Frequenzen v. Klaviertasten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hey!
ich gehe gerade (zur Übung) meine Algebra-Klausur noch einmal durch, doch die eine Aufgabe verwirrt mich ein wenig!
Es geht um folgendes:
Aufeinander folgende Klaviertasten haben bei gleichschwebender Stimmung die Frequenzen [mm] \nu_0,\nu_1,...,\nu_{12} [/mm] (aufsteigend) mit
(1) [mm] \alpha:= \bruch{\nu_1}{\nu_0}=\bruch{\nu_2}{\nu_1}=...=\bruch{\nu_{12}}{\nu_{11}} [/mm] und
(2) [mm] \bruch{\nu_{12}}{\nu_0}=2 [/mm] (Oktave).
Ist das Frequenzverhältnis [mm] \alpha [/mm] eine rationale Zahl?
So, nun habe ich rumgerechnet und heraus bekommen, dass es sogar mit reellen Zahlen funktioniert (z.B.: [mm] \nu_1=0,1 [/mm] ; [mm] \nu_0=0,6 [/mm] ; [mm] \nu_{12}=1,2 [/mm] und [mm] \nu_{11}=7,2.
[/mm]
Dann wären beide Bedingungen erfüllt, und somit müsste [mm] \alpha [/mm] eine rationale Zahl sein. Doch Zahlenbeispiele sind ja kein formaler Beweis!
Hat jemand vielleicht eine Idee???
LG Jessi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 So 27.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo Jessi.
> Es geht um folgendes:
> Aufeinander folgende Klaviertasten haben bei
> gleichschwebender Stimmung die Frequenzen
> [mm]\nu_0,\nu_1,...,\nu_{12}[/mm] (aufsteigend) mit
> (1) [mm]\alpha:= \bruch{\nu_1}{\nu_0}=\bruch{\nu_2}{\nu_1}=...=\bruch{\nu_{12}}{\nu_{11}}[/mm]
> und
> (2) [mm]\bruch{\nu_{12}}{\nu_0}=2[/mm] (Oktave).
> Ist das Frequenzverhältnis [mm]\alpha[/mm] eine rationale Zahl?
>
> So, nun habe ich rumgerechnet und heraus bekommen, dass es
> sogar mit reellen Zahlen funktioniert (z.B.: [mm]\nu_1=0,1[/mm] ;
> [mm]\nu_0=0,6[/mm] ; [mm]\nu_{12}=1,2[/mm] und [mm]\nu_{11}=7,2.[/mm]
Mit [mm]\nu_1=0,1[/mm] und [mm]\nu_0=0,6[/mm] ist ja [mm]\alpha=\bruch{1}{6}[/mm].
Rechnet man also weiter, bekommt man die Werte:
[mm]\nu_{k+1}=\alpha*\nu_k[/mm]
Die Werte werden also immer kleiner, fuer zunehmendes k und
dann kommt Dein Ergebnis hinten nicht hin.
Frequenzen aufeinanderfolgender Klaviertasten werden immer
groesser, da steht ja auch "aufsteigend", die sind geordnet.
> Dann wären beide Bedingungen erfüllt, und somit müsste
> [mm]\alpha[/mm] eine rationale Zahl sein. Doch Zahlenbeispiele sind
> ja kein formaler Beweis!
> Hat jemand vielleicht eine Idee???
Ja.
Bedingung (2) weist darauf hin, ein Teleskopprodukt zielfuehrend
sein koennte.
Versuch mal, [mm]\alpha^{12}[/mm] auszurechnen...
Gruss,
Monika.
|
|
|
| |
|
> Hallo Jessi.
>
> > Es geht um folgendes:
> > Aufeinander folgende Klaviertasten haben bei
> > gleichschwebender Stimmung die Frequenzen
> > [mm]\nu_0,\nu_1,...,\nu_{12}[/mm] (aufsteigend) mit
> > (1) [mm]\alpha:= \bruch{\nu_1}{\nu_0}=\bruch{\nu_2}{\nu_1}=...=\bruch{\nu_{12}}{\nu_{11}}[/mm]
> > und
> > (2) [mm]\bruch{\nu_{12}}{\nu_0}=2[/mm] (Oktave).
> > Ist das Frequenzverhältnis [mm]\alpha[/mm] eine rationale Zahl?
> >
> > So, nun habe ich rumgerechnet und heraus bekommen, dass es
> > sogar mit reellen Zahlen funktioniert (z.B.: [mm]\nu_1=0,1[/mm] ;
> > [mm]\nu_0=0,6[/mm] ; [mm]\nu_{12}=1,2[/mm] und [mm]\nu_{11}=7,2.[/mm]
>
> Mit [mm]\nu_1=0,1[/mm] und [mm]\nu_0=0,6[/mm] ist ja [mm]\alpha=\bruch{1}{6}[/mm].
> Rechnet man also weiter, bekommt man die Werte:
> [mm]\nu_{k+1}=\alpha*\nu_k[/mm]
> Die Werte werden also immer kleiner, fuer zunehmendes k
> und
> dann kommt Dein Ergebnis hinten nicht hin.
Hallo Monika!
Ja danke, jetzt ist mir mein Fehler klar geworden!
> Frequenzen aufeinanderfolgender Klaviertasten werden immer
> groesser, da steht ja auch "aufsteigend", die sind
> geordnet.
>
> > Dann wären beide Bedingungen erfüllt, und somit müsste
> > [mm]\alpha[/mm] eine rationale Zahl sein. Doch Zahlenbeispiele sind
> > ja kein formaler Beweis!
> > Hat jemand vielleicht eine Idee???
>
> Ja.
