte der
> Funktionswert des größeren dieser beiden Werte ebenfalls
> größer ist als der Funktionswert des kleineren.
Ja.
> warum ?!? beide haben doch den y-wert UNEDLICH, warum
> soll das unendlich von -4 größer sein als das von -1 ?
Quatsch. f hat an keiner Stelle einen Funktionswert unendlich. Für alle reellen Zahlen [mm]x\ge-1[/mm] ist der Funktionswert [mm]f(x)[/mm] eine reelle Zahl [mm]\ge-4[/mm].
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 So 27.10.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> p.s. ich habe mir nun papula bestellt....wurde uns
> empfohlen.
Das ist für den Anfang eine sehr gute Wahl, allerdings sehr an der Praxis ausgerichtet. Begriffe wie injektiv, surjektiv und bijektiv findet man dort eher nicht. Von daher würde ich dir auf jeden Fall auch noch ein gängiges Analysis 1-Lehrbuch empfehlen.
>
> was du nicht richtig verstanden hast, bzw. ich falsch
> beschrieben habe, ist , dass ich die definition nicht
> richtig lesen kann....die buchstaben, klammern und
> pfeile.... -4 und unendlich kann ich noch entziffern....
Doch, das hatte ich schon verstanden. Aber da muss man halt auch manchmal etwas länger drüber nachdenken, dann kommt man von alleine dahinter.
Außerdem wäre es dann eventuell sinnvoller gewesen, zuerst nach der Bedeutung der Schreibweisen zu fragen und erst wenn dies klar sind, mit der Bearbeitung einer solchen Aufgabe zu beginnen!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 So 27.10.2013 | | Autor: | Smuji |
sorry, damit hast du vollkommen recht.... damals wurde halt direkt drauf losgerechnet und jetzt gibt es da definitionen über definitionen, welche ich nicht "übersetzen" kann und von daher stehe ich vor dem nichts....
ich habe hier auch die lösung dieser aufgabe liegen, kann nur nicht nachvollziehen wie man anfängt zu rechnen und welche schritte man gehen muss
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Sa 26.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Smuji!
> ich kann ja kaum das übersetzen, was das geschriebene
> bedeuten soll. sprich, was bedeutet f : der
> doppeltpunkt heist so viel wie "gilt" oder "sei" richtig
> ?
Nein.
> oder der definitionsbereich ?!?
[mm][-1,\infty[[/mm] ist der Definitionsbereich der Abbildung [mm]f[/mm].
> was bedeuten die werte in den klammern ?
[mm][-1,\infty[[/mm] ist eine abkürzende Schreibweise für die Menge aller reellen Zahlen [mm]\ge-1[/mm].
Genauso ist [mm][-4,\infty[[/mm] eine abkürzende Schreibweise für die Menge aller reellen Zahlen [mm]\ge-4[/mm].
> (-1,unendlich)...... sind das x und y-werte ? oder sind das
> die quelle und die zielmenge ? oder elemente einer menge
> ?soll das soviel heißen wie f: A -> B ? dass menge A
> auf Menge B abgebildet werden soll ? oder dass die elemente
> [mm]-1,\infty[/mm] auf die anderen elemente abgebildet werden sollen
> ?
Die Abbildung [mm]f[/mm] ordnet jedem Element der Menge [mm][-1,\infty[[/mm] ein Element der Menge [mm][-4,\infty[[/mm] zu.
Das heißt [mm]f[/mm] ordnet jeder reellen Zahl [mm]x\ge-1[/mm] eine reelle Zahl [mm]f(x)\ge-4[/mm] zu, nämlich die Zahl [mm]\wurzel{3x+3}-4[/mm].
> funktion f : [mm][-1,\infty[\to[-4,\infty[, f(x):=\wurzel{3x+3}-4[/mm]
>
>
> dann steht bei a) zeigen sie, dass für alle x1, x2
> mit -1
Damit ist gemeint: Zeigen sie, dass für alle reellen Zahlen [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] mit...
> umgedrehtes A beudetet ja so viel wie FÜR ALLE
Ja.
