Fubini integrierbarkeit < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Di 25.10.2011 | | Autor: | bammbamm |
| Aufgabe | f(x,y):= [mm] \bruch {x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
[mm] Q:=[0,1]^2. [/mm] Wir setzen f(0,0):=0. Zeigen Sie:
2.2 (a) Für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1] ist die Funktion y [mm] \mapsto [/mm] f(x,y) auf [0,1] integrierbar, die Funktion F(x):= [mm] \integral_{0}^{1}{f(x,y) dy} [/mm] ist auf [0,1] integrierbar und
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{f(x) dy dx}=\bruch{\pi}{4}
[/mm]
(b) Jetzt mit vertauschten Rollen: Für jedes y [mm] \in [/mm] [0,1] ist x [mm] \mapsto [/mm] f(x,y) auf [0,1] integrierbar, die Funktion [mm] G(y):=\integral_{0}^{1}{f(x,y) dx} [/mm] ist auf [0,1] integrierbar und
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{f(x) dx dy}=-\bruch{\pi}{4}
[/mm]
(c) Ist f auf dem Quader [mm] [0,1]^2 [/mm] integrierbar ? |
Wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich hier einfach nur zuerst über y integrieren (im Fall a) und dann zuerst über x (im Fall b). Ich komme dann auch auf die [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] (a) bzw. [mm] -\bruch{\pi}{4} [/mm] (b), allerdings ist mir unklar wieso das denn jetzt so ist ?
Oder um die Frage anders zu formulieren, wie zeige ich (c) ? f ist ja scheinbar nicht auf dem Quader [mm] [0,1]^2 [/mm] integrierbar, da man ja sonst mit vertauschter integrationsreihenfolge nach Fubini auf das gleiche Ergebnis kommen müsste.
Vielen Dank schonmal für alle Antworten!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Mi 26.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> f(x,y):= [mm]\bruch {x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
> [mm]Q:=[0,1]^2.[/mm] Wir
> setzen f(0,0):=0. Zeigen Sie:
>
> 2.2 (a) Für jedes x [mm]\in[/mm] [0,1] ist die Funktion y [mm]\mapsto[/mm]
> f(x,y) auf [0,1] integrierbar, die Funktion F(x):=
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x,y) dy}[/mm] ist auf [0,1] integrierbar
> und
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{f(x) dy dx}=\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
> (b) Jetzt mit vertauschten Rollen: Für jedes y [mm]\in[/mm] [0,1]
> ist x [mm]\mapsto[/mm] f(x,y) auf [0,1] integrierbar, die Funktion
> [mm]G(y):=\integral_{0}^{1}{f(x,y) dx}[/mm] ist auf [0,1]
> integrierbar und
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{f(x) dx dy}=-\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
> (c) Ist f auf dem Quader [mm][0,1]^2[/mm] integrierbar ?
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich hier einfach
> nur zuerst über y integrieren (im Fall a) und dann zuerst
> über x (im Fall b). Ich komme dann auch auf die
> [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] (a) bzw. [mm]-\bruch{\pi}{4}[/mm] (b), allerdings ist
> mir unklar wieso das denn jetzt so ist ?
Das ist aber sehr merkwürdig ! Wenn Du, wie Du schreibst, auf diese Zahlen gekommen bist, so muß Dir doch klar sein, wie sie zustande kamen.
>
> Oder um die Frage anders zu formulieren, wie zeige ich (c)
> ? f ist ja scheinbar nicht auf dem Quader [mm][0,1]^2[/mm]
> integrierbar, da man ja sonst mit vertauschter
> integrationsreihenfolge nach Fubini auf das gleiche
> Ergebnis kommen müsste.
Bing0 !
