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| Aufgabe | Sei [mm] B=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &1 }
[/mm]
Bestimme alle beschränken Lösungen [mm] x:\IR -->\IR^3 [/mm] der DGL x(Punkt) = Bx
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Also iwie bin ich zu blöd...
Ich muss doch zuerst die Eigenwerte ausrechnen. Die hab ich noch richtig, die waren in der Angae auch als Kontrolle gegeben, nämlich [mm] \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=i [/mm] und [mm] \lambda_{3}=-i
[/mm]
Jetzt muss ich doch die Eigenvektoren zu den Eigenwerten bestimmen oder nicht?
Also [mm] (B-\lambda_{1}E) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &1 } [/mm] - [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 } [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 &0 }
[/mm]
und um den Eigenvektor zu bekommen muss ich das gleichungssystem [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 &0 }*\vektor{a \\ b \\c} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\0 \\0} [/mm] lösen.
also hab ich die Gleichungen:
1. -a +b = 0
2. -a -b = 0
3. b = 0
daraus würde ja folgen a=0 und damit würde der Nullvektor rauskommen??? Das kann doch nicht sein was mach ich den falsch?
Bei [mm] \lambda_{2} [/mm] würde bei mir folgender Eigenvektor rauskommen: [mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{ 1 \\ i \\ \bruch{-i+1}{2}}
[/mm]
stimmt das?
dann fehlt mir noch [mm] v_{3}
[/mm]
und dann kann ich die LÖsung bestimmen mit [mm] x_{1}(t) [/mm] = [mm] v_{1}*e^{\lambda_{1}*t} [/mm] oder??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Mi 11.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]B=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &1 }[/mm]
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> Bestimme alle beschränken Lösungen [mm]x:\IR -->\IR^3[/mm] der DGL
> x(Punkt) = Bx
>
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> Also iwie bin ich zu blöd...
> Ich muss doch zuerst die Eigenwerte ausrechnen. Die hab
> ich noch richtig, die waren in der Angae auch als Kontrolle
> gegeben, nämlich [mm]\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=i[/mm] und
> [mm]\lambda_{3}=-i[/mm]
>
> Jetzt muss ich doch die Eigenvektoren zu den Eigenwerten
> bestimmen oder nicht?
>
> Also [mm](B-\lambda_{1}E)[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &1 }[/mm]
> - [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 }[/mm] = [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 &0 }[/mm]
>
> und um den Eigenvektor zu bekommen muss ich das
> gleichungssystem [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 &0 }*\vektor{a \\ b \\c}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\0 \\0}[/mm] lösen.
> also hab ich die Gleichungen:
> 1. -a +b = 0
> 2. -a -b = 0
> 3. b = 0
>
> daraus würde ja folgen a=0 und damit würde der Nullvektor
> rauskommen??? Das kann doch nicht sein was mach ich den
> falsch?
Als Eigenvektor hast Du angesetzt: [mm] \vektor{a \\ b \\c}. [/mm] Es stimmt schon, es ist a=b=0. Somit lautet ein Eigenvektor zum Eigenwert 1:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\c} [/mm] (c [mm] \ne [/mm] 0)
>
> Bei [mm]\lambda_{2}[/mm] würde bei mir folgender Eigenvektor
> rauskommen: [mm]v_{2}[/mm] = [mm]\vektor{ 1 \\ i \\ \bruch{-i+1}{2}}[/mm]
>
> stimmt das?
Ja
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> dann fehlt mir noch [mm]v_{3}[/mm]
> und dann kann ich die LÖsung bestimmen mit [mm]x_{1}(t)[/mm] =
> [mm]v_{1}*e^{\lambda_{1}*t}[/mm] oder??
Nein. Die allgemeine Lösung lautez:
[mm] $c_1*v_{1}*e^{\lambda_{1}*t}+c_2*v_{2}*e^{\lambda_{2}*t}+c_3*v_{3}*e^{\lambda_{3}*t}$
[/mm]
FRED
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