> , x1 (wo
> sind denn x1 und x2 her ? ich sehe nur ein normales x
Wir haben weder eine konkrete Zahl x noch konkrete Zahlen [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm], sondern die Funktionsgleichung [mm]f(x)=\wurzel{3x+3}-4[/mm] gilt für ALLE [mm]x\ge-1[/mm] und die Behauptung, die du beweisen sollst, ist eben, dass für ALLE reellen Zahlen [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] mit... etwas gilt.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Smuji,
ich mach' jetzt einfach mal folgendes: Die folgende Funktion heißt [mm] $f\,,$ [/mm] sie ist
aber nicht die aus Deiner Aufgabe (ich habe auch schonmal eine Funktion
[mm] $f\,$ [/mm] genannt, die nicht die aus Deiner Aufgabe war). Wir behandeln
$f [mm] \colon [/mm] [-1,2] [mm] \to [/mm] [-4,8]$ mit [mm] $f(x):=4x\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in [-1,2]\,.$
[/mm]
Vorbemerkung: Die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] ist vernünftig definiert, denn für jedes $x [mm] \in [/mm] [-1,2]$ gilt
$-1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2$ und damit $-4 [mm] \le [/mm] 4x=f(x) [mm] \le 8\,,$ [/mm] also $f(x) [mm] \in [-4,8]\,.$
[/mm]
[mm] $f\,$ [/mm] wächst streng monoton: Dazu zeigen wir: Sind $-1 [mm] \le x_1 [/mm] < [mm] x_2 \le [/mm] 2$ (das
bedeutet nur [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] [-1,2]$ mit [mm] $x_1 [/mm] < [mm] x_2$) [/mm] ansonsten beliebig, aber fest, so
gilt [mm] $f(x_1) \le f(x_2)\,.$
[/mm]
Beweis: Seien [mm] $x_{1,2}$ [/mm] wie oben. Aus $-1 [mm] \le x_1 [/mm] < [mm] x_2 \le [/mm] 2$ folgt
$-4 [mm] \le 4x_1=f(x_1) [/mm] < [mm] 4x_2=f(x_2) \le 8\,,$
[/mm]
insbesondere also [mm] $f(x_1) [/mm] < [mm] f(x_2)\,.$ $\Box$
[/mm]
Wir folgern direkt: [mm] $f\,$ [/mm] ist injektiv. Sind nämlich [mm] $x_1, x_2 \in [/mm] [-1,2]$ mit [mm] $x_1 \not=x_2$
[/mm]
ansonsten beliebig, aber fest, so gilt:
entweder ist [mm] $x_1 [/mm] < [mm] x_2$
[/mm]
oder es ist [mm] $x_2 [/mm] < [mm] x_1\,.$
[/mm]
Jetzt führe das mal zu Ende.
Nun schauen wir uns mal an, ob [mm] $f\,$ [/mm] auch surjektiv ist: Wenn man sich
(irgend-)ein $y [mm] \in [/mm] [-4,8]$ vorgibt, so hat man (mindestens) ein $x [mm] \in [/mm] [-1,2]$
anzugeben, dass [mm] $f(x)=y\,$ [/mm] erfüllt.
Tipp: [mm] $f(x)=y\,$ [/mm] bzw. [mm] $4x=y\,$ [/mm] kannst Du nach [mm] $x\,$ [/mm] auflösen. Jetzt hast Du aber
auch das Wissen $-4 [mm] \le [/mm] y [mm] \le 8\,,$ [/mm] mit welchem Du dann folgern solltest, dass "das"
(eindeutig bestimmte) [mm] $x\,$ [/mm] auch in der Tat in [mm] $[-1,2]\,$ [/mm] liegt.
So: Jetzt siehst Du erstmal "analoges" an einem ziemlich einfach Bsp..
Vielleicht hilft Dir das ja etwas, um Deine Aufgabe mal "analog" zu
bearbeiten.
P.S. Einfach, damit Du mal siehst, dass man nicht immer Injektivität hat,
wenn Surjektivität vorliegt:
Betrachte [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] mit $g [mm] \colon [/mm] [-2,3] [mm] \to [0,9]\,.$ [/mm] Diese Funktion ist
surjektiv. Aber für $y [mm] \in [/mm] [0,9]$ gibt es manchmal sogar mehr als ein $x [mm] \in [-2,3]\,,$
[/mm]
so dass [mm] $g(x)=y:\,$
[/mm]
Ist nämlich $y [mm] \in [0,4]\,,$ [/mm] so hat die Gleichung [mm] $g(x)=y\,$ [/mm] zwei passende [mm] $x\,$:
[/mm]
Hier kann man [mm] $x:=\sqrt{y}\,$ [/mm] oder [mm] $x:=\,-\,\sqrt{y}$ [/mm] betrachten.
Ist aber $y [mm] \in ]4,9]\,,$ [/mm] so gibt es wirklich genau ein $x [mm] \in [/mm] [-2,3]$ mit $g(x)=y:$
Welches?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 So 27.10.2013 | | Autor: | Smuji |
also, es kann doch nciht so schwer sein eine aufgabe zu lösen.....
gestern wurden uns noch mengen gezeicht wie A (apfel,birne,tomate) -> B( erdbeer,schinken,haus) und heute bauen wir da direkt funktionen zusammen... vorher waren es zwei mengen die man aufeinander abbilden konnte mit pfeilen und dann wurde anhand von pfeil ( apfel auf erdbeer ....) dir dann erklärt was injektiv,bijektiv und .co ist..... jetzt sind es funktionen....
ich raff da einfach nichts, weil ich das alles nicht lesen kann.
ich übersetze dir mal wie ich deine definition übersetze:
die funktion f mit den werten (x=-1,y=2) daraus folgen die werte (x=-4,y=8) [WTF?!? wie folgen daraus plötzlich anderen werte ?] mit der funktion (einer zahl)doppelpunkt,gleich [bei uns gabs bei ner funktion damals nur ein doppelpunkt, was hat das gleich da zu suchen ?!?] für alle "zahlen" die element von -1,2 sind [ für mich sind -1,2] x und y werte.... wie können dann andere zahlen element von diesen sein ?!?
danke schonmal für die mühe....
gruß smuji
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 So 27.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> also, es kann doch nciht so schwer sein eine aufgabe zu lösen.....
das liegt ja wohl an Dir.
> gestern wurden uns noch mengen gezeicht wie A
> (apfel,birne,tomate) -> B( erdbeer,schinken,haus) und
> heute bauen wir da direkt funktionen zusammen... vorher
> waren es zwei mengen die man aufeinander abbilden konnte
> mit pfeilen und dann wurde anhand von pfeil ( apfel auf
> erdbeer ....) dir dann erklärt was injektiv,bijektiv und
> .co ist..... jetzt sind es funktionen....
