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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Fr 01.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ich habe vier Funktionen gegeben
f1(x) = x f2(x)= 1/x f3(x)=-x und f4(x)=(-1/x)
Die Verknüpfung [mm] \circ [/mm] soll die Hintereinanderausführung der Fuktionen sein
[mm] (f_{i} \circ f_{j}) [/mm] = [mm] f_{i}(f_{j}(x)) [/mm] mit (i;j e {1,2,3,4})
wenn ich jetzt für x irgendeinen Wert einsetze und alle vier funktionen hintereinander asuführe kommt man immer wieder auf den Anfangswert also
f1(5)=5 f2(f1)= 1/5 f3(f2)=-1/5 f4(f3)=-1/(-1/5) = 5
aber wie kann ich hier nun als erstes die assoziativität beweisen?
genau aufgebaenstllung ist hier die nr.3
http://www.tu-chemnitz.de/mathematik/ang_funktionalanalysis/rost/informatik/uebung5.pdf..nur das wir nur zeugen sollen das es eien gruppe ist
Also ich könnte schreiben : (wobei mir [mm] f_{3} [/mm] ja gegeben ist !)
[mm] (f_{1} \circ f_{2}) \circ f_{3} [/mm] = [mm] f_{1} (\circ f_{2} \circ f_{3})
[/mm]
[mm] (f_{2}(f_{1})) \circ f_{3} [/mm] = [mm] f_{1} \circ [/mm] ( [mm] f_{3}(f_{2}))
[/mm]
[mm] f_{3}(f_{2}(f_{1}))=f_{1}(f_{3}(f_{2}))
[/mm]
dass ist wenn ich eine Zahl einsetze identsich, damit ist es jedoch aber nicht allegmein bewiesen oder ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Fr 01.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
kann da niemand was mit anfangen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Fr 01.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
kann mir niemand weiterhelfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Fr 01.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo noobo!
Mit Drängelei wirst Du hier nicht mehr erreichen ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Fr 01.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
aber die aufgabe ist ja irgendwie nicht so schwer oder ? ich will dochnur wissen, ob ich mich komplett vertan habe..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Fr 01.05.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo noobo,
> Hallo,
> ich habe vier Funktionen gegeben
> f1(x) = x f2(x)= 1/x f3(x)=-x und f4(x)=(-1/x)
> Die Verknüpfung [mm]\circ[/mm] soll die Hintereinanderausführung der
> Fuktionen sein
> [mm](f_{i} \circ f_{j})[/mm] = [mm]f_{i}(f_{j}(x))[/mm] mit (i;j e
> {1,2,3,4})
>
> wenn ich jetzt für x irgendeinen Wert einsetze und alle
> vier funktionen hintereinander asuführe kommt man immer
> wieder auf den Anfangswert also
> f1(5)=5 f2(f1)= 1/5 f3(f2)=-1/5 f4(f3)=-1/(-1/5) = 5
> aber wie kann ich hier nun als erstes die assoziativität
> beweisen?
> genau aufgebaenstllung ist hier die nr.3
> http://www.tu-chemnitz.de/mathematik/ang_funktionalanalysis/rost/informatik/uebung5.pdf..nur
> das wir nur zeugen sollen das es eien gruppe ist
> Also ich könnte schreiben : (wobei mir [mm]f_{3}[/mm] ja gegeben ist
> !)
> [mm](f_{1} \circ f_{2}) \circ f_{3}[/mm] = [mm]f_{1} (\circ f_{2} \circ f_{3})[/mm]
>
> [mm](f_{2}(f_{1})) \circ f_{3}[/mm] = [mm]f_{1} \circ[/mm] ( [mm]f_{3}(f_{2}))[/mm]
> [mm]f_{3}(f_{2}(f_{1}))=f_{1}(f_{3}(f_{2}))[/mm]
> dass ist wenn ich eine Zahl einsetze identsich, damit ist
> es jedoch aber nicht allegmein bewiesen oder ?
