"Fressmatrix" berechnen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:48 Sa 04.06.2011 | | Autor: | nilu |
| Aufgabe | Modellierung eines Räuber-Beute-Modells am Beispiel von Hasen und Füchsen mit den Methoden der Linearen Algebra
Feldhasen gelten in EU als Symbole der Fruchtbarkeit. Weibliche Feldhasen können schon nach einem Jahr trächtig werden. Sie können bis zu dreimal pro Jahr gebären, wobei jeweils zwei bis drei selten sechs Jungtiere geworfen werden (durchschnittlich 3,6 weibliche pro Jahr). Obwohl die Tragezeit zwischen 42 bis 43 tage beträgt, kommt es vor dass der Altersunterschied von Geschwistern nur 35 Tage ist, da die Häsinnen doppelte Gebärmuttern besitzen. Die altersungleichen Zwillinge können dabei von unterschiedlichen Vätern sein, da Feldhasen stark polygam sind. Spermazellen der männlichen Hasen können von den WEibchen länger als einen Monat lebend gespeichert werden. So kommt es vor, dass altersungleiche Zwillinge ohne eine neue Befruchtung entstehen. Diese erstaunlichen Mechanismen sind darauf angelegt, eine möglichst große Reproduktionsrate zu ermöglichen. Diese ist notwendig, da die Überlebensrate, besonders von Jungtieren sehr gering ist: Unbejagt sterben ca. 55% der Jungtiere im ersten Jahr- z.B. weil sehr junge Hasen noch nicht vor landwirtschaftlichen Geräten flüchten können. Auch ca. 44% der adulten Tiere überleben ohne Räuber nicht bis zum Folgejahr.
1. Entwickeln Sie ein Populationsmodell für unbejagte weibliche Hasen:
a) Unterteilen Sie die Population geeignet und begründet nach Altersklassen
b) Zeichnen Sie einen passenden Übergangsgraphen
c) stellen Sie eine geeignete Lesliematrix auf und erklären sie jedes matrizenelement bezogen auf ih populationsmodell
d)berechnen sie die populationswerte für das folgejahr, wenn es beim beginn des beobachtungszeitraumes 360 jungtiere und 100 adulte tiere gibt.
e) berechnen sie auf 2 arten die populationswerte für das übernächste jahr. falls sie runden, begründen sie dies.
f) beurteilen sie rechnerisch das langzeitverhalten der population
g) berechnen sie das zehntelwertsalter der adulten hasen. berechnen sie das alter das nur 10% der adulten hasen erreichen.
Entwicklung eines Populationsmodells für unbejagte weibliche Hasen:
Es gibt zwei Altersklassen: Jungtiere (bis zu einem Jahr)
Alte Tiere (ab einem Jahr)
-Sie gebären durchschnittlich 3,6 Jungen
- Überklebensrate der Jungtiere unbejagt 45%
- Überlebensrate der Alttiere 56%
Populationsmatrix unbejagt :
0 3,6
0,45 0,56
2. In Wirklichkeit werden die Hasen von Räubern gejagt. Nehmen wir an, der Rotfuchs wäre der einzige Räuber.
a) Für eine erste Anäherung an die Realität nehmen wir an, dass das Bejagen, die Überlebensrate von Junghasen auf 15% und die Überlebensrate für adulte Hasen auf 0,46 abnehmen lässt. Um die Situation darzustellen, soll die Bejagung durch eine der Populationsmatrix nachgestellte "Fressmatrix" F mathematisiert werden.
Grob gesagt tun wir so, als ob sich die Hasen wie üblich ein Jahr lang vermehren und dann am Ende des Jahres plötzlich gefressen werden.
Ändert sich durch das Bejagen das Reproduktionsverhalten?der Hasen?
Berechnen Sie mit Hilfe der obigen Angaben die "Fressmatrix " F.
b) Berechnen Sie, wie viele hasen nach einem modifizierten Modell nach einem Jahr noch vorhanden sind
c) Die in a) modellierte Fressmatrix F ging von einem Fuchsbestand y0 von 270 jungen und 115 alten füchsen aus. Nehmen wir ferner an, dass das Fressverhalten in jeder Fuchsaltersklasse proportional zu der Anzahl der vorhandenen Individuen ist. Geben sie eine modifizierte Fressmatrix in Abhängigkeit der Anzahl der Füchse in jeder Altersklasse an!
Anleitung:
Die "Fressmatrix" F aus a) muss sich ergeben wenn man eine spezifische "Fressmatrix " SF auf den Fuchsanfangsvektor y0 anwendet. Da aber eine 2x2- Matrix auf einen Vektor angewendet keine 2x2 Matrix, sondern einen Vektor ergibt, muss der Fuchsanfangsvektor y0 zu einer Matrix Y0 erweitert werden. Nun kann man F(y) = SF*Y für eine beliebige Fuchspopulation y berechnen. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://oberprima.com/
Den ersten aufgabenteil habe ich gelöst. Mein Problem ist aufgabe 2.
bei a) habe ich zwei ergebnisse raus. Nämlich einmal zu der annahme dass die geburtenrate 3,6 gleichbleibt (bezüglich der frage nach dem reproduktionsverhalten)oder zu der annahme dass sie abnimmt weil am ende des jahres auch ein teil der "neuen jungtiere "gefressen werden" und diese das fressen nicht mehr überleben.
1)(gesuchte matrix)mit den elementen a;b;c;d; multipliziert mit der lesliematrix (unbejagt) 0;3,6;0,45;0,56; ergibt gleich die matrix (bejagt)0;3,6;0,15;0,46
Dann hab ich die gesuchte matrix mithilfe des linearen gleichungssystem gelöst.
2) Hier habe ich erstmal den anteil ausgerechnet um wieviel sich die überlebensrate durch das bejagen verringert. 45->15 (1/3 überlebtnach der bejagung) 56-> 46 (82% übrlebt nach der bejagung/fressen)
Es wär echt nett wenn jmd verbesserungsvorschläge/tipps hätte oder hilfe zu c) bieten könnte da ich einfach nicht weiter komme :((
dieser überlebende anteil jeweils habe ich in eine einheitsmatrix getan und mit der anfangmatrix multipliziert.
heraus kam unten genau die veränderten überlebensraten 0,15 und 0,46 und oben hat sich auch die geburtenrate geändert nämlich auf 2,95
Mein hauptsächliches problem liegt jedoch bei 2. c)!
Denn hier muss ist ja eine "allgemeine Fressmatrix" in abhängigkeit der anzahl der Füchse gesucht.
jedoch kann ich mit den beiden ergebnissen aus a) nur ein logisches ergenis aus c) erzielen. wenn ich jedoch mit der errechneten Fressmatrix SF versuche die fressmatrix für höher oder niedrigere fuchanzahlen zu berechnen und dann diese auf die anfangpopulationsmatrix multipliziere kommen sehr unlogische zahlen raus. dabei müsste sich doch bei veränderung des fuchbestandes auch dementsprechend die überlebensraten etc. verändern.
Um SF zu berechnen habe ich wie in der anleitung gefördert den fuchsanfangsvektor 270j und 115 alte füchse in eine einheitsmatix verwandelt: 270 0 115 0
diese habe ich dann mit der gesuchten SF ( a b c d) multipliziert) und versucht diese mithile desgleichungssystems zu lösen da diese multiplikation die fressmatrix aus a) ergeben muss.
wie gesagt bekomme ich keine logischen zahlen und weiß auch nicht ob meine fressmatrix aus a) falsch ist oder ob ich den vektor falsch erweitert habe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Do 09.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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