>
> ich raff da einfach nichts, weil ich das alles nicht lesen
> kann.
Was hast Du denn in der Schule gelernt? Bei Deinen Überlegungen sind mir
Korrekturen zu aufwändig, denn dann weiß ich schon gar nicht mehr, wo
und wie ich das, was Du falsch machst, alles kommentieren soll, ohne neue
Fehler hervorzurufen.
Ich gehe jetzt noch eine Stufe niedriger (viel einfacher kann man fast nicht
werden, wenn wir Dir das Ganze erstmal an Beispielen verdeutlichen
wollen):
Wir betrachten die Mengen [mm] $A_h:=\{-1;\,0;\,1;\,2\}$ [/mm] und [mm] $B_h:=\{-4;\,,0;\,4;\,8\}\,.$ [/mm] Wir definieren
$h [mm] \colon A_h \to B_h$ [/mm] durch $h(x):=4*x$ für alle $x [mm] \in A_h\,.$
[/mm]
Dann kann man [mm] $h\,$ [/mm] "komplett" angeben:
[mm] $h(-1)=4*(-1)=-4\,,$
[/mm]
[mm] $h(0)=4*0=0\,,$
[/mm]
[mm] $h(1)=4*1=4\,,$
[/mm]
[mm] $h(2)=4*2=8\,.$
[/mm]
Den Graphen von [mm] $h\,,$ [/mm] also [mm] $G_h:=\{\;(x|h(x))\, \in A_h \times B_h:\;\; x \in A_h\}$ [/mm] kann
man dann auch schnell "zeichnen":
[mm] $G_h=\{(-1|-4);\;(0|0);\;(1|4);\;(2|8)\}\,;$
[/mm]
man hat also einfach diese 4 Punkte im [mm] $\IR^2$ [/mm] zu markieren.
So, jetzt betrachten wir nochmal $f [mm] \colon [/mm] [-1,2] [mm] \to [/mm] [-4,8]$ mit $f(x):=4x$ für alle $x [mm] \in [-1,2]\,.$
[/mm]
Du kennst Dich doch sicher noch mit Geraden(gleichungen) aus der Schulmathematik
aus. Wenn Du nur [mm] $\tilde{f}(x)=4x$ [/mm] sehen würdest, was würdest Du sagen, was der
Graph dieser Funktion ist (normalerweise geht man in der Schule immer
davon aus, dass Funktionen auf ihrem maximalen Definitionsbereich [mm] $\subseteq \IR$
[/mm]
definiert sind - und "der Terminus [mm] $4x\,$" [/mm] ist für jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] dann "in [mm] $\IR$",
[/mm]
also "sinnvoll").
Also: Was würdest Du tun, wenn man Dir sagt: Zeichnen Sie die Gerade,
die durch [mm] $\tilde{f}(x)=4x\,$ [/mm] (also: [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR:\;\; \tilde{f}(x):=4x$) [/mm] gegeben ist?
Und was bedeutet das nun, wenn man nur $x [mm] \in [/mm] [-1,2]$ zuläßt? (Was "passiert"
dann mit dem Graphen von [mm] $\tilde{f}\,,$)
[/mm]
Vielleicht stellen wir erstmal solche einfachen Vorüberlegungen an, denn
so langsam denke ich, dass Du einfach viel mehr Kompliziertes hier in den
Aufgaben sehen willst, als es eigentlich gibt.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:24 Di 29.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> gestern wurden uns noch mengen gezeicht wie A
> (apfel,birne,tomate) -> B( erdbeer,schinken,haus) und
> heute bauen wir da direkt funktionen zusammen... vorher
> waren es zwei mengen die man aufeinander abbilden konnte
> mit pfeilen und dann wurde anhand von pfeil ( apfel auf
> erdbeer ....) dir dann erklärt was injektiv,bijektiv und
> .co ist..... jetzt sind es funktionen....
Bei beiden Varianten geht es um Abbildungen; sie sind nur unterschiedlich dargestellt.
Ich versuche mal an Beispielen, die "Übersetzungen" in beide Richtungen vorzunehmen.
Eine Abbildung, wie ihr sie mit Pfeilen als Bildchen dargestellt habt, wäre etwa
[mm]f\colon\{Apfel, Birne, Tomate\}\to\{Erdbeere,Schinken,Haus\},\quad f(x)=\begin{cases}Erdbeere,&\text{falls }x=Apfel\text{ oder }x=Birne\\Schinken,&\text{falls }x=Tomate\end{cases}[/mm].
Ist dir klar, welchem Bildchen diese Abbildung entspricht?
Male es mal hin!
Nehmen wir nun mal als Beispiel
[mm]f\colon[0,1]\to\IR,\quad f(x)=10*x[/mm].
Anstelle der Menge [mm]A=\{Apfel,Birne,Tomate\}[/mm] steht jetzt die Menge [mm][0,1][/mm] der reellen Zahlen, die [mm]\ge0[/mm] und [mm]\le1[/mm] sind.
Für das zugehörige Bildchen male dir also links eine Menge (d.h. ein Oval oder ähnliches) auf, die für die Menge der reellen Zahlen [mm]\ge0[/mm] und [mm]\le1[/mm] steht.
