Frechet'sche Metrik < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Mo 14.11.2011 | | Autor: | anabiene |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Frechet'sche Metrik auf einem Vektorraum V durch [mm] d(x,y):=\rho(x-y)~ \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] V mit [mm] \rho [/mm] : V [mm] \to \IR [/mm] und folgenden Eigenschaften:
(F1) [mm] \rho(x)\geq [/mm] 0 und [mm] \rho(x)=0 \gdw [/mm] x=0
(F2) [mm] \rho(x)=\rho(-x)
[/mm]
(F3) [mm] \rho(x+y) \leq \rho(x) [/mm] + [mm] \rho(y)
[/mm]
Behauptung : für [mm] V=\IR^n [/mm] ist durch [mm] \rho(x):=\bruch{|x|}{1+|x|} [/mm] eine beschränkte Frechet'sche Metrik gegeben ist, die keine Norm ist, wobei [mm] |\cdot| [/mm] eine Norm ist. |
ich versteh leider nicht. Ist das jetzt eine Metrik oder nicht? und was ist eine beschränkte Metrik?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Mo 14.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei eine Frechet'sche Metrik auf einem Vektorraum V
> durch [mm]d(x,y):=\rho(x-y)~ \forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] V mit [mm]\rho[/mm] : V [mm]\to \IR[/mm]
> und folgenden Eigenschaften:
>
> (F1) [mm]\rho(x)\geq[/mm] 0 und [mm]\rho(x)=0 \gdw[/mm] x=0
> (F2) [mm]\rho(x)=\rho(-x)[/mm]
> (F3) [mm]\rho(x+y) \leq \rho(x)[/mm] + [mm]\rho(y)[/mm]
>
> Behauptung : für [mm]V=\IR^n[/mm] ist durch
> [mm]\rho(x):=\bruch{|x|}{1+|x|}[/mm] eine beschränkte Frechet'sche
> Metrik gegeben ist, die keine Norm ist, wobei [mm]|\cdot|[/mm] eine
> Norm ist.
> ich versteh leider nicht. Ist das jetzt eine Metrik oder
> nicht? und was ist eine beschränkte Metrik?
Für [mm]\rho(x):=\bruch{|x|}{1+|x|}[/mm] sollst Du 3 Dinge zeigen:
1. die Eigenschaften (F1),(F2) und (F3) sind erfüllt (Frechetsche Metrik)
2. es gibt ein c [mm] \ge [/mm] 0 mit [mm] \rho(x) \le [/mm] c für jedes x [mm] \in \IR^n. [/mm] (Beschränktheit)
3. [mm] \rho [/mm] ist keine Norm auf [mm] \IR^n [/mm] (Tipp: für x [mm] \ne [/mm] 0 berechne [mm] \rho(2x) [/mm] und $2* [mm] \rho(x)$. [/mm] Kommt da dasselbe raus ?)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mo 14.11.2011 | | Autor: | anabiene |
vielen Dank für die sehr schnelle Antwort!
also (F1): Ausdruck [mm] \bruch{|x|}{1+|x|} [/mm] ist nicht negativ, da die Norm nie negativ ist, also ist [mm] \rho(x)\geq [/mm] 0 erfüllt.
ps.: x sieht doch so aus oder: [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ . \\ . \\ . \\ x_n}? [/mm] Weil die Norm mit nur jeweils 1 Strich haben wir bisher nur gemacht, wenn [mm] V=\IR [/mm] ist. Bei höher dimensionalen haben wir immer jeweils 2 striche gemacht. Also müsste es dann nicht so heißen: [mm] \bruch{||x||}{1+||x||}?
[/mm]
[mm] \bruch{|x|}{1+|x|}=0 [/mm] ist nur möglich, wenn der Zähler 0 ist, also |x|=0 ist. Dies ist, weil es eine Norm ist, der Fall, wenn x=0 ist. Damit habe ich (F1) gezeigt, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Mo 14.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> vielen Dank für die sehr schnelle Antwort!
>
> also (F1): Ausdruck [mm]\bruch{|x|}{1+|x|}[/mm] ist nicht negativ,
> da die Norm nie negativ ist, also ist [mm]\rho(x)\geq[/mm] 0
> erfüllt.
Ja
>
> ps.: x sieht doch so aus oder: [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ . \\ . \\ . \\ x_n}?[/mm]
Ja
> Weil die Norm mit nur jeweils 1 Strich haben wir bisher nur
> gemacht, wenn [mm]V=\IR[/mm] ist. Bei höher dimensionalen haben wir
> immer jeweils 2 striche gemacht. Also müsste es dann nicht
> so heißen: [mm]\bruch{||x||}{1+||x||}?[/mm]
Von mir aus mach 2 Striche, aber das ist Jacke wie Hose.
>
> [mm]\bruch{|x|}{1+|x|}=0[/mm] ist nur möglich, wenn der Zähler 0
> ist, also |x|=0 ist. Dies ist, weil es eine Norm ist, der
> Fall, wenn x=0 ist. Damit habe ich (F1) gezeigt, oder?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Mo 14.11.2011 | | Autor: | anabiene |
cool Danke Fred!
