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Hi,
ich habe drei Fragen:
Wann ist eine Funktion stetig trotz Definitionslücke?
Ist die Ableitung der Sinusfunktion an der Stelle x=0 stetig?
Und wie kann man den Grenzwert erklären, was ist seine Funktion und wie ist die Definition (hab bis jetzt nur unzureichende Definitionen in Büchern gelesen)?
Vielen Dank,
Ciao
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> Hi,
Hey!
> ich habe drei Fragen:
> Wann ist eine Funktion stetig trotz Definitionslücke?
Eine Funktion kann nur stetig bzw. unstetig in ihrem Definitionsbereich sein. Somit also auch auch [mm] $f:\IR-{0} \to \IR$ $f(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] stetig in alles Punkten auf denen sie definiert ist.
> Ist die Ableitung der Sinusfunktion an der Stelle x=0
> stetig?
Die Ableitung von sin ist doch cos. Beide Funktionen sind auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig. (sogar Lipschitz-Stetig)
> Und wie kann man den Grenzwert erklären, was ist seine
> Funktion und wie ist die Definition (hab bis jetzt nur
> unzureichende Definitionen in Büchern gelesen)?
Die Frage verstehe ich nicht ganz. Grenzwerte sind meistens über Folgen definiert.
> Vielen Dank,
> Ciao
Grüße Patrick
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Hi!
Wie ist es mit Funktionen, bei denen selbst die Einschränkung auf die Definitionslücke nicht stetig fortgesetzt werden kann und kein Grenzwert existiert, ist die Funktion dennoch stetig.
Tut mir leid, ich hab mich bei den anderen zwei Fragen falsch ausgedrückt.
2.: Ich will auf die Funktion sinx / x hinaus. Ist diese stetig. Tschuldigung, aber in meinem Buch war das das Resultat aus dem Kapitel " Versuch zur Ableitung der Sinusfunktion"
3.: Ich hab nicht ganz verstanden was der Sinn des Grenzwertes ist, wäre schön wenn man mir das nochmal erklären könnte, ist in meinem Buch ebenfalls unzureichend erklärt.
Vielen Dank,
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Fr 15.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christian!
> 2.: Ich will auf die Funktion sinx / x hinaus. Ist diese stetig?
Diese Funktion ist für alle $x \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR\backslash\{0\}$ [/mm] stetig.
Für [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ ist die Funktion nicht definert und demzufolge auch nicht stetig.
Jedoch ist diese Definitionslücke stetg hebbar. Das heißt, man kann für [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ einen entsprechenden Funktionswert angeben, so dass diese Funktion auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] stetig ist.
> 3.: Ich hab nicht ganz verstanden was der Sinn des
> Grenzwertes ist,
Und genau hier kommt dann der Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x}$ [/mm] ins Spiel, um genau diesen Funktionswert zu ermitteln, um eine auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] stetige Funktion zu erhalten.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar!
Aber sinx/x ist als solches keine stetige Funktion, oder?
Gibt es noch andere Möglichkeiten der Anwendung, wie z.B. der Erweiterung der Definitionsmenge einer Funktion?
Und wie siehts z.B. bei einem Differenzquotienten aus, aus man keine Funktion ohne Definitionslücke errechnen kann; gibt es da keinen Grenzwert?
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> Aber sinx/x ist als solches keine stetige Funktion, oder?
Hallo,
die Funktion [mm] f(x):=\bruch{sin(x)}{x} [/mm] hat den max. Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\}.
[/mm]
Auf sie ist stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich, außerhalb des Definitionsbereiches ist es sinnlos, über Stetigkeit zu sprechen.
Warum ist sie stetig auf [mm] D_f? [/mm] Weil Produkte stetiger Funktionen stetig sind, und sowohl [mm] f_1(x)=sin(x) [/mm] als auch [mm] f_2(x)=\bruch{1}{x} [/mm] sind stetig auf [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\}.
[/mm]
Die Funktion [mm] f_2(x)=\bruch{1}{x} [/mm] ist so, daß man sie an der Definitionslücke nicht so "flicken" kann, daß eine stetige Funktion entsteht.
Die ist bei der Funktion [mm] f(x):=\bruch{sin(x)}{x} [/mm] anders.
