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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:26 Mi 19.11.2014 | | Autor: | drone |
| Aufgabe | Inverse
Umkehrabbildung
Urbild |
Hallo!
Ich wäre frohlich, wenn jemand mir helfen kann.
Was ist der Unterschied zwischen den drei Begriffen.
So ich weiß, dass eine Funktion Inverse zu haben, muss sie injektiv sein. Aber bei Umkehrabbildung kommen die Schwierigkeiten.
So auch was bedeutet Urbild im Zusammenhang mit den anderen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Inverse
> Umkehrabbildung
> Urbild
> Hallo!
> Ich wäre frohlich, wenn jemand mir helfen kann.
> Was ist der Unterschied zwischen den drei Begriffen.
> So ich weiß, dass eine Funktion Inverse zu haben, muss
> sie injektiv sein. Aber bei Umkehrabbildung kommen die
> Schwierigkeiten.
schreibe bitte Eure Definition von Umkehrabbildung und Inverse hin.
Wenigstens bei der Umkehrabbildung ist das nicht immer eindeutig:
Manche sprechen nur bei einer bijektiven Funktion davon, andere schon
bei injektiven (grob gesagt *kann man die dann nämlich bijektiv machen*).
> So auch was bedeutet Urbild im Zusammenhang mit den anderen?
Häh? Für $f [mm] \colon [/mm] A [mm] \to [/mm] B$ nennt man für $Y [mm] \subseteqq [/mm] B$
[mm] $f^{-1}(Y)=\{a \in A \mid f(a) \in Y\}$
[/mm]
das Urbild von [mm] $Y\,$ [/mm] unter [mm] $f\,.$
[/mm]
Jetzt gibt es so Sätze wie:
$f [mm] \colon [/mm] A [mm] \to [/mm] B$
ist genau dann injektiv, wenn für jedes $b [mm] \in [/mm] B$
[mm] $f^{-1}(\{b\}) \subseteq [/mm] A$ HÖCHSTENS einelementig ist!
Willst Du darauf hinaus?
P.S. Ergänzend: Für (bijektives) $f [mm] \colon [/mm] A [mm] \to [/mm] B$ nennt man $g [mm] \colon [/mm] B [mm] \to [/mm] A$ die zu
[mm] $f\,$ [/mm] inverse Funktion, wenn
$f [mm] \circ g=\text{id}_B \colon [/mm] B [mm] \to [/mm] B$ mit [mm] $\text{id}_B(b):=b$ [/mm] für alle $b [mm] \in [/mm] B$
UND
$g [mm] \circ f=\text{id}_A$
[/mm]
gilt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:05 Do 20.11.2014 | | Autor: | drone |
Was z.B bedeutet das {I(f(x))} = U({f(x)}), wo I steht für Inverse und U entsprechend für Umkehrabbildung.
Wann gibt es Unterschied zwischen Inverse und Umkehrabbildung? Und wann gibt`s kein?
Falls es etwas unklar gibt, entschulden Sie mich bitte?
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Marcel hat es schon gesagt:
wir können Dir zu Deiner Vorlesung passend helfen, wenn Du mal die Definitionen aus Deiner Vorlesung hier aufschreibst für
Inverse und Umkehrabbildung.
Solange Du das nicht tust, müssen wir raten.
Ich rate jetzt.
Ich denke mir, daß dies besprochen wurde:
Gegeben sei eine Funktion [mm] f:A\to [/mm] B.
Wenn diese Funktion bijektiv ist, kann man ihre inverse Funktion [mm] i_f [/mm] definieren durch
[mm] i_f:B\to [/mm] A mit
[mm] i_f(b):=a [/mm] für alle [mm] b\in [/mm] B mit f(a)=b.
Überlege Dir, daß diese Def. wirklich nur funktioniert, wenn f bijektiv ist.
