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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass, wenn [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] abgeschlossen unter Untergruppenbildung ist, eine Gruppe, die frei bzgl. Definition 1 ist, auch frei bzgl. Definition 2 ist. |
Definition 1: Sei $X$ eine Menge und [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] eine Klasse von Gruppen. [mm] $F\in\mathcal{C}$ [/mm] mit einer Abbildung [mm] $\iota:X\rightarrow [/mm] F$ heißt [mm] $\mathcal{C}$-frei [/mm] über $X$, wenn [mm] $\forall G\in\mathcal{C}\forall f:X\rightarrow [/mm] G$ es genau einen Homomorphismus [mm] $\overline{f}:F\rightarrow [/mm] G$ mit [mm] $f=\overline{f}\circ\iota$ [/mm] gibt.
Definition 2: Sei $X$ eine Menge und [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] eine Klasse von Gruppen. [mm] $F\in\mathcal{C}$ [/mm] mit einer Abbildung [mm] $\iota:X\rightarrow [/mm] F$ heißt [mm] $\mathcal{C}$-frei [/mm] über $X$, wenn
1) $F$ von [mm] $\iota(X)$ [/mm] erzeugt wird und
2) [mm] $\forall G\in\mathcal{C}\forall f:X\rightarrow [/mm] G$ es einen Homomorphismus [mm] $\overline{f}:F\rightarrow [/mm] G$ mit [mm] $f=\overline{f}\circ\iota$ [/mm] gibt.
Um die Implikation zu beweisen, muss ich also zeigen, dass wenn es genau einen solchen Homomorphismus gibt, dass dann mein [mm] $\iota(X)$ [/mm] die Gruppe $F$ erzeugt.
Damit habe ich aber Schwierigkeiten; da in der Voraussetzung etwas von "abgeschlossen unter Untergruppenbildung" steht, glaube ich, dass es mir weiterhelfen wird, wenn ich als meine beliebige Gruppe $G$ mein $F$ wähle und [mm] $f=\iota$.
[/mm]
Ich habe also folgende Situation:
[mm] $G:=Erz(\iota(X))$.
[/mm]
[mm] $\iota:X\rightarrow [/mm] F, [mm] \iota: X\rightarrow [/mm] G$ und es gibt genau einen Homomorphismus [mm] $\overline{f}$, [/mm] der, eingeschränkt auf [mm] $G\subseteq [/mm] F$, die Identität ist. Ich muss zeigen, dass dann $F=G$ gilt.
Ich habe mir versucht, einen Homomorphismus zu konstruieren und dann zu zeigen, dass er injektiv ist. Leider ist mir das nicht gelungen..
Bin ich auf dem richtigen Weg?
Andere Vorschläge?
Würde mich sehr über eure Hilfe freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Mi 13.03.2013 | | Autor: | hippias |
> Zeigen Sie, dass, wenn [mm]\mathcal{C}[/mm] abgeschlossen unter
> Untergruppenbildung ist, eine Gruppe, die frei bzgl.
> Definition 1 ist, auch frei bzgl. Definition 2 ist.
> Definition 1: Sei [mm]X[/mm] eine Menge und [mm]\mathcal{C}[/mm] eine Klasse
> von Gruppen. [mm]F\in\mathcal{C}[/mm] mit einer Abbildung
> [mm]\iota:X\rightarrow F[/mm] heißt [mm]\mathcal{C}[/mm]-frei über [mm]X[/mm], wenn
> [mm]\forall G\in\mathcal{C}\forall f:X\rightarrow G[/mm] es genau
> einen Homomorphismus [mm]\overline{f}:F\rightarrow G[/mm] mit
> [mm]f=\overline{f}\circ\iota[/mm] gibt.
>
> Definition 2: Sei [mm]X[/mm] eine Menge und [mm]\mathcal{C}[/mm] eine Klasse
> von Gruppen. [mm]F\in\mathcal{C}[/mm] mit einer Abbildung
> [mm]\iota:X\rightarrow F[/mm] heißt [mm]\mathcal{C}[/mm]-frei über [mm]X[/mm], wenn
> 1) [mm]F[/mm] von [mm]\iota(X)[/mm] erzeugt wird und
> 2) [mm]\forall G\in\mathcal{C}\forall f:X\rightarrow G[/mm] es
> einen Homomorphismus [mm]\overline{f}:F\rightarrow G[/mm] mit
> [mm]f=\overline{f}\circ\iota[/mm] gibt.
>
> Um die Implikation zu beweisen, muss ich also zeigen, dass
> wenn es genau einen solchen Homomorphismus gibt, dass dann
> mein [mm]\iota(X)[/mm] die Gruppe [mm]F[/mm] erzeugt.
> Damit habe ich aber Schwierigkeiten; da in der
> Voraussetzung etwas von "abgeschlossen unter
> Untergruppenbildung" steht,
[mm] $\mathcal{C}$ [/mm] heisst abgeschlossen bezueglich Untergruppenbildung, wenn fuer alle [mm] $G\in \mathcal{C}$ [/mm] gilt, dass auch jede Untergruppe von $G$ in [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] enthalten ist.
> glaube ich, dass es mir
> weiterhelfen wird, wenn ich als meine beliebige Gruppe [mm]G[/mm]
> mein [mm]F[/mm] wähle und [mm]f=\iota[/mm].
> Ich habe also folgende Situation:
>
> [mm]G:=Erz(\iota(X))[/mm].
> [mm]\iota:X\rightarrow F, \iota: X\rightarrow G[/mm] und es gibt
> genau einen Homomorphismus [mm]\overline{f}[/mm], der,
> eingeschränkt auf [mm]G\subseteq F[/mm], die Identität ist. Ich
> muss zeigen, dass dann [mm]F=G[/mm] gilt.
> Ich habe mir versucht, einen Homomorphismus zu
> konstruieren und dann zu zeigen, dass er injektiv ist.
> Leider ist mir das nicht gelungen..
> Bin ich auf dem richtigen Weg?
> Andere Vorschläge?
>
> Würde mich sehr über eure Hilfe freuen.
Wegen [mm] $G\leq [/mm] F$ und der Abgeschlossenheit ist [mm] $G\in \mathcal{C}$. [/mm] Weise nach, dass das Paar $(G, [mm] \iota)$ [/mm] auf Definition 1 erfuellt:
Sei [mm] $Y\in \mathcal{C}$ [/mm] und [mm] $g:X\to [/mm] Y$. Die Existenz des Homomorphismus folgt durch Einschraenkung [mm] $\bar{g}$ [/mm] von $F$. Ist [mm] $\gamma:G\to [/mm] Y$ ein weiterer solcher Homomorphismus, also $f= [mm] \gamma\circ \iota$, [/mm] so ist [mm] $\gamma\circ\bar{f}\circ \iota= \iota$, [/mm] also wegen der Eindeutigkeit [mm] $\bar{g}= \gamma\circ \bar{f}$. [/mm] Wegen [mm] $\bar{f}_{\vert_{G}}= [/mm] id$ folgt die Gleichheit.
Nun muesstest Du Dir einen schoenen Homomorphismus [mm] $:G\to [/mm] F$ basteln koennen, der Dir die Gleichheit liefert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Fr 15.03.2013 | | Autor: | ehjcuioe34 |
Vielen Dank für deine Hinweise!
Dieser Homomorphismus wird die Identität sein. Ich glaube ich verstehe die Lösung jetzt! Danke!
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