Für welche a ist Matrix invertierbar < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 So 06.06.2004 | | Autor: | baddi |
Für welche a ist Matrix invertierbar.
Gegeben ist eine 4x4 - Matrix (=>quadratisch).
Ich hab jetzt einfach die ganze Matrix mit einer zweiten 4x4 - Matrix multipliziert und bei der zweiten eben nur Variablen statt Werte bekommen.
Das Ganze sieht dann unheimlich wirr aus und damit ich mich nicht verrechne hab ich
http://sl5.de/uni/matrixmultiplikaton.php verwendet.
Ergebnis:
[m]\begin{pmatrix}
1 & a & 0 & 0 \\
a & 1 & 0 & 0 \\
0 & a & 1 & 0 \\
0 & 0 & a & 1
\end{pmatrix}[/m]
*
[m]\begin{pmatrix}
z & b & c & d \\
e & f & g & h \\
i & j & k & l \\
m & n & o & p
\end{pmatrix}[/m]
=
[m]\begin{pmatrix}
z + ae & b + af & c + ag & d + ah \\
az + e & ab + f & ac + g & ad + h \\
ae + i & af + j & ag + k & ah + l \\
ai + m & aj + n & ak + o & al + p
\end{pmatrix}[/m]
Jetzt weiss ich ja das das Ergebnis die 4x4-Einheitsmatrix sein muss.
Also kann ich Gleichungen aufstellen.
=>
z +ae -1 +b +af + c+ag +d +ah
+ az +e + ab +f -1 + ac +g + ad +h
+ ae + i + af + j + ag + k -1 + ah -1
+ ai + m + aj + n + ak + o + al + p - 1
= 0
Jetzt sind da also einige unbekannte drin und ich soll aber nur das a bestimmen.
Dann kann ich alle anderen frei wählen ? Neee. Oder? Hmmm.
Überleg.. weiss noch nich. Auf jeden Fall kann ich das noch zusammenfassen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 So 06.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo baddi,
> Ich hab jetzt einfach die ganze Matrix mit einer zweiten
> 4x4 - Matrix multipliziert und bei der zweiten eben nur
> Variablen statt Werte bekommen.
> Das Ganze sieht dann unheimlich wirr aus und damit ich
> mich nicht verrechne hab ich
>
> http://sl5.de/uni/matrixmultiplikaton.php verwendet.
Nettes Script...
> Ergebnis:
> [m]\begin{pmatrix}
> 1 & a & 0 & 0 \\
> a & 1 & 0 & 0 \\
> 0 & a & 1 & 0 \\
> 0 & 0 & a & 1
> \end{pmatrix}[/m]
>
>
> *
> [m]\begin{pmatrix}
> z & b & c & d \\
> e & f & g & h \\
> i & j & k & l \\
> m & n & o & p
> \end{pmatrix}[/m]
>
>
> =
> [m]\begin{pmatrix}
> z + ae & b + af & c + ag & d + ah \\
> az + e & ab + f & ac + g & ad + h \\
> ae + i & af + j & ag + k & ah + l \\
> ai + m & aj + n & ak + o & al + p
> \end{pmatrix}[/m]
>
> Jetzt weiss ich ja das das Ergebnis die 4x4-Einheitsmatrix
> sein muss.
> Also kann ich Gleichungen aufstellen.
> =>
> z +ae -1 +b +af + c+ag +d +ah
> + az +e + ab +f -1 + ac +g + ad +h
> + ae + i + af + j + ag + k -1 + ah -1
> + ai + m + aj + n + ak + o + al + p - 1
> = 0
> Jetzt sind da also einige unbekannte drin und ich soll
> aber nur das a bestimmen.
> Dann kann ich alle anderen frei wählen ? Neee. Oder?
> Hmmm.
> Überleg.. weiss noch nich. Auf jeden Fall kann ich das
> noch zusammenfassen.
Die Logik müßte ja sein: Für welche Werte von a hat das LGS eine Lösung?
