Französische Eisenbahnmetrik < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Di 03.04.2012 | | Autor: | Denis92 |
| Aufgabe | P bezeichne einen beliebigen Punkt des [mm] \IR^2 [/mm] und für alle x = [mm] (x_1, x_2), [/mm] y = [mm] (y_1,y_2) [/mm] gelte die französische Eisenbahnmetrik mit
[mm] d_f(x,y) [/mm] = [mm] \begin{cases} d(x,y), \mbox{ falls y auf der Geraden durch x und P geht} \\ d(x,P)+d(P,y), \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie: Jede Menge die bzgl. d offen ist, ist auch bzgl. [mm] d_f [/mm] offen. |
Guten Abend,
die Definitionen einer offenen und einer abgeschlossenen Menge sind mir klar. Wenn ich mir die Situation nun mal konkret vorstelle:
Sei A [mm] \subset \IR^2 [/mm] offen bzgl. d. Dann gilt, dass A Umgebung jedes seiner Punkte ist.
Betrachten wir nun [mm] d_f:
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 nun gegeben (wie ist vorläufig egal). Dann enthält der Ball um ein beliebiges a aus A doch bildlich gesprochen die Strecke zwischen a und P, sowie einen Ball mit dem Radius [mm] \varepsilon [/mm] um P.
(Liege ich bis hier hin noch richtig??)
In diesem Fall wäre es doch eine Vorraussetzung für die "Offenheit" von A bzgl. [mm] d_f, [/mm] dass P [mm] \in [/mm] A gilt. Denn falls nicht, so läge der Ball um P ja nicht in A, also wäre A nicht offen bzgl. [mm] d_f.
[/mm]
Vielen Dank für die Antworten. 
Denis
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> P bezeichne einen beliebigen Punkt des [mm]\IR^2[/mm] und für alle
> x = [mm](x_1, x_2),[/mm] y = [mm](y_1,y_2)[/mm] gelte die französische
> Eisenbahnmetrik mit
> [mm]d_f(x,y)[/mm] = [mm]\begin{cases} d(x,y), \mbox{ falls y auf der Geraden durch x und P geht} \\ d(x,P)+d(P,y), \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
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> Zeigen Sie: Jede Menge die bzgl. d offen ist, ist auch
> bzgl. [mm]d_f[/mm] offen.
> Guten Abend,
> die Definitionen einer offenen und einer abgeschlossenen
> Menge sind mir klar. Wenn ich mir die Situation nun mal
> konkret vorstelle:
>
> Sei A [mm]\subset \IR^2[/mm] offen bzgl. d. Dann gilt, dass A
> Umgebung jedes seiner Punkte ist.
> Betrachten wir nun [mm]d_f:[/mm]
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 nun gegeben (wie ist vorläufig egal).
> Dann enthält der Ball um ein beliebiges a aus A doch
> bildlich gesprochen die Strecke zwischen a und P, sowie
> einen Ball mit dem Radius [mm]\varepsilon[/mm] um P.
>
> (Liege ich bis hier hin noch richtig??)
Nein ,leider nicht.
>
> In diesem Fall wäre es doch eine Vorraussetzung für die
> "Offenheit" von A bzgl. [mm]d_f,[/mm] dass P [mm]\in[/mm] A gilt. Denn falls
> nicht, so läge der Ball um P ja nicht in A, also wäre A
> nicht offen bzgl. [mm]d_f.[/mm]
>
Hoffe das wird jetzt nicht zu hergeholt, aber mir gefällt das Beispiel fürs Verständnis.
(Nehmen wir zum besseren bildlichen Verständnis d als euklidische Metrik)
Du kannst dir diese Metrik wirklich wie eine Eisenbahn vorstellen.
Das heißt wir haben einmal den Luftlinienabstand(euklidische Metrik) und den Eisenbahnabstand, wobei jede Eisenbahn direkt zum Hauptbahnhof fährt.
(1) Bist du nun an einem Punkt und ziehst einen Kreis um dich, in dem du alle anderen Punkte beinhaltest, die einen epsilon-kilometer-Luflinienabstand von dir haben.
(2) Bist du am gleichen Punkt und willst nun wieder einen "Kreis" um dich ziehen, in dem du alle Punkte beinhaltest, die einen epsilon-kilomenter-Eisenbahnabstand haben (d.h. die Punkte , bei denen gilt: du setzt dich in die Bahn und lässt den Kilometerstand laufen, bis du an diesem Punkt bist. Und dieser Kilometerstand ist dann kleiner als epsilon).
Naja und der Luftlinien Kilometerabstand ist ja immer kleiner als der Eisenbahn-Kilometerabstand, besonders wenn du fast immer erst über den Hauptbahnhof musst. Somit hast du bei den Luftlinienabstand mehr Punkte im Kreis und dein Kreis mit der Eisenbahnmetrik ist eine Teilmenge von deinem Luflinienkreis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Denis92 |
Hey, Danke für deine Antwort! Habe mir das jetzt nochmal durch den Kopf gehen lassen. Jetzt ist es klarer :D
Danke für das anschauliche Beispiel !
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