Weiter gehts: [mm] \bruch{||-x||}{1+||-x||} [/mm] =(Norm) [mm] \bruch{|-1|\cdot ||x||}{1+ |-1| \cdot ||x||} [/mm] = [mm] \bruch{||x||}{1+||x||}. [/mm] Damit ist (F2) erfüllt.
(F3): [mm] \bruch{||x+y||}{1+||x+y||} \leq \bruch{||x||}{1+||x||} [/mm] + [mm] \bruch{||y||}{1+||y||} [/mm] gilt auch, weil bei der Norm die Dreiecksungleichung gilt.
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mo 14.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> cool Danke Fred!
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> Weiter gehts: [mm]\bruch{||-x||}{1+||-x||}[/mm] =(Norm)
> [mm]\bruch{|-1|\cdot ||x||}{1+ |-1| \cdot ||x||}[/mm] =
> [mm]\bruch{||x||}{1+||x||}.[/mm] Damit ist (F2) erfüllt.
Ja
>
> (F3): [mm]\bruch{||x+y||}{1+||x+y||} \leq \bruch{||x||}{1+||x||}[/mm]
> + [mm]\bruch{||y||}{1+||y||}[/mm] gilt auch, weil bei der Norm die
> Dreiecksungleichung gilt.
>
> Stimmt das so?
Nein . (F3) hast Du nicht gezeigt. Wenn Du nur die Dreiecksungl. für die Norm benutzt bekommst Du:
$ [mm] \bruch{||x+y||}{1+||x+y||} \leq \bruch{||x||}{1+||x+y||}$+[/mm] [mm]\bruch{||y||}{1+||x+y||}[/mm]
Tipp: Zeige f(t):= [mm] \bruch{t}{1+t} [/mm] ist wachsend, also ist
f(||x+y||) [mm] \le [/mm] f(||x||+||y||)
Dann brauchst Du noch: f(||x||+||y||) [mm] \le [/mm] f(||x||)+f(||y||)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mo 14.11.2011 | | Autor: | anabiene |
Danke 
f'(t)= [mm] \bruch{1}{(1+t)^2}>0 \forall [/mm] t [mm] \in \IR [/mm] ohne {-1}. Ich versteh diese Folgerung nur noch nicht ganz:
f(t):= $ [mm] \bruch{t}{1+t} [/mm] $ ist wachsend [mm] \Rightarrow [/mm] f(||x+y||) [mm] \le [/mm] f(||x||+||y||)
Kannst du noch was dazu sagen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mo 14.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke
>
> f'(t)= [mm]\bruch{1}{(1+t)^2}>0 \forall[/mm] t [mm]\in \IR[/mm] ohne {-1}.
> Ich versteh diese Folgerung nur noch nicht ganz:
>
> f(t):= [mm]\bruch{t}{1+t}[/mm] ist wachsend [mm]\Rightarrow[/mm] f(||x+y||)
> [mm]\le[/mm] f(||x||+||y||)
>
> Kannst du noch was dazu sagen?
Setze s:=||x+y|| und t=||x||+||y|| . Dann ist s [mm] \le [/mm] t und damit f(s) [mm] \le [/mm] f(t)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mo 14.11.2011 | | Autor: | anabiene |
Wow wie klug! Danke!
jetzt ist also dann noch dies zu zeigen: f(||x||+||y||) $ [mm] \le [/mm] $ f(||x||)+f(||y||) oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mo 14.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wow wie klug! Danke!
> jetzt ist also dann noch dies zu zeigen: f(||x||+||y||)
> [mm]\le[/mm] f(||x||)+f(||y||) oder?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mo 14.11.2011 | | Autor: | anabiene |
ich definiere mal: [mm] \zeta [/mm] := ||x|| und [mm] \xi [/mm] := ||y||. Dann ist [mm] t=\zeta [/mm] + [mm] \xi
[/mm]
Also ich krieg nur Gleichheit hin: [mm] t=\zeta+\xi \Rightarrow f(t)=f(\zeta)+ f(\xi). [/mm] Aber das ist doch falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Mo 14.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Du bist auf dem falschen Dampfer !
Wir hatten:
$ [mm] \rho(x+y)= \bruch{||x+y||}{1+||x+y||} \le \bruch{||x||+||y||}{1+||x||+||y||}$
[/mm]
Weiter gehts:
[mm] $\bruch{||x||+||y||}{1+||x||+||y||}= \bruch{||x||}{1+||x||+||y||}+\bruch{||y||}{1+||x||+||y||} \le \bruch{||x||}{1+||x||}+ \bruch{||y||}{1||y||}= \rho(x)+ \rho)(y)$
[/mm]
FERTIG
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Mo 14.11.2011 | | Autor: | anabiene |
ohjee du hast ja so recht! tut mir leid! echt lieb dass du mir so hilfst :)
Dann mach ich mich mal an die beschränktheit. Bis gleich (falls ich eine frage dazu hab)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Mo 14.11.2011 | | Autor: | anabiene |
ich hab alles! vielen Dank Fred!
super Forum!
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