Damit wird man sicher die Aufgabe lösen können, es müßte mit dem Gauß-Algorithmus funktionieren (wobei a natürlich nur ein Koeffizient ist).
Empfehlenswert ist dieser Weg aber nicht.
Ich würde mal recherchieren, was die Invertierbarkeit einer Matrix mit deren Determinante zu tun hat...
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Mo 07.06.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo zusammen, ich habe jetzt also kapiert,
das man die Inverse [mm] $A^{-1}$ [/mm] einer $A$ - Matrix, dadurch bestimmen kann
dass mann
$A * [mm] A^{-1} [/mm] = E$ aufstellt.
Es gibt nun für mich zwei Ansätzte. A und E ist natürlich bekannt.
Lösungsweg I:
1. Für jeden Punkt bzw. [mm] $a_{ij}$ [/mm] in [mm] $A^{-1}$ [/mm] schreibe ich eine Variable.
2. Multipliziere $A * [mm] A^{-1}$ [/mm] aus. Ergibt C.
3. Setze C = E
4. Ein bisschen rechnen und man hat es raus.
Der zweite Lösungsweg
1. Ich errechne die Determinante von A
2. Daraus bestimme ich die Inverse von A
Problem ist das ich es einfach nicht kapiere wie man Schritt 1 macht.
Ich denke es hat damit zu tun:
http://www.mathematik.net/determinanten/22k2s4.htm
Aber ich verstehe die Zusammenhänge nicht.
Und den Algorithmus auch nicht recht.
Schritt zwei kann ich für eine 2 - Dimensionale - Matrix.
Aber wie geht es bei einer 4-dim- Matrix ?
Bin heis auf Info :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Mo 07.06.2004 | | Autor: | baddi |
Hi, ich weiss jetzt wie ich die Matrix A invertieren könnte, wenn ich es könnte ... ähh.. also folgendes:
Ich bringe Sie in Normalfor, dann lese ich die Determinante als Summe der Diagonalen einfach ab ( wenn eine Zeile oder Spalte 0 ist auch die Determinante 0).
Daraus kann man einfach, die Inverse bilden, aber wie ?
Vielleicht finde ich das demnächst raus.
Tipp, wär aber noch toller ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Sebastian!
Also, was willst du jetzt machen?
Die Determinante berechnen oder die Inverse bilden?
Wenn du die Inverse bilden willst, solltest du folgendes tun:
Schreibe dir deine Matrix auf, die du invertieren willst und rechts daneben dann die Einheitsmatrix.
Nun führst du elementare Zeilenumformungen an der linken Matrix so lange durch, bis du die Einheitsmatrix erhältst. Die gleichen Zeilenoperationen führst du parallel immer an der rechten Matrix durch (also die erste Zeilenoperation an der Einheitsmatix, dann die zweite Zeilenoperation an der Matrix, die dann nach diesem ersten Schritt entstanden ist, etc.)
Dann erhältst du links irgendwann die Einheitsmatrix und rechts eine weitere Matrix. Diese Matrix ist die Inverse der ursprünflichen Matrix.
Versuche es doch mal an einem einfachen Beispiel (an einer $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix) und sage mir, ob du verstanden hast und ob es geklappt hat.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Mo 07.06.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo Julius, hallo Marc,
ich habe das Rezept von Julius bevolg (hatte es auch gerade als PDF gefunden).
Zu Marc. Du sagst ich müsste nur rausfinden ob A invertierbar ist.
Ich muss rausfinden für welche a A invertierbar ist.
Da reicht es mir ja nicht rauszufinden ob die Determinante != 0 ist, denk ich mal.
Nun zur Umformung (nach Julius):
Aus
[m]\begin{pmatrix}
1 & a & 0 & 0 \\
a & 1 & 0 & 0 \\
0 & a & 1 & 0 \\
0 & 0 & a & 1
\end{pmatrix}[/m]
wurde die Inverse von A:
[m]\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 \\
-a & 1 & 0 & 0 \\
a^2 & a & 1-a^2 & 0 \\
-a^3 & a^2 & a^2-a & 1
\end{pmatrix}[/m]
Ja für welche a ist die Inverse von A möglich?