Wir können, indem wir für die Stelle 0 den Wert 1 einfügen, eine neue Funktion g auf ganz [mm] \IR [/mm] definieren,
[mm] g(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x\in \IR \backslash \{0\} \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases},
[/mm]
und diese Funktion ist stetig auf ganz [mm] \IR. [/mm] (Man nennt sie stetige Fortsetzung von f auf [mm] \IR, [/mm] und solche Definitionslücken, die man "flicken" kann, nennt man manchmal hebbar.)
Nun zum Grenzwert:
die Funktion f hat für [mm] x\to [/mm] 0 einen Grenzwert.
Es ist [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x}=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{cos(x)}{1}=cos(0)=1,
[/mm]
zur Berechnung habe ich die Regel von l'Hospital verwendet.
Wenn Du [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] mal plottest, siehst Du (völlig ohne Beweiskraft, aber doch überzeugend), daß sich an der Stelle 0 der Funktionswert nahtlos einfügen läßt.
Jetzt rechnen wir, um den Zusammenhang zwischen Grenzwert und Stetigkeit herzustellen, mal den Grenzwert für [mm] x\to [/mm] 0 für g(x) aus.
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}g(x)= \limes_{x\rightarrow 0}f(x)=1.
[/mm]
Es ist also der Grenzwert von g an der Stelle x=0 gleich dem Funktionswert von g an der Stelle x=0, also ist g an der Stelle 0 stetig.
> Gibt es noch andere Möglichkeiten der Anwendung, wie z.B.
> der Erweiterung der Definitionsmenge einer Funktion?
> Und wie siehts z.B. bei einem Differenzquotienten aus, aus
> man keine Funktion ohne Definitionslücke errechnen kann;
> gibt es da keinen Grenzwert?
Hm, ich weiß nicht, ob ich Dich recht verstehe...
Wenn eine Funktion an der Definitionslücke keinen Grenzwert hat, kann man sie nicht stetig fortsetzen an dieser Stelle.
Gruß v. Angela
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Hi,
erstmal vielen Dank für die lange Antwort, wenn ich auch noch kurz eine Frage habe:
Was passiert, wenn ich die Definitionslücke nicht durch Rechenwege beheben kann, ist es dann möglich die Lösung zeichnerisch zu lösen?
Und noch eine Zusammenfassung und es wäre sehr schön, wenn man mir dazu nochmal eine Rückmeldung schicken könnte, obs wahr oder falsch ist:
Bei der Stetigkeit wird von Definitionslücken der betrachteten Funktionen weggeschaut und man spricht bei Funktionen dann von stetig, wenn sie, trotz der Definitionslücke, stetig sind.
Somit können , wie bei f(x)=1/x die zwei Hyperbeläste sehr weit auseinander liegen und doch ist es wegen der Definitionslücke eine stetige Funktion
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> Hi,
> erstmal vielen Dank für die lange Antwort, wenn ich auch
> noch kurz eine Frage habe:
> Was passiert, wenn ich die Definitionslücke nicht durch
> Rechenwege beheben kann, ist es dann möglich die Lösung
> zeichnerisch zu lösen?
Hallo,
wenn die Rechnung zeigt, daß es keinen Grenzwert gibt, dann kannst Du die Definitionslücke nicht heben.
Ein Beispiel für solch eine Funktion wäre z.B. [mm] sin(\bruch{1}{x}), [/mm] und natürlich auch [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
> Bei der Stetigkeit wird von Definitionslücken der
> betrachteten Funktionen weggeschaut,
denn "Stetigkeit" ist überhaupt nur auf dem Definitionsbereich erklärt,
> und man spricht bei
> Funktionen dann von stetig, wenn sie, [s]trotz der
> Definitionslücke,[s] stetig sind.
> Somit können , wie bei f(x)=1/x die zwei Hyperbeläste sehr
> weit auseinander liegen und doch ist es wegen der
> Definitionslücke eine stetige Funktion
Ja. Auf beiden Ästen trifft das Kriterium für Stetigkeit zu, und die Stelle x=0 muß einen nicht weiter kümmern, denn hier ist die Funktion ja gar nicht definiert.
Um den Zusammenhang herzustellen zu der Vorstellung vom "Graphen, den man ohne abzusetzen" zeichnen kann: Stetigkeit haben wir, wenn man den Graphen über zusammenhängenden Bereiche des Definitionsbereiches ohne Absetzen zeichnen kann.
Gruß v. Angela
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