Wenn f nicht bijektiv ist, scheiterst Du, was Du Dir am Beispiel
[mm] f:\{1,2\}\to \{a,b,c\} [/mm] mit
f(1):=a
f(2):=a
verdeutlichen kannst.
Ich stelle mir nun vor, daß Ihr weiter eine Abbildung [mm] u_f [/mm] eingeführt habt, welche zwischen den beiden Potenzmengen P(B) und P(A) abbildet, und zwar so, daß jeder Menge ihr Urbild unter f zugeordnet wird.
Ich nenne diese Abbildung jetzt mal nicht "Umkehrabbildung", sondern "Urbildabbildung". Fängt ja auch mit u an.
Also
[mm] u_f: P(B)\to [/mm] P(A) mit
[mm] u_f(Y)= f^{-1}(Y) [/mm] für alle [mm] Y\in [/mm] P(B).
Diese Urbildabbildung funktioniert auch, wenn f nicht bijektiv ist.
Nehmen wir meine Funktion von oben,
[mm] f:\{1,2\}\to \{a,b,c\} [/mm] mit
f(1):=a
f(2):=a.
Zuerst die Potenzmengen:
[mm] P(\{a,b,c\})=\{\emptyset, \{a\},\{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}\},
[/mm]
[mm] P(\{1,2\})=\{\emptyset, \{1\}, \{2\},\{1,2\}\}.
[/mm]
Mit der Def. von [mm] u_f [/mm] bekommt man nun
[mm] u_f(\emptyset)=\emptyset,
[/mm]
[mm] u_f(\{a\})=\{1,2\}
[/mm]
[mm] u_f(\{b\})=\emptyset
[/mm]
[mm] u_f(\{c\})=\emptyset
[/mm]
[mm] u_f(\{a,b\})=\{1,2\}
[/mm]
[mm] u_f(\{a,c\})=\{1,2\}
[/mm]
[mm] u_f(\{b,c\})=\emptyset.
[/mm]
> Was z.B bedeutet das {I(f(x))} = U({f(x)}), wo I steht für
> Inverse und U entsprechend für Umkehrabbildung.
Haben wir nun eine bijektive Funktion f, so gilt
[mm] \{i_f(f(x))\}=u_f(\{f(x)\}).
[/mm]
Dies machen wir uns am Beispiel der bijektiven Funktion
[mm] g:\{1,2\}\to\{a,b\}
[/mm]
mit
g(1):=a
g(2):=b
klar:
es ist
[mm] i_g:\{a,b\}\to \{1,2\} [/mm] mit
[mm] i_g(a)=1
[/mm]
[mm] i_g(b)=2,
[/mm]
und es ist
[mm] u_g:\{\emptyset, \{a\},\{b\}, \{a,b\}\}\to \{\emptyset, \{1\}, \{2\},\{1,2\}\}
[/mm]
mit
[mm] u_g(\emptyset)=\emptyset
[/mm]
[mm] u_g(\{a\})=\{1\}
[/mm]
[mm] u_g(\{b\})=\{2\}
[/mm]
[mm] u_g(\\{a,b\})=\{1,2\}.
[/mm]
In der Tat gilt hier [mm] \{i_g(g(x))\}=u_g(\{g(x)\}),
[/mm]
wovon Du Dich sebst überzeugen kannst:
es ist
[mm] \{i_g(g(1))\}=\{i_g(a)\}=... [/mm] und [mm] u_g(\{g(1)\})=u_g(\{a\})=...
[/mm]
und
[mm] \{i_g(g(2))\}=... [/mm] und [mm] u_g(\{g(2)\})=...
[/mm]
Und Du kannst Dir auch am Beispiel klarmachen, daß es für Funktionen, die nicht bijektiv sind, nicht funktioniert.
LG Angela
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> Wann gibt es Unterschied zwischen Inverse und
> Umkehrabbildung? Und wann gibt's kein?
>
> Falls es etwas unklar gibt, entschulden Sie mich bitte?
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