Da diese Menge unendlich ist, kannst du natürlich nicht alle Elemente explizit einzeichnen. Aber du kannst ein paar Beispiele für Elemente einzeichnen, z.B. [mm]0[/mm], [mm]0,1[/mm], [mm]0,25[/mm], [mm]1[/mm]. Diese Elemente nehmen also die Rolle ein, die vorher die Elemente Apfel, Birne und Tomate eingenommen haben.
Anstelle der Menge [mm]B=\{Erdbeere, Schinken, Haus\}[/mm] haben wir nun die Menge [mm]\IR[/mm] aller reellen Zahlen.
Male also rechts die Menge der reellen Zahlen (also wieder ein Oval oder ähnliches) mit einigen Beispiel-Elementen z.B. [mm]-5[/mm], [mm]0[/mm], [mm]1[/mm], [mm]2,5[/mm], [mm]\pi[/mm], [mm]10[/mm].
Wie sehen nun die Pfeile aus?
Von jeder Zahl [mm]x[/mm] aus der linken Menge geht ein Pfeil auf die Zahl [mm]10*x[/mm] in der rechten Menge, z.B. von der Zahl [mm]0,25[/mm] ein Pfeil auf die Zahl [mm]10*0,25=2,5[/mm].
(Es sind natürlich eigentlich wieder unendlich viele Pfeile. Aber du kannst zumindest zu jedem eingezeichneten Beispiel-Element aus der linken Menge einen Pfeil in die rechte Menge malen.)
Ist nun die Funktionsschreibweise etwas klarer?
> ich übersetze dir mal wie ich deine definition
> übersetze:
Die von Marcel genannte Funktion lautete
[mm]f\colon[-1,2]\to[-4,8],\quad f(x)=4x[/mm].
> die funktion f mit den werten (x=-1,y=2) daraus folgen die
> werte (x=-4,y=8) [WTF?!? wie folgen daraus plötzlich
> anderen werte ?]
So würde ich das nicht lesen.
Mal dir am besten mal zu dieser Funktion wieder ein Bildchen.
Die linke Menge ist die Menge aller reellen Zahlen, die [mm]\ge-1[/mm] und [mm]\le2[/mm] sind. Zeichne wieder ein paar Beispielelemente ein (und poste hier, für welche du dich entschieden hast).
Die rechte Menge ist die Menge aller reellen Zahlen, die [mm]\ge-4[/mm] und [mm]\le8[/mm] sind.
Zeichne wieder zu allen Beispiel-Elementen, die du links eingezeichnet hast, einen Pfeil zum zugehörigen Element rechts. Falls du das passende Element noch nicht rechts eingezeichnet hast, zeichne es noch ein. (Poste dann hier, von wo nach wo bei dir Pfeile gehen.)
> mit der funktion (einer
> zahl)doppelpunkt,gleich [bei uns gabs bei ner funktion
> damals nur ein doppelpunkt, was hat das gleich da zu suchen
> ?!?]
Kannst du mal ein Beispiel nennen für eure in der Schule verwendete Schreibweise? Dann kann ich wieder "Übersetzungen" in beide Richtungen vornehmen.
> für alle "zahlen" die element von -1,2 sind [ für
> mich sind -1,2]
> x und y werte.... wie können dann andere
> zahlen element von diesen sein ?!?
Zahlen, die Element von [mm][-1,2][/mm] sind, sind alle reellen Zahlen [mm]\ge-1[/mm] und [mm]\le2[/mm], also z.B. [mm]-1[/mm], [mm]-0,5[/mm], [mm]0[/mm], [mm]1[/mm], [mm]\bruch43[/mm], [mm]2[/mm].
[-1,2] ist eine Kurzschreibweise für die Menge
[mm]\{x\in\IR\;|\;-1\le x\le2\}[/mm]
aller reellen Zahlen, die [mm]\ge-1[/mm] und [mm]\le2[/mm] sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Fr 01.11.2013 | | Autor: | Smuji |
Also zuerst mal, ihr seid ALLE wirklich unschlagbar... echt nette leute hier... vielen dank schonmal für die mühe. ich kenne das aus anderen foren im netz, da würde man schon direkt dumme bemerkungen bekommen.
dein letzter satz hilft mir schon sehr viel weiter....
zu meiner aufgabe:
f: [mm] [-1,\infty[ \to [-4,\infty[, [/mm] f(x) := [mm] \wurzel{3x +3} [/mm] -4
nur zur bestätigung... dieses [mm] [-1,\infty[ [/mm] beschreibt einfach nur , dass die menge A bei -1 beginnt und BIS [mm] \infty [/mm] geht..sprich [mm] -1,0,1,2,3,4......\infty
[/mm]
weshalb sind die klammern aber alle nur geöffnet [[[[ und nicht [][][] ?
also werden zwei mengen , abgebildet die bei -1 und -4 beginnen und bis ins unendliche gehen...
die funktion hinter den mengen, steht für was ? was hat diese mit MENGEN zu tun ? ich mein wenn ich 2 säcke äpfel und kartoffel habe, und dann ein papier dran klebe auf dem eine funktion von x drauf steht, fragt mich der bauer auch, in welchem zsuammenhang die funktion mit den mengen steht.
meine aufgabe a heißt: [mm] \forall [/mm] x1, x2 mit [mm] -1\le x1\le [/mm] x2 gilt f(x1) < f(x2)
sollen diese x1 und x2 für die beiden mengen stehen ? x1 ist die linke menge und x2 die rechte ?
und soll das bedeuten, dass wenn ich ein wert von x1 in funktion von x (oben) eingebe und auflöse, dass ein wert rauskommen muss, der größer oder gleich groß sein muss als -1 , JEDOCH kleiner, als wenn ich ein wert von x2 eingebe ?
auf deutsch:
[mm] -1\le x1\le [/mm] x2 gilt f(x1) < f(x2)
nehme ich für x1 einen wert aus menge A der [mm] \ge [/mm] -1 ist und für x2 einen wert der > als der wert von x1 ist,
dann gilt, dass ebenfalls die funktion von diesem größeren x2 wert, eine größere funktion/ergebnis ist als mit dem x1-wert ?!?
