Fragen zum W.keitsraum < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN, \lambda [/mm] > 0, [mm] \omega [/mm] = [mm] [0,\infty)^n [/mm] und [mm] \mathcal{A} [/mm] = [mm] B([0,\infty)^n) [/mm] (die Borel-Menge auf [mm] \omega).
[/mm]
Für x = [mm] (x_1,x_2,...x_n) \in \omega [/mm] definiere $ f(x) = [mm] \lambda^n \cdot exp(-\lambda((x_1+x_2+...+x_n)) [/mm] $
und für A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] setze
$ P(A) = [mm] \integral_{A}^{}{f(x) dx} [/mm] $
Zeigen Sie:
(a) [mm] (\omega, \mathcal{A},P) [/mm] ist ein Wahrscheinlichkeitsraum
(b) Ist X Zufallsvariable auf [mm] (\omega, \mathcal{A},P) [/mm] mit $ [mm] P_X(A) [/mm] = P(A) $, dann ist [mm] X_k [/mm] die k-te Koordinate von X exp.verteilt zum Parameter [mm] \lambda.
[/mm]
(c) Definiere Y := inf{ [mm] X_i [/mm] }. Ist Y auch exp.verteilt? Wenn ja, zu welchem Parameter?
(Wie macht man ein großes [mm] \omega [/mm] ?) |
Hallo Forum,
ich habe in diesem ganzen Stochastikgebiet noch nicht so richtig den Durchblick, wesshalb meine erste Frage auch lautet:
Was genau muss ich bei (a) machen?
Soll ich zeigen, dass [mm] \omega [/mm] eine Ergebnismenge, [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] und dass P ein W.keitsmaß ist?
Ciao
|
|
| |
|
> Sei n [mm]\in \IN, \lambda[/mm] > 0, [mm]\omega[/mm] = [mm][0,\infty)^n[/mm] und
> [mm]\mathcal{A}[/mm] = [mm]B([0,\infty)^n)[/mm] (die Borel-Menge auf
> [mm]\omega).[/mm]
> Für x = [mm](x_1,x_2,...x_n) \in \omega[/mm] definiere [mm]f(x) = \lambda^n \cdot exp(-\lambda((x_1,x_2,...x_n))[/mm]
>
> und für A [mm]\in \mathcal{A}[/mm] setze
> [mm]P(A) = \integral_{A}^{}{f(x) dx}[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> (a) [mm](\omega, \mathcal{A},P)[/mm] ist ein
> Wahrscheinlichkeitsraum
> (b) Ist X Zufallsvariable auf [mm](\omega, \mathcal{A},P)[/mm] mit
> [mm]P_X(A) = P(A) [/mm], dann ist [mm]X_k[/mm] die k-te Koordinate von X
> exp.verteilt zum Parameter [mm]\lambda.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> (c) Definiere Y := inf{ [mm]X_i[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}. Ist Y auch exp.verteilt?
> Wenn ja, zu welchem Parameter?
>
> (Wie macht man ein großes [mm]\omega[/mm] ?)
\ Omega
> Hallo Forum,
>
> ich habe in diesem ganzen Stochastikgebiet noch nicht so
> richtig den Durchblick, wesshalb meine erste Frage auch
> lautet:
>
> Was genau muss ich bei (a) machen?
>
> Soll ich zeigen, dass [mm]\omega[/mm] eine Ergebnismenge,
> [mm]\mathcal{A}[/mm] eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] und dass P ein W.keitsmaß
> ist?
Das hängt auch davon ab, welche Sätze du benutzen darfst.
Letztlich ist zu zeigen, dass f eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist, also
f Borel-messbar, [mm] f\ge [/mm] 0 und [mm] \int_{\Omega}f(x)dx [/mm] =1
>
>
> Ciao
|
|
|
| |
|
> Das hängt auch davon ab, welche Sätze du benutzen
> darfst.
> Letztlich ist zu zeigen, dass f eine
> Wahrscheinlichkeitsdichte ist, also
> f Borel-messbar, [mm]f\ge[/mm] 0 und [mm]\int_{\Omega}f(x)dx[/mm] =1
>
Was Borel-messbar ist verstehe ich (anhand unseres Skriptes) nicht wirklich, deshalb versuche ich mich mal an den anderen zwei Bedingungen:
[mm] \lambda>0, n\in\IN, [/mm] e-Fkt>0 [mm] \forall x\in[0,\infty)^n \Rightarrow f(x)>0\forall x\in[0,\infty)^n [/mm] (kann f(x) auch 0 werden?).
$ [mm] \int_{\Omega}f(x)dx [/mm] = 1$ ?
Ich denke, dass ich nur das Integral von 0 bis [mm] \infty [/mm] betrachten muss, da die Intervalle ja immer bei 0 anfangen.
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\lambda^n e^{-\lambda x} dx} [/mm] = - [mm] \lambda^{n-1} e^{-\lambda x} |_{0}^{\infty} [/mm] = [mm] \lambda^{n-1} [/mm]
Also ist [mm] P(\Omega) [/mm] = [mm] \int_{\Omega}f(x)dx [/mm] = 1 doch nur dann erfüllt, wenn [mm] \lambda [/mm] = 1 ist, oder?