Ich denke für alle a ?
Ich sehe da nigendwo ein Hacken. Aber intuitiv sag ich mir das kann doch nicht sein.. da mus doch irgenwie eine komplizierte Bedinung rauskommen ?
Was meint Ihr ?
Übrigens, ich weiss nicht genau ob wir Determinanten hatten, ich erarbeite mir eh immer alles selbst. Weil ich die Vorlesung lange nicht verstanden habe... aber vielleicht bin ich langsam mal wieder fitt genug um eine ganze Vorlesung nutzbar machen zu können.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo baddi,
> Zu Marc. Du sagst ich müsste nur rausfinden ob A
> invertierbar ist.
> Ich muss rausfinden für welche a A invertierbar ist.
> Da reicht es mir ja nicht rauszufinden ob die Determinante
> != 0 ist, denk ich mal.
Doch, natürlich!
Die Determinante ist (möglicherweise) ein Ausdruck in a.
Das a ist dann so zu wählen, dass [mm] $\det A\not=0$.
[/mm]
> Übrigens, ich weiss nicht genau ob wir Determinanten
> hatten, ich erarbeite mir eh immer alles selbst. Weil ich
> die Vorlesung lange nicht verstanden habe... aber
> vielleicht bin ich langsam mal wieder fitt genug um eine
> ganze Vorlesung nutzbar machen zu können.
Das würde ich mal in Erfahrung bringen, denn der Weg über die Determinante ist hier auf jeden Fall der einfachste. Man sieht dort auch sofort, dass die Matrix für alle a invertierbar ist, denn [mm] $\det A\equiv [/mm] 1$.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo marc
bist du sicher, dass die Determinate $=1$ ist. hast du wieder den CAS verwendet?? 
Nach meiner Rechnung (von Faust, wie immer!!) ist die Determinante [mm] $1-a^2$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Mo 07.06.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo Marc,
danke für deine Warnung.
Ich werde einfach beide Lösungen abgeben.
Beide sind richtig.
Das Paralellumformen und das bestimmen der Determinante führen zur gleichen lösung :)
Die Determinante kriegt man beim Paralellumformen ja gleich gratis mit :)
det(A) = 1 * 1 * 1 * 1 = 1 (hast du ja schon gesagt)
also auch von a unabhängig und != 0 => a beliebig.
Das gleiche sagt ja die Inverse aus:
[m]A^{-1}\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 \\
-a & 1 & 0 & 0 \\
a^2 & a & 1-a^2 & 0 \\
-a^3 & a^2 & a^2-a & 1
\end{pmatrix}[/m]
Der dritte (eigentlich mein erster Ansatz) war ja einfach A mit einer beliebigen B zu multiplizieren, und das Ergebnis gleich der
Einheitsmatrix zu setzen.
Da kahm raus für
[m] B = \begin{pmatrix}
z & b & c & d \\
e & f & g & h \\
i & j & k & l \\
m & n & o & p
\end{pmatrix}[/m]
[m] E = \begin{pmatrix}
z + ae & b + af & c + ag & d + ah \\
az + e & ab + f & ac + g & ad + h \\
ae + i & af + j & ag + k & ah + l \\
ai + m & aj + n & ak + o & al + p
\end{pmatrix}[/m]
Daraus folgt:
=>
z +ae -1 +b +af + c+ag +d +ah
+ az +e + ab +f -1 + ac +g + ad +h
+ ae + i + af + j + ag + k -1 + ah -1
+ ai + m + aj + n + ak + o + al + p - 1
= 0
Da kann man von einigen Termen a ausklammern, so erhällt man was in der Form
a ( Variablen ohne a ) + Andere Variablen ohne a
Alle Variablen ohne a lassen sich von a unabhängig so wählen. Also ist dann a beliebig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo baddi,
> danke für deine Warnung.
> Ich werde einfach beide Lösungen abgeben.
> Beide sind richtig.