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Hallo,
> zu meiner aufgabe:
>
> f: [mm][-1,\infty[ \to [-4,\infty[,[/mm] f(x) := [mm]\wurzel{3x +3}[/mm] -4
>
>
> nur zur bestätigung... dieses [mm][-1,\infty[[/mm] beschreibt
> einfach nur , dass die menge A bei -1 beginnt und BIS
> [mm]\infty[/mm] geht..sprich [mm]-1,0,1,2,3,4......\infty[/mm]
Nein. Was du da oben hinschreibst, ist eine Menge ganzer Zahlen. Hier geht es um Mengen reeller Zahlen, genauer: um Intervalle (->nachlesen!).
> weshalb sind die klammern aber alle nur geöffnet...?
Es ist
[mm][a;b] \gdw a \leq x \leq b[/mm]
ein abgeschlossenes,
[mm]]a;b[ = (a;b) \gdw a < x < b[/mm]
ein offenes und
[mm][a;b[ = [a;b) \gdw a \leq x < b[/mm]
ein halboffenmes Intervall (->nachlesen!). Intervalle der Form [mm] a\le [/mm] x [mm] <\infty [/mm] heißen abgeschlossen, dennoch schreibt man
[mm] [a;\infty[
[/mm]
Grund: (->nachlesen!)
> also werden zwei mengen , abgebildet die bei -1 und -4
> beginnen und bis ins unendliche gehen...
Nein. Die Funktion f bildet alle Werte aus der Definitionsmenge [mm] [-1;\infty[ [/mm] in die Zielmenge [mm] [-4;\infty[ [/mm] ab.
> die funktion hinter den mengen, steht für was ?
Du meinst die Funktionsgleichung. Eine Funktion ist ein Tripel, bestehend aus einer Urbild- sowie einer Zielmenge und einer Zuordnungsvorschrift. Letzteres leistet hier die altbewährte Funktionsgleichung. (->nachlesen!)
> was hat
> diese mit MENGEN zu tun ? ich mein wenn ich 2 säcke äpfel
> und kartoffel habe, und dann ein papier dran klebe auf dem
> eine funktion von x drauf steht, fragt mich der bauer auch,
> in welchem zsuammenhang die funktion mit den mengen steht.
Dann werden sie nicht gegessen, die Äpfel und die Kartoffeln. Denn: was der Bauer nicht kennt, damit rechnet er nicht...
> meine aufgabe a heißt: [mm]\forall[/mm] x1, x2 mit [mm]-1\le x1\le[/mm] x2
> gilt f(x1) < f(x2)
>
> sollen diese x1 und x2 für die beiden mengen stehen ? x1
> ist die linke menge und x2 die rechte ?
Nein, x-Werte sind in diesem Zusammenhang Werte aus der Urbildmenge (waagerechte Achse im Korrdinatensystem) (->nachlesen, Schulmathematik!)
> und soll das bedeuten, dass wenn ich ein wert von x1 in
> funktion von x (oben) eingebe und auflöse, dass ein wert
> rauskommen muss, der größer oder gleich groß sein muss
> als -1 , JEDOCH kleiner, als wenn ich ein wert von x2
> eingebe ?
>
> auf deutsch:
>
> [mm]-1\le x1\le[/mm] x2 gilt f(x1) < f(x2)
>
> nehme ich für x1 einen wert aus menge A der [mm]\ge[/mm] -1 ist und
> für x2 einen wert der > als der wert von x1 ist,
>
>
> dann gilt, dass ebenfalls die funktion von diesem
> größeren x2 wert, eine größere funktion/ergebnis ist
> als mit dem x1-wert ?!?
Ich glaube, hier hast du etwas richtig verstanden. Es wurde ja schon mehrfach darauf verwiesen, dass
[mm]x_1
die definierende Eigenschaft für 'streng monoton steigend' ist. Nun kann man bei differenzierbaren Funktionen die Monotonie ja auch per Ableitung zeigen. Auch dies lernt man übrigens in der Schule. In dem Zusammenhang die Frage: steht dir die Differenzialrechnung schon zur Verfügung?
Falls nein, dann beginne einmal so
[mm] x_1
[mm] 3x_1+3<3x_2+3 [/mm] =>
...
Erkennst du, was ich da vorhabe?
Was ich jedoch echt nicht verstehe (aber es ist dein Problem, nicht meines): weshalb schnappst du dir nicht das nächstbeste Analysis 1-Lehrbuch, arbeitest es durch, zumindest soweit, bis dir klar ist, was man unter einer Funktion versteht. Dann wäre diese Aufgabe hier eine Fingerübung, schön aufgeschrieben würde sie dich vielleicht 10min deiner Zeit kosten. So aber ist sie offensichtlich ein schier unüberwindbares Hindernis, und es steht auch zu befürchten, dass selbst wenn du sie gelöst hast dich dies kein Stück weiter gebracht hat.
