Fünfeck: Diagonalen und Seiten < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einem regelmäßigen Fünfeck entsteht durch die Diagonale wieder ein neues kleines kleineres Fünfeck. Zeichnet man in dieses kleinere Fünfeck die Diagonalen entsteht wieder ein noch kleineres Fünfeck. So kann man unendlich fotfahren. Die Seiten des Fünfecks seien mit [mm] s_{n} [/mm] und die Diagonalen mit [mm] d_{n} [/mm] bezeichnet.
a) Zeigen sie, dass für n kleiner/gleich 1 gilt:
[mm] d_{n+1}=d_{n}-s_{n}
[/mm]
[mm] s_{n+1}=d_{n}-2d_{n+1}=2s_{n}-d_{n} [/mm] |
Für den ersten Teil habe ich keine Idee, wie ich da am besten rangehen soll.
ich weiß, dass [mm] d_{n}=s_{n}*\phi
[/mm]
aber wenn ioch das einsetze bringt mich das auch nicht weiter:
[mm] d_{n+1}=s_{n}*\phi-s_{n}
[/mm]
[mm] =s_{n}*(\phi-1)
[/mm]
Oder muss ich da an einer Skizze arbeiten?
Bei der zweiten müsste ich das dann aber doch einsetzen können, oder?
[mm] s_{n+1}=s_{n}*\phi-2s_{n}*\phi-s_{n}
[/mm]
[mm] =s_{n}*\phi-2s_{n}*\phi+2s_{n}
[/mm]
[mm] =-s_{n}*\phi+2s_{n}
[/mm]
[mm] =2s_{n}-d_{n}
[/mm]
Oder reicht das nicht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:39 Di 04.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Etwas spät, aber immerhin:
Beide Gleichungen sieht man sofort, wenn man sich eine Zeichnung macht. Man zeichnet das Fünfeck, das Pentagramm der Diagonalen, dann ergibt sich das innenliegende Fünfeck. Dort hinein zeichnet man wieder ein Pentagramm aus Diagonalen. Man muss sich klar machen, dass man es nur mit Winkeln der Größe [mm]\bruch{\pi}{5}[/mm], [mm]\bruch{2 \pi}{5}[/mm] bzw. [mm]\bruch{3 \pi}{5}[/mm] zu tun hat.
Die erste Gleichung ergibt sich aus einem gleichschenkligen Dreick, dass [mm] s_n [/mm] als einen Schenkel hat und einen Teil der Diagonale [mm] d_n [/mm] als zweiten. Für die zweite argumentiert man mit kongruenten Dreiecken.
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