Fundamentalsystem angeben. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Di 14.02.2012 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | H41. Geben Sie ein reelles Fundamentalsystem zu y'=Ay mit
A = [mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ -2 & 2 & 2 & -1 }
[/mm]
an. |
Ich kenne das Verfahren zur Bestimmung des reellen Fundamentalsystem bei einer Diagonalisierbaren Matrix A.
Allerdings hat A nur 3 Eigenvektoren, A aber ist eine 4x4 Matrix und somit ist A nicht diagonalisierbar.
Wie geht man vor bei einer nicht diagonalisierbaren Matrix?
Muss ich mir dort die Jordan-Normalform bilden anstelle der Diagonalmatrix?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Mi 15.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> H41. Geben Sie ein reelles Fundamentalsystem zu y'=Ay mit
> A = [mm]\pmat{ 2 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ -2 & 2 & 2 & -1 }[/mm]
>
> an.
> Ich kenne das Verfahren zur Bestimmung des reellen
> Fundamentalsystem bei einer Diagonalisierbaren Matrix A.
> Allerdings hat A nur 3 Eigenvektoren, A aber ist eine 4x4
> Matrix und somit ist A nicht diagonalisierbar.
> Wie geht man vor bei einer nicht diagonalisierbaren
> Matrix?
> Muss ich mir dort die Jordan-Normalform bilden anstelle
> der Diagonalmatrix?
Schau mal hier:
http://www.gnoerich.de/formelsammlung/k12.html
unter 12.5.6.1, Fall 2.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mi 15.02.2012 | | Autor: | dimi727 |
Hallo Fred,
danke für deinen Tip, jedoch fand ich den ersten Fall interessanter, weil bei dieser Matrix auch komplexe EW vorkommen. Ich bin den Weg über die Jordan-Normalform gegangen:
Als charakteristsches Polynom von A habe ich: [mm] (\lambda-1)²(\lambda²+1)
[/mm]
Daraus folgt [mm] \lambda_{1,2}=1 [/mm] , [mm] \lambda_{3}=i [/mm] , [mm] \lambda_{4}=-i
[/mm]
Also Haupträume ergeben sich dann: [mm] H_{1} [/mm] = [mm] span\{\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}\}
[/mm]
[mm] H_{1}^{2} [/mm] = span [mm] \{\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}\}
[/mm]
[mm] H_{i} [/mm] = [mm] span\{\vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{1}{2} + \bruch{i}{2} \\ 1}\}
[/mm]
[mm] H_{-i} [/mm] = [mm] span\{\vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{1}{2} - \bruch{i}{2} \\ 1}\}
[/mm]
Die komplexen Hauptvektoren ersetze ich dann durch [mm] Re(\vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{1}{2} + \bruch{i}{2} \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0,5 \\ 1}
[/mm]
und [mm] Im(\vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{1}{2} - \bruch{i}{2} \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0,5 \\ 0}
[/mm]
Somit komme ich zur Matrix(die die Hauptvektoren enthält): [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0,5 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Also in Verbindung mit der Jordan-Normalform zum Fundamentalsystem
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0,5 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }*\pmat{ e^{t} & t*e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e^{i*t} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e^{-i*t} }
[/mm]
Ist das soweit in Ordnung? Wenn ja, habe ich in meinem Fundamentalsystem ja noch die komplexen i's drin. Wie bekommen ich jetzt daraus das reelle Fundamentalsystem? mit der eulerschen Formel?
Gruß dimi
|
|
|
| |
|
Hallo dimi727,
> Hallo Fred,
>
> danke für deinen Tip, jedoch fand ich den ersten Fall
> interessanter, weil bei dieser Matrix auch komplexe EW
> vorkommen. Ich bin den Weg über die Jordan-Normalform
> gegangen:
>
> Als charakteristsches Polynom von A habe ich:
> [mm](\lambda-1)²(\lambda²+1)[/mm]
>
> Daraus folgt [mm]\lambda_{1,2}=1[/mm] , [mm]\lambda_{3}=i[/mm] ,
> [mm]\lambda_{4}=-i[/mm]
>
> Also Haupträume ergeben sich dann: [mm]H_{1}[/mm] = [mm]span\{\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}\}[/mm]
>
> [mm]H_{1}^{2}[/mm] = span [mm]\{\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}\}[/mm]
>
> [mm]H_{i}[/mm] = [mm]span\{\vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{1}{2} + \bruch{i}{2} \\ 1}\}[/mm]
>
> [mm]H_{-i}[/mm] = [mm]span\{\vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{1}{2} - \bruch{i}{2} \\ 1}\}[/mm]
>
> Die komplexen Hauptvektoren ersetze ich dann durch
> [mm]Re(\vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{1}{2} + \bruch{i}{2} \\ 1})[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0,5 \\ 1}[/mm]
> und [mm]Im(\vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{1}{2} - \bruch{i}{2} \\ 1})[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0,5 \\ 0}[/mm]
>
> Somit komme ich zur Matrix(die die Hauptvektoren enthält):
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0,5 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Also in Verbindung mit der Jordan-Normalform zum
> Fundamentalsystem
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0,5 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }*\pmat{ e^{t} & t*e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e^{i*t} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e^{-i*t} }[/mm]
>
Die rechtsstehende Matrix ist nicht ganz richtig.
