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| Aufgabe | Seien X, Y [mm] \in \C^{m,n} [/mm] so dass die Bildräume von X und Y orthogonal zueinander stehen. Beweisen sie, [mm] (||X+Y||_F)^2 [/mm] = [mm] (||X||_F)^2 [/mm] + [mm] (||Y||_F)^2 [/mm]
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Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter. Ich habe versucht die Frobeniusnorm umzuschreiben, leider komme ich so nicht auf die lösung.
Ich habe das schon mal für die euklidische Norm gemacht, denn da gilt ja:
[mm] (||X+Y||_2)^2 [/mm] = [mm] (||X||_2)^2 [/mm] + [mm] (||Y||_2)^2 [/mm] + 2*<X,Y>.
und da X und Y immer orthogonal sind, ist 2*<X,Y> = 0.
kann man das irgendwie zurückführen?
Hoffe mir kann jemand helfen.
MFG
N
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> Seien X, Y [mm]\in \IC^{m,n}[/mm] so dass die Bildräume von X und Y
> orthogonal zueinander stehen. Beweisen sie, [mm](||X+Y||_F)^2[/mm] =
> [mm](||X||_F)^2[/mm] + [mm](||Y||_F)^2[/mm]
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> ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter. Ich habe
> versucht die Frobeniusnorm umzuschreiben, leider komme ich
> so nicht auf die lösung.
> Ich habe das schon mal für die euklidische Norm gemacht,
> denn da gilt ja:
> [mm](||X+Y||_2)^2[/mm] = [mm](||X||_2)^2[/mm] + [mm](||Y||_2)^2[/mm] + 2*<X,Y>.
Hallo,
irgendwie machst Du mich gerade wirr...
X,Y sind doch Matrizen, richtig?
Auf Matrizen haben wir doch keine euklidische Norm. (?)
Und was meinst Du mit <X,Y>?
Die Frobeniusnorm geht ja so: [mm] ||A||_F^2:=spur(AA^H)
[/mm]
Du mußt also [mm] spur((X+Y)(X+Y)^H) [/mm] berechnen.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Mo 02.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Seien X, Y [mm]\in \C^{m,n}[/mm] so dass die Bildräume von X und Y
> orthogonal zueinander stehen. Beweisen sie, [mm](||X+Y||_F)^2[/mm] =
> [mm](||X||_F)^2[/mm] + [mm](||Y||_F)^2[/mm]
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> Hallo,
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> ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter. Ich habe
> versucht die Frobeniusnorm umzuschreiben, leider komme ich
> so nicht auf die lösung.
> Ich habe das schon mal für die euklidische Norm gemacht,
> denn da gilt ja:
> [mm](||X+Y||_2)^2[/mm] = [mm](||X||_2)^2[/mm] + [mm](||Y||_2)^2[/mm] + 2*<X,Y>.
> und da X und Y immer orthogonal sind, ist 2*<X,Y> = 0.
Was ist hier $<X, Y>$?
> kann man das irgendwie zurückführen?
Man kann es sehr aehnlich machen. Die Frobeniusnorm entspringt einem Skalarprodukt, naemlich [mm] $\langle [/mm] A, B [mm] \rangle_F [/mm] := Spur(A [mm] B^H)$; [/mm] dann ist [mm] $\| [/mm] A [mm] \|_F [/mm] = [mm] \sqrt{ \langle A, B \rangle_F }$. [/mm] Wenn $A = [mm] (a_{ij})$ [/mm] ist und $B = [mm] (b_{ij})$, [/mm] dann ist [mm] $\langle [/mm] A, B [mm] \rangle_F [/mm] = [mm] \sum_{i, j} a_{ij} \overline{b_{ij}}$. [/mm] Also man hat sozusagen das ``Standardskalarprodukt'' auf [mm] $\IC^{m, n}$.
[/mm]
Jetzt hast du allerdings [mm] $\| [/mm] X + Y [mm] \|_F^2 [/mm] = [mm] \langle [/mm] X + Y, X + Y [mm] \rangle_F [/mm] = [mm] \langle [/mm] X, X [mm] \rangle [/mm] + [mm] \langle [/mm] Y, Y [mm] \rangle [/mm] + [mm] \langle [/mm] X, Y [mm] \rangle [/mm] + [mm] \langle [/mm] Y, X [mm] \rangle [/mm] = [mm] \| [/mm] X [mm] \|_F^2 [/mm] + [mm] \| [/mm] Y [mm] \|_F^2 [/mm] + 2 [mm] \Re \langle [/mm] X, Y [mm] \rangle_F$. [/mm] Also musst du zeigen, dass [mm] $\Re \langle [/mm] X, Y [mm] \rangle_F [/mm] = 0$ ist.
Nun ist [mm] $\langle [/mm] X, Y [mm] \rangle_F [/mm] = Spur(X [mm] Y^H)$, [/mm] womit du zeigen musst, dass der Realteil davon $0$ ist. Aber jetzt kommt deine Voraussetzung ins Spiel (daraus folgt naemlich schon $X [mm] Y^H [/mm] = 0$, weisst du warum?).
LG Felix
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Hallo,
danke erst mal für deine Antwort.
Also, nach Vorraussetzung sind die Bildräume von X und Y orthogonal.
Aber warum ist dann [mm] X*Y^H [/mm] = X* [mm] \overline{Y^T} [/mm] = 0 ICh multipliziere doch hier einfach nur
zwei Matrizen miteinander... könntest du mir das noch mal erklären.
vielen dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Di 03.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> danke erst mal für deine Antwort.
> Also, nach Vorraussetzung sind die Bildräume von X und Y
> orthogonal.
> Aber warum ist dann [mm]X*Y^H[/mm] = X* [mm]\overline{Y^T}[/mm] = 0 ICh
> multipliziere doch hier einfach nur
> zwei Matrizen miteinander... könntest du mir das noch mal
> erklären.
Dazu beantworte die folgenden zwei Fragen:
- Was ist der Bildraum von $X$ (bzw. $Y$)?
- Was ist der $(i, j)$-Eintrag von $X [mm] Y^H$?
[/mm]
Beantworte beides in Bezug auf die Spalten von $X$ bzw. $Y$.
LG Felix
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ok, spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren(also sind dann die Spalten als vektoren geschrieben der Bildraum!?).
und der i,j- Eintrag ist doch gleich: [mm] \summe_{k=1}^{n} X_{i,k}*Y_{j,k}.
[/mm]
Also ist das doch quasi das Produkt der Bildräume der beiden und da sie orthogonal sind, sind sie gleich null... stimmt das so...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Do 05.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ok, spalten der Matrix sind die Bilder der
> Basisvektoren(also sind dann die Spalten als vektoren
> geschrieben der Bildraum!?).
Die Spalten der Matrix bilden ein Erzeugendensystem des Bildraums, da der Bildraum die Menge der Linearkombinationen der Spalten ist.
> und der i,j- Eintrag ist doch gleich: [mm]\summe_{k=1}^{n} X_{i,k}*Y_{j,k}.[/mm]
Fast: du hast das konjugieren vergessen. Also [mm]\summe_{k=1}^{n} X_{i,k} \overline{Y_{j,k}}[/mm]. Und das ist bekanntlich das Standardskalarprodukt von der $i$-ten Spalte von $X$ mit der $j$-ten Spalte von $Y$.
> Also ist das doch quasi das Produkt der Bildräume der
> beiden und da sie orthogonal sind, sind sie gleich null...
> stimmt das so...?
Was verstehst du hier unter `quasi' und `Produkt'?
LG Felix
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