Gruß, Diophant
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:10 Fr 01.11.2013 | | Autor: | Smuji |
weshalb ist ein eigentlich halboffenes intervall ein geschlossenes ?! du schreibst oben NACHLESEN.... welches buch ist denn für sowas gut ? der papula ist nicht besonders gut...
ich bräuchte halt ein buch, in welchem dinge gut erklärt sind..am besten alles aus mathe 1,2,3 ...aber bitte wenig fachchinesisch, sondern auf dem niveau von papula wenns geht....denn von der art und weise wie er was erklärt, ist er ganz gut
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> weshalb ist ein eigentlich halboffenes intervall ein
> geschlossenes ?!
Hallo,
könntest Du bitte präzisieren, was Du meinst oder worauf Du Dich beziehst?
Ein halboffenes Intervall ist halboffen, ein abgeschlossenes abgeschlossen...
> du schreibst oben NACHLESEN.... welches
> buch ist denn für sowas gut ? der papula ist nicht
> besonders gut...
Jedes Analysisbuch, und ich finde auch, daß bei der wikipedia viele Mathethemen ganz gut nachzulesen sind.
LG Angela
>
> ich bräuchte halt ein buch, in welchem dinge gut erklärt
> sind..am besten alles aus mathe 1,2,3 ...aber bitte wenig
> fachchinesisch, sondern auf dem niveau von papula wenns
> geht....denn von der art und weise wie er was erklärt, ist
> er ganz gut
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 Fr 01.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> weshalb ist ein eigentlich halboffenes intervall ein
> geschlossenes ?!
[mm] \infty [/mm] ist keine reelle Zahl, daher muss man das Symbol für ein offenes Intervall verwenden. Da aber auf Grund der Definitionen für offene und abgeschlossene Mengen [mm] \IR [/mm] und die leere Menge [mm] \emptyset [/mm] sowohl offen als auch abgeschlossen sind, spricht man bspw. bei [mm] [-1;\infty[ [/mm] von einem abgeschlossenen Intervall.
> du schreibst oben NACHLESEN.... welches
> buch ist denn für sowas gut ? der papula ist nicht
> besonders gut...
>
Wenn du dir etwas leisten möchtest, was du auch in 20 Jahren noch gerne zur Hand nimmst dann besorge dir:
Walter, Wolfgang: Analysis 1
Vom gleichen Autor gibt es auch ein beliebtes Grundlagenwerk, welches ich jedoch nicht besitze und daher den Titel nicht zur Hand habe.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Fr 01.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
> du schreibst oben NACHLESEN.... welches
> buch ist denn für sowas gut ? der papula ist nicht
> besonders gut...
>
> ich bräuchte halt ein buch, in welchem dinge gut erklärt
> sind..am besten alles aus mathe 1,2,3 ...aber bitte wenig
> fachchinesisch, sondern auf dem niveau von papula wenns
> geht....denn von der art und weise wie er was erklärt, ist
> er ganz gut
Deine erste Quelle sollte aus meiner Sicht die Mitschrift aus der Vorlesung sein.
Da solltest du finden, was eine Abbildung ist, wie die Schreibweisen für Intervalle definiert sind usw.
Kein Buch wird so exakt die Themen behandeln, die du für deine Veranstaltungen benötigst, wie die Vorlesungsmitschrift.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
es gibt viele gute Standardbücher der Analysis - ich selbst arbeite oft und
gerne mit Heuser - ist aber ein dicker Schinken. Der ist dafür aber auch oft
"locker", so ist das halt:
Man kann keine Mathematik ohne Exaktheit betreiben. Und wenn man sie
"viel mit dem Alltag" vermischen will, was Heuser so versucht (jedenfalls auch
in Richtung "Schulalltag" oder "kleine Grundlagen der Physik"), dann muss
man halt viel schreiben, um die Exaktheit zu gewährleisten. Aber das Buch
solltest Du Dir einfach mal ausleihen und reingucken, dann siehst Du schon
selber, ob es was für Dich taugt.
Das ist übrigens generell die beste Vergehensweise: Mal in der Bibliothek
in mehreren Büchern reingucken, dann davon 2,3 Bücher, die Dir vielleicht
zuzusagen scheinen, auswählen, mal ausleihen und gucken, ob sich Deine
Vorahnung bestätigt hat.
Den Papula finde ich jetzt aber auch nicht soooo schlecht (der ist ja auch
eher für Ingenieure gedacht)...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Fr 01.11.2013 | | Autor: | Smuji |
> >
> [-1,2] ist eine Kurzschreibweise für die Menge
>
> [mm]\{x\in\IR\;|\;-1\le x\le2\}[/mm]
>
> aller reellen Zahlen, die [mm]\ge-1[/mm] und [mm]\le2[/mm] sind.
ich bin gerade am lesen/üben mit dem buch von papula, band 1, damit ich irgendwann meine aufgabe verstehe... bzw. ich verstehe sie ja eigentlich schon, nur noch nicht zu 100%
nun bedeuten ja solche klammern [] , dass es ein geschlossenes intervall ist. sprich [mm] \le \ge
[/mm]
nun gibt es hier eine übungsaufgabe:
Bilden Sie mit M1 = [mm] \{x | xE\IR und 0\le x <4\} [/mm] und M2 = [mm] \{x | xE\IR und -2\le x <2\} [/mm] die schnittmenge,vereinigungsmege und differenzmenge
laut meinem jetzigen kenntnisstand, würde das ja dann so aussehen:
da ja kein [mm] \le [/mm] sondern nur < kann es nicht so aussehen [0, 4) ,da die zahl für x ja kleiner als 4 sein muss, also [0, 3,99) ?!?
