Freier Fall mit Luftreibung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Do 23.11.2006 | | Autor: | MasterMG |
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Hi, ich habe hier eine Aufgabe, die ich zumindest zum Teil gelöst habe bzw. mir einen Lösungsansatz überlegt habe.
Aufgabe:
Im freien Fall ist ein Körper der Masse m der Schwerkraft (o.B.d.A. in negativer x-Richtung) ausgesetzt. Die Luftreibung wird durch eine zusätzliche Reibungskraft [mm] -\gamma [/mm] y(t) (hierbei ist y=x abgeleitet) berücksichtigt. Stellen sie inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung für das Weg-Zeit-Gesetz x(t) in Anwesendheit von Luftreibung auf.
a) Geben sie zunächst zwei Fundamentallösungen und die allgemeine Lösung der zugehögigen homogenen Differentialgleichung an.
b)Lösen sie die inhomogene Differentialgleichung nach der Methode der Variation der Konstanten.
Mein Ansatz bzw. Lösung:
$ [mm] F(Reibungskraft)=-\gamma [/mm] y $
$ F(Gravitatinskraft)=-mg $
mz(t)=F(Reibungskraft)+F(Gravitatinskraft) mit z = 2.Ableitung von x
[mm] mz(t)=-(\gamma/m)y-g
[/mm]
[mm] 0=z(t)+(\gamma/m)y
[/mm]
[mm] x(t)=e^{\delta*t}
[/mm]
[mm] y(t)=\delta e^{\delta*t}
[/mm]
[mm] z(t)=\delta^2 e^{\delta*t}
[/mm]
[mm] 0=\delta^2 e^{\delta*t} [/mm] + [mm] (\gamma/m) \delta e^{\delta*t}
[/mm]
[mm] =\delta^2 [/mm] + [mm] (\gamma/m) \delta
[/mm]
[mm] =\delta (\delta [/mm] + [mm] \gamma/m)
[/mm]
[mm] \delta_{1} [/mm] = 0
[mm] \delta_{2} [/mm] = - [mm] \gamma/m
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = 1
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] e^{- (\delta/m) t }
[/mm]
Das ist der Teil a) und b) von der Aufgabe, wüsste erstmal ob das korrekt ist, ob ich was vergessen habe bzw. etwas berücksichtigen oder zufügen muss, bevor ich Teil c) und d) bearbeite.
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Also, was du geschrieben hast, ist nur die Lösung zu a).
Allerdings fehlt noch ein konstanter Faktor als freier Parameter in der Lösung. Schließlich ist das eine lineare dgl, das heißt, wenn x(t) ne Lösung ist, ist A*x(t) auch eine.
Dann mußt du die beiden Lösungen, die du hast, ja noch zu einer Lösung zusammensetzen.
Kannst du mir übrigens eine anschauliche Erklärung für die beiden Lösungen geben? Was genau stellen dir dar?
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