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Hallo,
ich möchte die Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge für folgendes Integral beweisen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\infty}{\integral_{-\infty}^{\infty}{cos(\bruch{x}{n}) \bruch{1+cos^2(x)}{1+x^2} e^{u(-1+cos^2(x))} dx} du}
[/mm]
Da die Funktion innerhalb des Integrals nicht immer positiv ist und das Integral auf einer unbeschränkten Menge berechnet werden soll, reicht die Stetigkeit der Integranten nicht aus.
Ich muss also eine integrierbare Majorante finden, bin mir aber nicht sicher, wie ich das mache. Wenn ich anfange, die Terme einzeln nach oben abzuschätzen, bin ich irgendwann bei der konstanten Funktion f(x)=2, die offensichtlich nicht mehr integrierbar auf [mm] (-\infty, \infty) [/mm] ist. Ich habe also zu grob abgeschätzt. Wie erkenne ich nun aber, dass ich die simpelste integrierbare Majorante gefunden hab bzw. wie suche ich überhaupt nach ihr?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:35 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie hast du denn abgeschätztß |cos()|<1 [mm] -1+cos^2\le0
[/mm]
dann hast du doch schnell nen beschr. Integranden
gruss leduart
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Mein Problem is, dass ich a) nicht erkenne, wann ich zu grob geschätzt habe. Dazu müsste ich das Doppelintegral ausrechnen, was unter Zeitdruck in der Klausur wohl keine gute Idee ist b) nicht erkenne, ob ich noch gröber abschätzen kann oder ich die gröbste Abschätzung schon gefunden habe. Du hättest also [mm] cos(\bruch{x}{n}) [/mm] <= 1, [mm] cos^2(x) [/mm] <= 1 und [mm] -1+cos^2(x) [/mm] = [mm] sin^2(x) [/mm] <= 1 gesagt und wärst auf [mm] cos(\bruch{x}{n}) \bruch{1+cos^2(x)}{1+x^2} e^{u(-1+cos^2(x))} [/mm] <= 1 [mm] \bruch{1+1}{1+x^2} e^{u} [/mm] gekommen? Woran erkenne ich jetzt, dass das integrierbar ist und das es die gröbste mögliche Abschätzung ist? Ich hab die Funktion mal geplottet und sie sieht nicht wirklich integrierbar aus...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
für [mm] u\ge0 [/mm] ist doch [mm] e^{u*(-1+cos^2(x)}\le e^0=1 [/mm] und du integrierst nur über pos u?
Gruss leduart
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ja, diese Abschätzung ist mir auch zuerst eingefallen, aber wenn ich mir den Plot dazu anschaue:
[Externes Bild http://s7.directupload.net/images/120115/temp/kujuljg9.png]
scheint das Integral wieder unendlich zu sein und damit die Majorante zu grob abgeschätzt. Übrigens würde die Abschätzung doch auch für jedes u gelten oder nicht?
Mir scheint es also, als ob ich definitiv die Abhängigkeit von x und u brauche, aber auch der Plot meiner vorherigen Abschätzung scheint nicht integrierbar zu sein, weil die Funktionswerte mit [mm] e^u [/mm] wieder ins Unendliche wachsen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
der plot sagt mir nicht viel.wenn ich ihn ansehe sieht er mir als f(x,u) zu glatt aus? wie kann er für u pos und negativ so symmetrisch sein?
du hast doch für u>0 insgesamt einen negativen Exponenten nur für vereinzelte x ist er 0.
für u<0 einen der positiv ist, aber dein integral läuft doch nur über positive u?
Stell Bilder, die du selbst erstellt hast bitte direkt hier ein! (Bilder hochladen)
gruss leduart
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Das ist nicht der Plot von f(x,u), sondern von der/deiner Abschätzung [mm] \overline{f}(x,u) [/mm] = [mm] 2/(1+x^2) [/mm] * exp{u}. Diese Funktion muss auf dem angegebenen iterierten Integral ja integrierbar sein, damit ich das Majorantenkriterium anwenden kann und auch wenn man sich u < 0 wegdenkt, sieht es dennoch höchst unintegrierbar aus.
Das mit den Bildern habe ich versucht, bin aber irgendwie zu doof dazu. Ich habe im Formeleditor zwar Bild/Dateianhänge, aber da zeigt er mir nur die Syntax. Einen Menüpunkt "Bilder hochladen" gibt es bei mir nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 15.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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