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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Mi 10.08.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe 1 | | Gegeben sei die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{e^{2x}+e^{-2x}} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | a) Geben Sie ein größtmöglichen Intervall an, in dem die Funktion injektiv ist. |
| Aufgabe 3 | | b) An welcher Stelle [mm] x\in\IR [/mm] nimmt die Funktion ihr Maximum an und wie groß ist dort der Funktionswert? |
| Aufgabe 4 | | c) Geben sie die Umkehrfunktion an. |
Hallo,
Zu a:
[mm] f(x)=\bruch{1}{e^{2x}+e^{-2x}}=\bruch{1}{2cosh(2x)}. [/mm] Mehr kann ich davon schon leider wieder nicht. Weiß nicht wie ich das jetzt machen soll. Injektiv bedeutet ja das jeder Wert nur einmal abgebildet wird oder [mm] nicht?(x_1\not=x_2) [/mm] Wo rauf bezieht sich das denn jetzt auf den Wertebereich oder den Definitionsbereich?
Zu b:
[mm] f(x)=\bruch{1}{e^{2x}+e^{-2x}}=\bruch{1}{2cosh(2x)}
[/mm]
f´ (x)= [mm] \bruch{1}{2}*sinh(2x)= [/mm] sinh(2x)
f´´ (x)= 2 cosh (2x)
f´(x) =0
f´´ [mm] (x)\not=0
[/mm]
f´ (x) = 0
0=sinh(2x)
2x=0
x=0
f´´ [mm] (x)\not=0
[/mm]
0=2cosh(2x)
0=cosh(2x)
Hier hänge ich irgendwie wieder fest, denn den arcosh (0) gibt es nicht richtig? Wie kann ich hier dann besser wieder vorgehen?
f(0)= [mm] \bruch{1}{2cosh(2*0)}=\bruch{1}{2} [/mm] (Maximum) Was heißt eigentlich globales Maximum??
Zu c:
[mm] y=f(x)=\bruch{1}{e^{2x}+e^{-2x}}=\bruch{1}{2cosh(2x)}
[/mm]
y*2cosh(2x)=1
[mm] 2cosh(2x)=\bruch{1}{y}
[/mm]
[mm] cosh(2x)=\bruch{1}{2y}
[/mm]
[mm] 2x=arcosh(\bruch{1}{2y})
[/mm]
[mm] x=\bruch{arcosh(\bruch{1}{2y})}{2}
[/mm]
[mm] f^{-1}=\bruch{1}{2}*arcosh\bruch{1}{2x}
[/mm]
Ich hoffe es kann sich dieser Aufgabe jemand annehmen und mir vor allem die Teilaufgabe a erklären und vllt auch einmal hierbei vor machen. Das wäre super. Außerdem wäre es Klasse wenn jemand sich auch den Rest anschauen könnte ob ich alles richtig gemacht habe und was mit dem arcosh(0) ist, kann das ja sonst nicht weiter auflösen. Leider habe ich zu kaum Aufgaben die ich hier seit wochen reinstelle lösung oder erläuterung und mein Skript das kann man getrost vergessen das hilft gar nichts.
mfg
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Hallo RWBK,
> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x)=\bruch{1}{e^{2x}+e^{-2x}}[/mm]
>
>
> a) Geben Sie ein größtmöglichen Intervall an, in dem
> die Funktion injektiv ist.
>
>
> b) An welcher Stelle [mm]x\in\IR[/mm] nimmt die Funktion ihr Maximum
> an und wie groß ist dort der Funktionswert?
>
>
> c) Geben sie die Umkehrfunktion an.
>
>
> Hallo,
>
> Zu a:
> [mm]f(x)=\bruch{1}{e^{2x}+e^{-2x}}=\bruch{1}{2cosh(2x)}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Mehr kann ich davon schon leider wieder nicht. Weiß nicht wie
> ich das jetzt machen soll. Injektiv bedeutet ja das jeder
> Wert nur einmal abgebildet wird oder [mm]nicht?(x_1\not=x_2)[/mm] Wo
> rauf bezieht sich das denn jetzt auf den Wertebereich oder
> den Definitionsbereich?