>
> Das Paralellumformen und das bestimmen der Determinante
> führen zur gleichen lösung :)
> Die Determinante kriegt man beim Paralellumformen ja
> gleich gratis mit :)
>
> det(A) = 1 * 1 * 1 * 1 = 1 (hast du ja schon gesagt)
> also auch von a unabhängig und != 0 => a beliebig.
Äh, von dieser Lösung trete ich zurück. Die Determinante ist nicht konstant 1, sondern so wie von Paulus angegeben.
> Das gleiche sagt ja die Inverse aus:
>
> [m]A^{-1}\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 \\
-a & 1 & 0 & 0 \\
a^2 & a & 1-a^2 & 0 \\
-a^3 & a^2 & a^2-a & 1
\end{pmatrix}[/m]
Inwiefern trifft die Inverse da eine Aussage drüber?
Ich denke, dass die Umformungsschritte, die du bei dieser Parallelrechnung vorgenommen hast, eine Aussage über die Invertierbarkeit treffen.
Zum Beispiel mußt du ja bei Multiplikationen mit Termen, die a enthalten, sicherstellen, dass der Term nicht 0 ist. Also sind Fallunterscheidungen nötig, und aus denen ergeben sich dann letztendlich die Bedinungen an a für die Invertierbarkeit von A.
> Der dritte (eigentlich mein erster Ansatz) war ja einfach A
> mit einer beliebigen B zu multiplizieren, und das Ergebnis
> gleich der
> Einheitsmatrix zu setzen.
> Da kahm raus für
> [m]B = \begin{pmatrix}
> z & b & c & d \\
> e & f & g & h \\
> i & j & k & l \\
> m & n & o & p
> \end{pmatrix}[/m]
>
>
> [m]E = \begin{pmatrix}
z + ae & b + af & c + ag & d + ah \\
az + e & ab + f & ac + g & ad + h \\
ae + i & af + j & ag + k & ah + l \\
ai + m & aj + n & ak + o & al + p
\end{pmatrix}[/m]
>
>
> Daraus folgt:
>
> =>
> z +ae -1 +b +af + c+ag +d +ah
> + az +e + ab +f -1 + ac +g + ad +h
> + ae + i + af + j + ag + k -1 + ah -1
> + ai + m + aj + n + ak + o + al + p - 1
> = 0
Das habe ich schon damals nicht verstanden, warum du da eine einzige Gleichung draus machst. Dadurch gehen viele Informationen und damit Rechenvorteile verloren.
> Da kann man von einigen Termen a ausklammern, so erhällt
> man was in der Form
> a ( Variablen ohne a ) + Andere Variablen ohne a
> Alle Variablen ohne a lassen sich von a unabhängig so
> wählen. Also ist dann a beliebig.
Interessant, dass du auf drei verschiedenen Wegen das falsche Ergebnis gezeigt hast. Da war wohl der Wunsch der Vater der Gedanken 
Ich weiß nicht, ob du die Determinante oben überhaupt nachgerechnet hast, falls ja, würde ich das jetzt nochmal tun.
Auf jeden Fall schaue dir nochmal die Umformungsschritte an, die bei dieser Parallelrechnung nötig waren und leite daraus die Bedinungen an a ab.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo baddi
ich gebe einmal die korrekte inverse Matrix an, wenngleich ihre Berechnung für diese Aufgabe wirklich nicht nötig wäre!
Vielleicht hilft das dir ja, deine Fehler zu finden! Uebrigens als Tipp: wenn du eine vermeintliche inverse Matrix gefunden hast, dann multipliziere sie doch einfach zur Kontrolle mit der ursprünglichen Matrix aus. Wenn du dann nicht die Einheitsmatrix erhältst, dann hast du irgendwo einen Flüchtigkeitsfehler gemacht!