> Bedingung (2) weist darauf hin, ein Teleskopprodukt
> zielfuehrend
> sein koennte.
Ich habe aber leider keine Ahnung, was ein "Teleskopprodukt" ist! Könntest du mir das vielleicht noch einmal näher erläutern?! DANKE!
Lieben Gruß Jessi
> Versuch mal, [mm]\alpha^{12}[/mm] auszurechnen...
>
> Gruss,
> Monika.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Mo 28.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo Jessi.
> > Ja.
> > Bedingung (2) weist darauf hin, ein Teleskopprodukt
> > zielfuehrend
> > sein koennte.
>
> Ich habe aber leider keine Ahnung, was ein
> "Teleskopprodukt" ist! Könntest du mir das vielleicht noch
> einmal näher erläutern?!
Sagen wir, Du hast irgendwelche Zahlen [mm]a, b, c, d[/mm] und folgende
Brueche: [mm]\bruch{a}{b}[/mm], [mm]\bruch{b}{c}[/mm], [mm]\bruch{c}{d}[/mm].
Wenn Du diese Brueche miteinander multiplizierst, kannst Du
ziemlich viel "teleskopartig" kuerzen und erhaelst als Ergebnis
[mm]\bruch{a}{d}[/mm].
Mit [mm]\bruch{b}{a}[/mm], [mm]\bruch{c}{b}[/mm], [mm]\bruch{d}{c}[/mm] ist es nicht viel anders.
Damit sollte es gehen.
Ansonsten meld Dich nochmal.
Gruss,
Monika.
|
|
|
| |
|
> Wenn Du diese Brueche miteinander multiplizierst, kannst
> Du
> ziemlich viel "teleskopartig" kuerzen und erhaelst als
> Ergebnis
> [mm]\bruch{a}{d}[/mm].
>
> Mit [mm]\bruch{b}{a}[/mm], [mm]\bruch{c}{b}[/mm], [mm]\bruch{d}{c}[/mm] ist es nicht
> viel anders.
Halli Hallo!
Meinst du damit, dass ich Bedingung (1) so lange kürzen soll, bis [mm] \alpha=\bruch{\nu_{12}}{\nu_0} [/mm] herauskommt?!
Aber zwischen den Brüchen stehen doch Gleichheitszeichen! Das sind doch keine Produkte in deinem Sinne. Verwirrung!!!
Dann wäre [mm] \alpha=2 [/mm] nach Bedingung (2)?!
Oh Mann, vielleicht hätte ich lieber Klavier und nicht Blockflöte lernen sollen! SMILE.
Gruß Jessi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Mo 28.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo.
> > Wenn Du diese Brueche miteinander multiplizierst, kannst
> > Du
> > ziemlich viel "teleskopartig" kuerzen und erhaelst als
> > Ergebnis
> > [mm]\bruch{a}{d}[/mm].
> >
> > Mit [mm]\bruch{b}{a}[/mm], [mm]\bruch{c}{b}[/mm], [mm]\bruch{d}{c}[/mm] ist es nicht
> > viel anders.
>
> Meinst du damit, dass ich Bedingung (1) so lange kürzen
> soll, bis [mm]\alpha=\bruch{\nu_{12}}{\nu_0}[/mm] herauskommt?!
> Aber zwischen den Brüchen stehen doch Gleichheitszeichen!
Ja.
> Das sind doch keine Produkte in deinem Sinne.
So wie es da steht, nicht.
Aber wuerde man [mm]\alpha^{12}[/mm] bilden, dann saehe
die Sache schon anders aus.
> Verwirrung!!!
> Dann wäre [mm]\alpha=2[/mm] nach Bedingung (2)?!
Nicht ganz.
> Oh Mann, vielleicht hätte ich lieber Klavier und nicht
> Blockflöte lernen sollen! SMILE.
Nur nicht aufgeben. 
Gruss,
Monika.
|
|
|
| |
|
> > Das sind doch keine Produkte in deinem Sinne.
>
> So wie es da steht, nicht.
>
> Aber wuerde man [mm]\alpha^{12}[/mm] bilden, dann saehe
> die Sache schon anders aus.
Also ist [mm] \alpha^{12}=\bruch{\nu_{12}}{\nu_0}.
[/mm]
> > Verwirrung!!!
> > Dann wäre [mm]\alpha=2[/mm] nach Bedingung (2)?!
>
> Nicht ganz.
Ist dann [mm] \alpha=\wurzel[12]{\bruch{\nu_{12}}{\nu_0}} [/mm] ?
Lieben Gruß Jessi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Mo 28.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo Jessi.
> > > Das sind doch keine Produkte in deinem Sinne.
> >
> > So wie es da steht, nicht.
> >
> > Aber wuerde man [mm]\alpha^{12}[/mm] bilden, dann saehe
> > die Sache schon anders aus.
>
> Also ist [mm]\alpha^{12}=\bruch{\nu_{12}}{\nu_0}.[/mm]
>
> > > Verwirrung!!!
> > > Dann wäre [mm]\alpha=2[/mm] nach Bedingung (2)?!
> >
> > Nicht ganz.
>
> Ist dann [mm]\alpha=\wurzel[12]{\bruch{\nu_{12}}{\nu_0}}[/mm] ?
Ja.
Und mit (2) also [mm]\alpha=\wurzel[12]{2}[/mm]
Damit kannst Du die Frage beantworten.
Gruss,
Monika.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Staatsi21 |
Oh, super, du hast mir meinen Tag gerettet!
Endlich mal wieder ein Erfolgserlebnis!!!
Vielen, vielen Dank. Warst mir eine super Hilfe!
Gruß Jessi
|
|
|
|