und menge 2 dann (-1,99, 1,99) , aber irgendwie muss ja da was falsch sein, denn seine lösung entspricht nicht meiner...... da die zahlen ja elemente der reellen zahlen sind und kleiner,größer als 2 seien müssen, können ja nur so ungerade zahlen rauskommen, oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Fr 01.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
> nun gibt es hier eine übungsaufgabe:
>
> Bilden Sie mit M1 = [mm]\{x | xE\IR und 0\le x <4\}[/mm] und M2 =
> [mm]\{x | xE\IR und -2\le x <2\}[/mm] die
> schnittmenge,vereinigungsmege und differenzmenge
Du hast im Folgenden gar nicht Schnittmenge, Vereinigungsmenge und Differenzmenge gebildet, sondern versucht [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] in Intervall-Schreibweise darzustellen.
> laut meinem jetzigen kenntnisstand, würde das ja dann so
> aussehen:
>
> da ja kein [mm]\le[/mm] sondern nur < kann es nicht so aussehen [0,
> 4) ,da die zahl für x ja kleiner als 4 sein muss, also [0,
> 3,99) ?!?
$[0,4)$ oder auch $[0,4[$ ist eine abkürzende Schreibweise für die Menge
[mm] $\{x\in\IR\;|\;0\le x<4\}$
[/mm]
aller reellen Zahlen, die [mm] $\ge0$ [/mm] und $<4$ sind.
Somit ist $[0,4)$ eine abkürzende Schreibweise für [mm] $M_1$.
[/mm]
Die Menge [mm] $[0\,,\,3,99)$ [/mm] enthält hingegen z.B. nicht die Zahl $3,99$, die aber in [mm] $M_1$ [/mm] liegt.
> und menge 2 dann (-1,99, 1,99)
[mm] $(-1,99\,,\,1,99)$ [/mm] (oder auch [mm] $]-1,99\,,\,1,99[$ [/mm] ) ist eine abkürzende Schreibweise für die Menge
[mm] $\{x\in\IR\;|\;-1,99
aller reellen Zahlen, die $>-1,99$ und $<1,99$ sind.
Es gilt z.B. [mm] $1,99\notin(-1,99\,,\,1,99)$, [/mm] aber [mm] $1,99\in M_2$.
[/mm]
Also kann [mm] $(-1,99\,,\,1,99)$ [/mm] keine korrekte Darstellung von [mm] $M_2$ [/mm] sein.
Findest du nun eine korrekte Darstellung von [mm] $M_2$ [/mm] in der Intervallschreibweise?
> , aber irgendwie muss ja da
> was falsch sein, denn seine lösung entspricht nicht
> meiner......
Du hast ja auch gar nicht Papulas Aufgabe bearbeitet, sondern eine andere.
> da die zahlen ja elemente der reellen zahlen
> sind und kleiner,größer als 2 seien müssen, können ja
> nur so ungerade zahlen rauskommen, oder ?
Gerade oder ungerade können nur GANZE Zahlen sein.
Wir beschäftigen uns jedoch gerade mit Intervallen REELLER Zahlen.
Ein paar Ergänzungen noch zu [mm] $[-1,\infty[$:
[/mm]
Dies ist eine abkürzende Schreibweise für die Menge
[mm] $\{x\in\IR\;|\;-1\le x\}$
[/mm]
aller reellen Zahlen [mm] $\ge [/mm] -1$.
(Es ist sinnvoll, dafür [mm] $[-1,\infty[$ [/mm] zu schreiben und nicht [mm] $[-1,\infty]$, [/mm] denn die Menge soll ja nur reelle Zahlen und nicht etwa auch ein Element namens [mm] $\infty$ [/mm] enthalten.)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Fr 01.11.2013 | | Autor: | Smuji |
aaahhh... klar,,, wenn ich das von dir lese, dass diese () klammern für >< stehen, dann verstehe ich auch warum.
danke dir....ich werde heute oder morgen die aufgaben aus dem buch bearbeiten und hier veröffentlichen...denn 1 - 2 aufgaben werde ich vermutlich nicht können.
vielen dank schonmal und ein schönes wochenende :-P prost !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Fr 01.11.2013 | | Autor: | Smuji |
so, hab jetzt nochmal reingeschaut...
mir ist einiges mehr klar geworden...nur halt wenn man doch sagt <2, warum man halt die 2 mitschreibt, obwohl man ja klar und deutlich sagt KLEINER als 2...aber die 2 wird trotzdem mit einbezogen...
ich habe zwar jetzt verstanden, DASS man das macht, nur WARUM das so ist, ist mir nicht ganz klar....
oder ist indirekt die 2 nicht mit dabei, aber bevor man 1,99 schreibt, nimmt man 2 ?!?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 So 03.11.2013 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f: [mm] [-1,\infty[ [/mm] --> [-4, [mm] \infty[, [/mm] f(x):= [mm] \wurzel{3x +3} [/mm] -4
A) Zeigen sie dass [mm] \forall [/mm] x1;x2 mit -1 [mm] \le [/mm] x1 < x2 gilt f(x1) < f(x2)
B) Zeigen Sie dass f injektiv, surjektiv und schließlich bijektiv ist.