Also:
[mm] $A^{-1}=\bruch{1}{1-a^{2}}*\begin{pmatrix}1&-a&0&0\\-a&1&0&0\\a^2&-a&1-a^2&0\\-a^3&a^2&a^{3}-a&1-a^2\end{pmatrix}$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo baddi,
> Nun zur Umformung (nach Julius):
> Aus
> [m]\begin{pmatrix}
> 1 & a & 0 & 0 \\
> a & 1 & 0 & 0 \\
> 0 & a & 1 & 0 \\
> 0 & 0 & a & 1
> \end{pmatrix}[/m]
>
> wurde die Inverse von A:
> [m]\begin{pmatrix}
> 1 & 0 & -1 & 0 \\
> -a & 1 & 0 & 0 \\
> a^2 & a & 1-a^2 & 0 \\
> -a^3 & a^2 & a^2-a & 1
> \end{pmatrix}[/m]
Hier stimmt auch etwas nicht.
Wenn ich den linken oberen Eintrag von [mm] $A*A^{-1}$ [/mm] berechne, erhalte ich [mm] $1*1-a^2+0+0=1-a^2$, [/mm] aber der linke obere Eintrag von E ist doch 1.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo baddi,
> Hi, ich weiss jetzt wie ich die Matrix A invertieren
> könnte, wenn ich es könnte ... ähh.. also folgendes:
>
> Ich bringe Sie in Normalfor, dann lese ich die Determinante
> als Summe der Diagonalen einfach ab ( wenn eine Zeile oder
> Spalte 0 ist auch die Determinante 0).
Also, von der Idee, die Inverse mittels Determinante zu berechnen solltest du dich auf jeden Fall bei dieser Aufgabe verabschieden.
Entweder, du berechnest nur die Determinante der Matrix A und entscheidest daran sofort die Invertierbarkeit oder
du berechnest die Inverse auf einem anderen Weg (entweder durch deinen Ansatz I oder mit julius' Ansatz.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo baddi,
> Hallo zusammen, ich habe jetzt also kapiert,
> das man die Inverse [mm] $A^{-1}$ [/mm] einer $A$ - Matrix, dadurch
> bestimmen kann
> dass mann
> $A * [mm] A^{-1} [/mm] = E$ aufstellt.
> Es gibt nun für mich zwei Ansätzte. A und E ist natürlich
> bekannt.
> Lösungsweg I:
> 1. Für jeden Punkt bzw. [mm] $a_{ij}$ [/mm] in [mm] $A^{-1}$ [/mm] schreibe ich
> eine Variable.
> 2. Multipliziere $A * [mm] A^{-1}$ [/mm] aus. Ergibt C.
> 3. Setze C = E
> 4. Ein bisschen rechnen und man hat es raus.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Der zweite Lösungsweg
> 1. Ich errechne die Determinante von A
> 2. Daraus bestimme ich die Inverse von A
, obwohl 2. etwas vage ist...
> Problem ist das ich es einfach nicht kapiere wie man
> Schritt 1 macht.
> Ich denke es hat damit zu tun:
> http://www.mathematik.net/determinanten/22k2s4.htm
> Aber ich verstehe die Zusammenhänge nicht.
> Und den Algorithmus auch nicht recht.
>
> Schritt zwei kann ich für eine 2 - Dimensionale - Matrix.
> Aber wie geht es bei einer 4-dim- Matrix ?
Zur Sicherheit: Die Berechnung der inversen Matrix ist hier gar nicht von Interesse, es geht nur um die Invertierbarkeit der Matrix A. Und die ist genau dann gegeben, wenn die Determinante der Matrix A ungleich 0 ist:
$A$ invertierbar [mm] $\gdw \det A\neq0$
[/mm]
Allerdings bin ich mir jetzt nicht mehr sicher, dass ihr Matrizen überhaupt benutzen dürft, du scheinst sie ja gar nicht zu kennen. Deswegen können mit einem sogenannten Entwicklungssatz berechnet werden; das Prinzip ist recht einfach, die tatsächliche Rechnung aber häufig recht aufwendig, es sei denn, die Matrix enthält viele 0-Einträge (wie in unserem Fall.
Da ich dir den Lösungsweg mit Determinanten nicht aufzwingen will, würde ich vorschlagen, du verfolgst deinen Ansatz I, und berechnest eine allgemeine Inverse zu A.
Viele Grüße,
Marc
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