Am einfachsten geht das hier m.E. über die Monotoniebetrachtung; schaue dir dazu die 1.Ableitung an.
Sie ist auf einem Intervall [mm]I_1[/mm] echt größer als 0, also ist die Funktion dort streng monoton steigend und damit injektiv, auf einem zweiten Intervall [mm]I_2[/mm] ist die 1.Ableitung echt kleiner als 0, also streng monoton fallend, also die Funktion auch auf [mm]I_2[/mm] injektiv
Beachte auch, dass die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist (wieso?)
Was bedeutet das für eine geeignete Wahl eines gesuchten Intervalls, auf dem [mm]f[/mm] injektiv ist?
>
> Zu b:
> [mm]f(x)=\bruch{1}{e^{2x}+e^{-2x}}=\bruch{1}{2cosh(2x)}[/mm]
> f´ (x)= [mm]\bruch{1}{2}*sinh(2x)=[/mm] sinh(2x) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Quotientenregel:
[mm]f'(x)=\frac{-2\sinh(2x)\cdot{}2}{(2\cosh(2x))^2}=\frac{-\sinh(2x)}{\cosh^2(2x)}[/mm]
> f´´ (x)= 2 cosh (2x)
Nee, das musst du nochmal nachrechnen
>
> f´(x) =0
> f´´ [mm](x)\not=0[/mm]
>
> f´ (x) = 0
> 0=sinh(2x)
> 2x=0
> x=0
> f´´ [mm](x)\not=0[/mm]
> 0=2cosh(2x)
> 0=cosh(2x)
> Hier hänge ich irgendwie wieder fest, denn den arcosh (0)
> gibt es nicht richtig?
Nein, das gibt es nicht, das Ding ist auf [mm] $[1,\infty)$ [/mm] definiert ...
Aber die Ableitung stimmte nicht und damit alles weitere auch nicht!
> Wie kann ich hier dann besser wieder
> vorgehen?
Die Ableitung richtig berechnen, ist ein Anfang 
>
> f(0)= [mm]\bruch{1}{2cosh(2*0)}=\bruch{1}{2}[/mm] (Maximum)
Das kann nicht sein, denn [mm]f[/mm] ist achsensymmetr. zur y-Achse
> Was
> heißt eigentlich globales Maximum??
Das kein Funktionswert den Wert an dieser Maximumsstelle überschreitet (nicht nur in einer kleinen Umgebung wie beim lok. Max.)
>
>
> Zu c:
> [mm]y=f(x)=\bruch{1}{e^{2x}+e^{-2x}}=\bruch{1}{2cosh(2x)}[/mm]
>
> y*2cosh(2x)=1
> [mm]2cosh(2x)=\bruch{1}{y}[/mm]
> [mm]cosh(2x)=\bruch{1}{2y}[/mm]
> [mm]2x=arcosh(\bruch{1}{2y})[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{arcosh(\bruch{1}{2y})}{2}[/mm]
> [mm]f^{-1}\red{(x)}=\bruch{1}{2}*arcosh\bruch{1}{2x}[/mm]
Gut! Aber du musst schon noch sagen, auf welchem/welchen Intervall/en dies gilt ..
>
>
> Ich hoffe es kann sich dieser Aufgabe jemand annehmen und
> mir vor allem die Teilaufgabe a erklären und vllt auch
> einmal hierbei vor machen. Das wäre super. Außerdem wäre
> es Klasse wenn jemand sich auch den Rest anschauen könnte
> ob ich alles richtig gemacht habe und was mit dem arcosh(0)
> ist, kann das ja sonst nicht weiter auflösen. Leider habe
> ich zu kaum Aufgaben die ich hier seit wochen reinstelle
> lösung oder erläuterung und mein Skript das kann man
> getrost vergessen das hilft gar nichts.
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
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