Diese muss doch so lauten:
[mm]\pmat{ e^{t} & t*e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e^{i*t} & \blue{-i
*e^{-i*t}} \\ 0 & 0 & \blue{i*e^{i*t}} & e^{-i*t} }[/mm]
> Ist das soweit in Ordnung? Wenn ja, habe ich in meinem
> Fundamentalsystem ja noch die komplexen i's drin. Wie
> bekommen ich jetzt daraus das reelle Fundamentalsystem? mit
> der eulerschen Formel?
>
> Gruß dimi
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mi 15.02.2012 | | Autor: | dimi727 |
Meine Jordannormalform hat doch aber folgende Gestalt, da ich einen 2er block und zwei 1er Blöcke habe?
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i}
[/mm]
oder vertue ich mich hier irgendwo?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo dimi727,
> Meine Jordannormalform hat doch aber folgende Gestalt, da
> ich einen 2er block und zwei 1er Blöcke habe?
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i}[/mm]
>
> oder vertue ich mich hier irgendwo?
>
Die Transformationsmatrix hast Du reellisiert.
Damit ergibt sich eine andere Matrix:
[mm]\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 1\cr 0 & 0 & -1 & 0\end{pmatrix}\][/mm]
> Gruß
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Mi 15.02.2012 | | Autor: | dimi727 |
Ok das habe ich nicht gewusst.
Aber wenn mein Fundamentalsystem dann folgendermaßen lautet:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0,5 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }\cdot{}
[/mm]
$ [mm] \pmat{ e^{t} & t\cdot{}e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e^{i\cdot{}t} & \blue{-i \cdot{}e^{-i\cdot{}t}} \\ 0 & 0 & \blue{i\cdot{}e^{i\cdot{}t}} & e^{-i\cdot{}t} } [/mm] $
dann ist das Fundamentalsystem doch immernoch kein reelles Fundamentalsystem, wegen den komplexen einträgen?
|
|
|
| |
|
Hallo dimi727,
> Ok das habe ich nicht gewusst.
>
> Aber wenn mein Fundamentalsystem dann folgendermaßen
> lautet:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0,5 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }\cdot{}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ e^{t} & t\cdot{}e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e^{i\cdot{}t} & \blue{-i \cdot{}e^{-i\cdot{}t}} \\ 0 & 0 & \blue{i\cdot{}e^{i\cdot{}t}} & e^{-i\cdot{}t} }[/mm]
>
> dann ist das Fundamentalsystem doch immernoch kein reelles
> Fundamentalsystem, wegen den komplexen einträgen?
Ja, das ist richtig.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mi 15.02.2012 | | Autor: | dimi727 |
Also muss ich die eulersche formel anwenden bei der rechten Matrix und wäre dann fertig?
|
|
|
| |
|
Hallo dimi727,
> Also muss ich die eulersche formel anwenden bei der rechten
> Matrix und wäre dann fertig?
Dann hast Du aber immer noch kein reelles Fundamentalsystem.
Du kannst den Realteil der rechten Matrix bestimmen,
dann erhältst Du so ein reelles Fundamentalsystem.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mi 15.02.2012 | | Autor: | dimi727 |
Sorry für die blöde Frage, aber wie bekomme ich den Realteil einer Matrix heraus?
Habe ich das so richtig gemacht?
[mm] \pmat{ e^{t} & t*e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cos(t) & -sin(t) \\ 0 & 0 & -sin(t) & cos(t) }
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo dimi727,
> Sorry für die blöde Frage, aber wie bekomme ich den
> Realteil einer Matrix heraus?
>
> Habe ich das so richtig gemacht?
>
> [mm]\pmat{ e^{t} & t*e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cos(t) & -sin(t) \\ 0 & 0 & -sin(t) & cos(t) }[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]\pmat{ e^{t} & t*e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cos(t) & \blue{+}sin(t) \\ 0 & 0 & -sin(t) & cos(t) }[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mi 15.02.2012 | | Autor: | dimi727 |
oh hab ich mich verrechnet. Also ist meine Transformationsmatrix mal dieser Matrix mein reelles Fundamentalsystem?
|
|
|
| |
|
Hallo dimi727,
> oh hab ich mich verrechnet. Also ist meine
> Transformationsmatrix mal dieser Matrix mein reelles
> Fundamentalsystem?
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Mi 15.02.2012 | | Autor: | dimi727 |
Super, vielen Dank für die Hilfe : )
|
|
|
|