C) Geben sie die Umkehrabbildung [mm] f^{-1} [/mm] an.
D) Geben Sie [mm] f^{-1} [/mm] (|-1,1|) an. |
So, habe nun ein wenig im Papula gelesen und versuche mich nun mal daran.
A) Dort würde ich jetzt für x1 einen wert größer ,gleich -1 nehmen und in die funktion einsetzen.
f(-1) = -4
und dann für x2 einen wert nehmen der größer als x1 ist, also bsp. die 0
f(0) = -2,27
soll ich das noch ein paar mal wiederholen, damit man sieht dass f(x2) immer größer als f(x1) ist ?
B)wie zeige ich in diesem zusammenhang, dass es surjektiv,injektiv oder schließlich bijektiv ist ?
ich weiß, dass für injektiv zu jedem y-wert, MAXIMAL 1 x-wert zugeordnet werden darf, also zu jedem element in der zielmenge, darf maximal ein wert aus der ?ursprungsmenge?(hab das wort vergessen) zugeordnet werden....
surjektiv MINDESTENS 1
und bijektiv ist beides zur gleichen zeit.....
nur wie finde ich das heraus ? soll ich die beiden mengen nebeneinander aufstellen und -1 -> -4 ; 0 -> -3 ; 1 -> -2 .............................. machen ?
C) die umkehrabbildung ist doch, wenn ich mcih recht erinnere, Menge B auf Menge A ?!?
-4 -> -1 ; -3 -> 0 ; -2 -> 1 ? ??? oder wie soll man das angeben ?
D) wie soll ich die umkehrabbildung EINER menge angeben ?
p.s. evtl. hat jemand noch ein buchtipp, denn papula ist zwar gut, aber einiges steht auch nicht drinnen...
gruß smuji
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Hallo,
komischerweise kann ich gerade nicht mehr zitieren, daher ein Versuch einer Antwort ohne Zitate.
zu a). Das müsstest du aber saumäßig oft wiederholen. Genauer gesagt: unendlich oft. Du sollst doch beweisen, dass diese Eigenschaft für die Funktion f im gesamten Definitioonsbereich gilt, das geht doch nicht durch ein paar Beispielrechnungen?
Und außerdem habe ich (und andere glaube ich auch schon) doch schon wiederholt Tipps gegeben, was zu tun ist???
Zu b)
Wenn du a) gezeigt hast, dann hast du doch die Injektivität schon! Was bedeutet Surjektivität, wie könntest du also hier argumentieren???
Zu c)
Wurde alles schon gesagt: es ist hier die Funktionsgleichung der Umkehrabbildung gesucht, und wie man die bekommt, das steht in den bereits gegebenen Antworten!
Zu d)
Mit Hilfe der in c) berechneten Funktionsgleichung nachrechnen. Wenn f bijektiv ist, was gilt dann für [mm] f^{(-1)}? [/mm] Was kann man demnach tun, um das Bild [mm] f^{(-1)}([-1;1]) [/mm] zu bestimmen?
Es hat eigentlich keinen Zweck, was du hier machst. Die Antworten wurden alle schon gegeben. Versuche, sie besser nachzuvollziehen und frage lieber zu den einzelnen Antworten nochmal nach, was dir dort unklar geblieben ist. Aber ein ehrliches Fazit: du bist mit dieser Aufgabe bisher kein Stückchen weiter gekommen, Grund genug, es anderes anzugehen!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mo 04.11.2013 | | Autor: | Smuji |
da scheinst du recht zu haben, aber wie soll ich sonst rangehen ?
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> da scheinst du recht zu haben, aber wie soll ich sonst
> rangehen ?
Hallo,
das Wichtigste hat Dir Diophant schon gesagt, vielleicht nicht deutlich genug:
Mensch! Lies endlich mal die Antworten genau durch!
Vielleicht sollte ich noch erklären, was in diesem Zusammenhang mit durchlesen gemeint ist:
nicht gemeint ist
- die Buchstaben anzugucken
- die Texte zu überfliegen und festzustellen "alles klar" oder "check ich nicht."
Gemeint ist
- die Texte eingehend zu studieren.
Das geht so: man nimmst Stift und Papier. Liest einen Satz. Denkt darüber nach. Macht sich Notizen. Wenn man den Satz verstanden hat, kommt der nächste dran, welchen man haargenauso behandelt. So lange, bis man fertig ist und im Idealfall alles verstanden hat.
Zu Aufgabe a)
Hattest Du denn diese Antwort von Marcel schon durchgearbeitet? Er macht Dir dort ganz wunderbar an einer Funktion vor, wie man für eine Funktion zeigt, daß sie monoton wachsend ist, daß also für alle Zahlen [mm] x_1, x_2 [/mm] mit [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] gilt [mm] f(x_1)
Falls Du das noch nicht getan hast, solltest Du es jetzt tun.
Was Du nicht verstehst, kannst Du gerne nachfragen.
"Ich habe verstanden, daß ... ... ... ... Aber an der Stelle ... ist mir unklar, ..."
So kommen wir hier ins Geschäft.
Und wenn Du Marcels Beitrag nachvollzogen und verstanden hast, versuchst Du es mal mit Deiner Funktion.
LG Angela
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