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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Do 25.08.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, eine kleine Frage habe ich, die ich nicht alleine lösen kann:
Sei [mm]A:\mathbb R\to\mathbb R^{n\times n}[/mm] stetig und periodisch, d.h. es gibt ein [mm] p\in\mathbb [/mm] R, sodass A(t+p)=A(t) für alle [mm] t\in\mathbb [/mm] R.
Sei jetzt Y eine Fundamentalmatrix der Differenzialgleichung
y'(t)=A(t)y(t).
Zeige, dass dann auch die Abbildung [mm]Y_k:t\mapsto Y(t+kp)[/mm] eine Fundamentalmatrix ist (k ganzzahlig). |
Ich hab total die Probleme zu verstehen, wie eine Abbildung eine Fundamentalmatrix sein soll!
Meint man, dass Y(t+kp) eine Fundamentalmatrix sein soll oder was meint man?!
Tipps sind willkommen. 
LG, mikexx
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:55 Do 25.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Hm, also es gilt ja einmal
[mm] A(t)=\frac{Y'(t)}{Y(t)} [/mm] (Y(t) ist ja nach Voraussetzung Fundamentalmatrix, also gilt ja, dass y=Yc Lösung ist und es gilt
(Y(t)c)'=A(t)Y(t)c
Angenommen Y(t+kp) ist echt Fundamentalmatrix.
Andererseits gilt doch aber wegen A(t)=A(t+kp) dann
(Y'(t+kp)c)=A(t+kp)Y(t+kp)x=A(t)Y(t+kp)c
und deswegen doch auch
[mm] A(t)=\frac{Y'(t+kp)}{Y(t+kp)}
[/mm]
Und ist deswegen nicht Y(t)=Y(t+kp)?
Ist nur eine Idee!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 27.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Do 25.08.2011 | | Autor: | Harris |
Hi! :)
Um zu zeigen, dass etwas eine DGL löst, leitet man es am besten ab:
$(Y(t+kp))'=Y'(t+kp)=A(t+kp)Y(t+kp)=A(t)Y(t+kp)$
Du kannst es auch spaltenweise betrachten.
Also erfüllt diese Matrix die DGL und ist somit eine Fundamentalmatrix.
Grüße,
Harris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Fr 26.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Och, das ist ja nicht schwer.
Vielen lieben Dank für den effektiven Hinweis!
LG, mikexx
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