Allgemein musst du zeigen, dass gilt:
[mm] $\left(\left(f_i\circ f_j\right)\circ f_k\right)(x)=\left(f_i\circ \left(f_j\circ f_k\right)\right)(x)\quad\forall i,j,k\in\{1,2,3,4\}$
[/mm]
Dabei musst du aber keine Zahlen einsetzen (das wäre ja dann nur ein Beispiel - es muss aber für alle Zahlen des Definitionsbereichs gelten).
Du kannst entweder alle möglichen Fälle durchspielen (aufwändig), oder die ![[]](/images/popup.gif) Assoziativität der Komposition verwenden.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Fr 01.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
danke für die Antwort,
aber das was ich gemacht hab ist falsch oder ?
wie kann ich diese komposition denn genau verwenden ?
also kannst du das für einen Fall vormachen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Fr 01.05.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
na ja, die Komposition ist gerade Hintereinanderausführung zweier Funktionen.
Wie im Beweis auf der Wikipedia-Seite kannst du schreiben:
[mm] $((f_i\circ f_j)\circ f_k)(x)=(f_i\circ f_j)(f_k(x)) =f_i(f_j(f_k(x)))$
[/mm]
[mm] $(f_i\circ (f_j\circ f_k))(x)=(f_i(f_j\circ f_k))(x)=f_i(f_j(f_k(x)))$
[/mm]
Das gilt für beliebige Funktionen (mit passendem Definitions-/Wertebereich) - also insbesondere für deine [mm] $f_i$.
[/mm]
Zu Deiner Vorgehensweise:
Du darfst die beiden Seiten nicht von Anfang an gleichsetzen. Diese Gleichheit sollst du ja zeigen!
Du musst eine Seite so umformen, dass am Ende die zweite Seite rauskommt. Oder du formst beide Seiten separat so um, dass bei beiden dasselbe rauskommt (so wie ich es oben gemacht habe).
Außerdem gilt nach Definition [mm] $(f_1\circ f_2)(x)=f_1(f_2(x))$ [/mm] und nicht [mm] $f_2(f_1(x))$. [/mm] (Bei deinen vier Funktionen ist das zwar dasselbe, aber im Allgemeinen ist die Hintereinanderausführung nicht kommutativ!)
Ich hoffe, dir ist klar, dass es 64 verschiedene Fälle gibt, drei der vier Funktionen zu verknüpfen... Es wäre ziemlich aufwändig, die alle durchzugehen.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Fr 01.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
vielen dank für die Erläuterung, dass heißt, dass man das so wie du es jetzt geschrieben hast beweisen kann?
Ich weis das ist vielleicht ein wenig viel verlangt, aber kannst du die schritte der Umformung in der zweiten Zeile aufschreiben..oder ist das einfach so definiert? wie soll ich dann ein neutrales Element finden?
$ [mm] ((f_i\circ f_j)\circ f_k)(x)=(f_i\circ f_j)(f_k(x)) =f_i(f_j(f_k(x))) [/mm] $
$ [mm] (f_i\circ (f_j\circ f_k))(x)=(f_i(f_j\circ f_k))(x)=f_i(f_j(f_k(x))) [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Fr 01.05.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo,
> hallo,
> vielen dank für die Erläuterung, dass heißt, dass man das
> so wie du es jetzt geschrieben hast beweisen kann?
> Ich weis das ist vielleicht ein wenig viel verlangt, aber
> kannst du die schritte der Umformung in der zweiten Zeile
> aufschreiben..oder ist das einfach so definiert? wie soll
> ich dann ein neutrales Element finden?
> [mm]((f_i\circ f_j)\circ f_k)(x)=(f_i\circ f_j)(f_k(x)) =f_i(f_j(f_k(x)))[/mm]
>
> [mm](f_i\circ (f_j\circ f_k))(x)=(f_i(f_j\circ f_k))(x)=f_i(f_j(f_k(x)))[/mm]
Nun, das so definiert....