FRED
>
> Vielen Dank schonmal für alle Antworten!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Mi 26.10.2011 | | Autor: | bammbamm |
> > f(x,y):= [mm]\bruch {x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
> > [mm]Q:=[0,1]^2.[/mm]
> Wir
> > setzen f(0,0):=0. Zeigen Sie:
> >
> > 2.2 (a) Für jedes x [mm]\in[/mm] [0,1] ist die Funktion y [mm]\mapsto[/mm]
> > f(x,y) auf [0,1] integrierbar, die Funktion F(x):=
> > [mm]\integral_{0}^{1}{f(x,y) dy}[/mm] ist auf [0,1] integrierbar
> > und
> > [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{f(x) dy dx}=\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
> >
> > (b) Jetzt mit vertauschten Rollen: Für jedes y [mm]\in[/mm] [0,1]
> > ist x [mm]\mapsto[/mm] f(x,y) auf [0,1] integrierbar, die Funktion
> > [mm]G(y):=\integral_{0}^{1}{f(x,y) dx}[/mm] ist auf [0,1]
> > integrierbar und
> > [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{f(x) dx dy}=-\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
> >
> > (c) Ist f auf dem Quader [mm][0,1]^2[/mm] integrierbar ?
> >
> > Wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich hier einfach
> > nur zuerst über y integrieren (im Fall a) und dann zuerst
> > über x (im Fall b). Ich komme dann auch auf die
> > [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] (a) bzw. [mm]-\bruch{\pi}{4}[/mm] (b), allerdings ist
> > mir unklar wieso das denn jetzt so ist ?
>
> Das ist aber sehr merkwürdig ! Wenn Du, wie Du schreibst,
> auf diese Zahlen gekommen bist, so muß Dir doch klar sein,
> wie sie zustande kamen.
Ja, ist es mir auch. Da ich irgendwann auf den arctan komme, komme ich dann auf die Ergebnisse [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] und [mm] -\bruch{\pi}{4}. [/mm] Das war vielleicht etwas falsch formuliert von mir.
Ich dachte nur an eine präzisere Erklärung für (c) wie z.B. Unstetigkeit um zu zeigen das hier Fubini nicht anwendbar ist ?
>
> >
> > Oder um die Frage anders zu formulieren, wie zeige ich (c)
> > ? f ist ja scheinbar nicht auf dem Quader [mm][0,1]^2[/mm]
> > integrierbar, da man ja sonst mit vertauschter
> > integrationsreihenfolge nach Fubini auf das gleiche
> > Ergebnis kommen müsste.
>
> Bing0 !
>
Zählt es also als Kriterium für die Anwendung von Fubini das die Integrationsreihenfolge nicht einfach vertauschbar ist ? In etwa: Ich vertausche Integrationsreihenfolge, kommt nicht das selbe Ergebnis raus, ist f(x) nicht integrierbar ?
Kann man so etwas im Vorfeld nachweisen ohne die Rechnung mit vertauschter Reihenfolge komplett durchzuziehen ?
Wenn ich ehrlich bin kommt mir die Aufgabe ansonsten nämlich viel zu einfach vor, da man ja im Prinzip schon alles da stehen hat und man einfach nurnoch sagen muss: Unterschiedliches Ergebnis (wegen arctan) -> nicht integrierbar.
> FRED
Danke!
> >
> > Vielen Dank schonmal für alle Antworten!
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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> Ich dachte nur an eine präzisere Erklärung für (c) wie
> z.B. Unstetigkeit um zu zeigen das hier Fubini nicht
> anwendbar ist ?
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> Zählt es also als Kriterium für die Anwendung von Fubini
> das die Integrationsreihenfolge nicht einfach vertauschbar
> ist ? In etwa: Ich vertausche Integrationsreihenfolge,
> kommt nicht das selbe Ergebnis raus, ist f(x) nicht
> integrierbar ?
>
> Kann man so etwas im Vorfeld nachweisen ohne die Rechnung
> mit vertauschter Reihenfolge komplett durchzuziehen ?
>
> Wenn ich ehrlich bin kommt mir die Aufgabe ansonsten
> nämlich viel zu einfach vor, da man ja im Prinzip schon
> alles da stehen hat und man einfach nurnoch sagen muss:
> Unterschiedliches Ergebnis (wegen arctan) -> nicht
> integrierbar.
>
Ich denke, es geht in der Aufgabe darum, mal ein Beispiel durchzurechnen, wo die Vertauschbarkeit nicht funktioniert. D.h. die "Arbeit" liegt in den Teilen a) und b), c) ist dann eine einfache Konsequenz, da unterschiedliche Ergebnisse bei einer auf [0,1]² intergrierbaren Funktion nicht auftreten können bzw. im Umkehrschluss die gegebene Funktion auf dem Quadrat nicht intergrierbar sein kann.
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