Danke für eure Hilfe
|
|
|
| |
|
> > Das hängt auch davon ab, welche Sätze du benutzen
> > darfst.
> > Letztlich ist zu zeigen, dass f eine
> > Wahrscheinlichkeitsdichte ist, also
> > f Borel-messbar, [mm]f\ge[/mm] 0 und [mm]\int_{\Omega}f(x)dx[/mm] =1
Dieser Teil ist kein Problem, da f stetig ist und stetige Funktionen automatisch messbar sind.
> >
>
> Was Borel-messbar ist verstehe ich (anhand unseres
> Skriptes) nicht wirklich, deshalb versuche ich mich mal an
> den anderen zwei Bedingungen:
>
> [mm]\lambda>0, n\in\IN,[/mm] e-Fkt>0 [mm]\forall x\in[0,\infty)^n \Rightarrow f(x)>0\forall x\in[0,\infty)^n[/mm]
> (kann f(x) auch 0 werden?).
Durch die e-Funkton ist immer f(x)>0 (=0 wäre jedoch auch kein Problem)
>
> [mm]\int_{\Omega}f(x)dx = 1[/mm] ?
> Ich denke, dass ich nur das Integral von 0 bis [mm]\infty[/mm]
> betrachten muss, da die Intervalle ja immer bei 0
> anfangen.
[mm] \Omega=[0,\infty)^n, [/mm] somit ist immer von 0 bis unebdlich zu integrieren,
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\lambda^n e^{-\lambda x} dx}[/mm] = -
> [mm]\lambda^{n-1} e^{-\lambda x} |_{0}^{\infty}[/mm] = [mm]\lambda^{n-1}[/mm]
> Also ist [mm]P(\Omega)[/mm] = [mm]\int_{\Omega}f(x)dx[/mm] = 1 doch nur dann
> erfüllt, wenn [mm]\lambda[/mm] = 1 ist, oder?
Da [mm] \Omega=[0,\infty)^n [/mm] eine Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] ist, muss hier ein Mehrfachintegral berechnet werden.
Wobei ich jedoch die Notation f(x) = [mm] \lambda^n \cdot exp(-\lambda((x_1,x_2,...x_n)) [/mm] nicht so recht verstehe.
Wenn damit gemeint ist [mm] f(x_1,x_2,...x_n)=exp(-\lambda(x_1+x_2+...+x_n)), [/mm] kommt es mit [mm] P(\Omega)=1 [/mm] hin.
>
> Danke für eure Hilfe
>
>
|
|
|
| |
|
> Da [mm]\Omega=[0,\infty)^n[/mm] eine Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] ist, muss
> hier ein Mehrfachintegral berechnet werden.
> Wobei ich jedoch die Notation f(x) = [mm]\lambda^n \cdot exp(-\lambda((x_1,x_2,...x_n))[/mm]
> nicht so recht verstehe.
> Wenn damit gemeint ist
> [mm]f(x_1,x_2,...x_n)=exp(-\lambda(x_1+x_2+...+x_n)),[/mm] kommt es
> mit [mm]P(\Omega)=1[/mm] hin.
>
> >
> > Danke für eure Hilfe
> >
> >
>
Ich habe die Funktion falsch hingeschrieben.
Es muss nat. heißen: $ [mm] f(x_1,x_2,...x_n)=\lambda^n exp(-\lambda(x_1+x_2+...+x_n)), [/mm] $
Dass bei dem Integral über ganz [mm] \Omega [/mm] 1 raus kommt habe ich nachgewiesen.
Um nun P(A) [mm] \le [/mm] 1 zu zeigen, würde ich behaupten:
Aus A [mm] \subseteq \Omega \Rightarrow [/mm] P(A) [mm] \le P(\Omega). [/mm] Ist das ok?
Gruß
|
|
|
| |
|
>
> > Da [mm]\Omega=[0,\infty)^n[/mm] eine Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] ist, muss
> > hier ein Mehrfachintegral berechnet werden.
> > Wobei ich jedoch die Notation f(x) = [mm]\lambda^n \cdot exp(-\lambda((x_1,x_2,...x_n))[/mm]
> > nicht so recht verstehe.
> > Wenn damit gemeint ist
> > [mm]f(x_1,x_2,...x_n)=exp(-\lambda(x_1+x_2+...+x_n)),[/mm] kommt es
> > mit [mm]P(\Omega)=1[/mm] hin.
> >
> > >
> > > Danke für eure Hilfe
> > >
> > >
> >
> Ich habe die Funktion falsch hingeschrieben.
> Es muss nat. heißen: [mm]f(x_1,x_2,...x_n)=\lambda^n exp(-\lambda(x_1+x_2+...+x_n)),[/mm]
>
> Dass bei dem Integral über ganz [mm]\Omega[/mm] 1 raus kommt habe
> ich nachgewiesen.
> Um nun P(A) [mm]\le[/mm] 1 zu zeigen, würde ich behaupten:
> Aus A [mm]\subseteq \Omega \Rightarrow[/mm] P(A) [mm]\le P(\Omega).[/mm] Ist
> das ok?
Ja. Wegen [mm] f\ge [/mm] 0 ist das Integral über jede Teilmenge [mm] \ge [/mm] dem Integral über die Gesamtmenge.
>
> Gruß
|
|
|
|