Erste Zeile: im ersten Schritt wird das zweite [mm] "$\circ$" [/mm] ausgeführt, im zweiten Schritt noch das verbleibende [mm] "$\circ$".
[/mm]
Zweite Zeile: erster Schritt - erstes [mm] "$\circ$", [/mm] zweiter Schritt - zweites [mm] "$\circ$".
[/mm]
Wobei man die zweite Zeile besser so schreibt:
[mm] $(f_i\circ (f_j\circ f_k))(x)=f_i((f_j\circ f_k)(x))=f_i(f_j(f_k(x)))$
[/mm]
Du hast ja nur vier Elemente... Welches könnte denn das neutrale sein? Für welche Funktion gilt [mm] $f_i\circ f_e =f_e\circ f_i=f_i\quad\forall i\in\{1,2,3,4\}$?
[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Fr 01.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
das neutrale element muss insofern doch eine Funktion sein, bei der sich durch das Einsetzen des Wertes nichts verändert, das wäre also f1 oder?
obwohl die verknüpfung ja eigentlich aussagt, dass man mehrer funktionen hintereinader ausführen soll. Sagt [mm] \circ [/mm] aus, dass alle funktionen hintereinander ausgeführt werden sollen oder nur jeweils zwei?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Fr 01.05.2009 | | Autor: | Fulla |
ja, das neutrale Element ist [mm] $f_1$. [/mm]
Die Hintereinanderausführung so etwas wie das Pluszeichen bei der Addition. Bei $a+(b+c)$ werden, wie bei [mm] $f\circ (g\circ [/mm] h)$ jeweils zwei Elemente miteinander verknüpft - und zwar, durch die Klammer, zuerst die letzten beiden und danach wird das erste Element mit dem Ergebnis aus der Klammer verknüpft.
Für den Beweis der Assoziativität brauchst du aber drei Elemente, weil du bei zweien ja nichts "umklammern" kannst.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Sa 02.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
noch eine Frage du meintest laut Definition gilt:
$ [mm] (f_1\circ f_2)(x)=f_1(f_2(x)) [/mm] $
werden die beiden Zeilen
$ [mm] ((f_i\circ f_j)\circ f_k)(x)=(f_i\circ f_j)(f_k(x)) =f_i(f_j(f_k(x))) [/mm] $
$ [mm] (f_i\circ (f_j\circ f_k))(x)=(f_i(f_j\circ f_k))(x)=f_i(f_j(f_k(x))) [/mm] $
auf der Basis dieser Definition zusammengefasst?
$ [mm] ((f_i\circ f_j)\circ f_k)(x) [/mm] und weshalb steht dier das x außerhalb???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo,
> Hallo,
> noch eine Frage du meintest laut Definition gilt:
> [mm](f_1\circ f_2)(x)=f_1(f_2(x))[/mm]
> werden die beiden Zeilen
> [mm]((f_i\circ f_j)\circ f_k)(x)=(f_i\circ f_j)(f_k(x)) =f_i(f_j(f_k(x)))[/mm]
>
> [mm](f_i\circ (f_j\circ f_k))(x)=(f_i(f_j\circ f_k))(x)=f_i(f_j(f_k(x)))[/mm]
>
> auf der Basis dieser Definition zusammengefasst?
Ja, werden sie.
> $ [mm]((f_i\circ f_j)\circ f_k)(x)[/mm] und weshalb steht dier das
> x außerhalb???
Das ist so zu verstehen:
[mm] $\Big((f_i\circ f_j)\circ f_k\Big)(x)$ [/mm] In der größeren Klammer steht die Funktion (die eben aus drei Funktionen zusammengesetzt ist). Das "$(x)$" bedeutet, dass diese zusammengesetzte Funktion abhängig von der Variable $ x $ ist.
Du könntest auch schreigen: [mm] $g:=(f_i\circ f_j)\circ f_k\quad\Rightarrow\quad \Big((f_i\circ f_j)\circ f_k\Big)(x)=g(x)$
[/mm]
Ist es jetzt etwas klarer?
Lieben Gruß,
Fulla
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