Fragen zum Satz von Wilson < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Mi 26.01.2022 | | Autor: | senmeis |
Hi,
Ich bin Anfänger zu Zahlentheorie und habe Fragen zu diesem Dokument:
![[]](/images/popup.gif) Zahlentheorie.
1. Seite 6: Die Elemente 1 und −1 = p − 1 sind ihre eigenen Inversen.
Wie sollte man unter diesem Satz verstehen? Soweit ich sehe gehört ‚-1‘ gar nicht zu dieser Menge.
2. Seite 7: Die anderen Zahlen lassen sich mit ihrem Inversen zu Paaren zusammenfassen.
Was passiert wenn p eine gerade Zahl ist? In diesem Fall darf man nicht einfach paarweise machen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: docx) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Mi 26.01.2022 | | Autor: | statler |
Hi,
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> Ich bin Anfänger zu Zahlentheorie und habe Fragen zu
> diesem Dokument:
> Zahlentheorie.
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> 1. Seite 6: Die Elemente 1 und −1 = p − 1 sind ihre
> eigenen Inversen.
> Wie sollte man unter diesem Satz verstehen? Soweit ich
> sehe gehört ‚-1‘ gar nicht zu dieser Menge.
Was ist denn die Menge? Der Link funktioniert leider nicht.
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> 2. Seite 7: Die anderen Zahlen lassen sich mit ihrem
> Inversen zu Paaren zusammenfassen.
> Was passiert wenn p eine gerade Zahl ist? In diesem Fall
> darf man nicht einfach paarweise machen.
Wenn eine Primzahl p gerade ist, dann ist p = 2, und dann ist alles besonders einfach.
Gruß Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 Sa 29.01.2022 | | Autor: | senmeis |
Siehe hochgeladene Datei.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Sa 29.01.2022 | | Autor: | statler |
Hi,
den Fall p = 2 mußt du als Sonderfall getrennt behandeln. Der Datei-Text ist da etwas schlampig.
Weißt du denn, was mit [mm] $\IF_{p}$ [/mm] gemeint ist?
Gruß Dieter
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> Hi,
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> Ich bin Anfänger zu Zahlentheorie und habe Fragen zu
> diesem Dokument:
> Zahlentheorie.
>
> 1. Seite 6: Die Elemente 1 und −1 = p − 1 sind ihre
> eigenen Inversen.
> Wie sollte man unter diesem Satz verstehen? Soweit ich
> sehe gehört ‚-1‘ gar nicht zu dieser Menge.
>
> 2. Seite 7: Die anderen Zahlen lassen sich mit ihrem
> Inversen zu Paaren zusammenfassen.
> Was passiert wenn p eine gerade Zahl ist? In diesem Fall
> darf man nicht einfach paarweise machen.
>
Leider enthält der Dateianhang nur die 1. Seite des Dokuments, so dass ich keinen Bezug zum Text nehmen kann.
Der Beweis benutzt die Modul- oder Restklassenrechnung, die du als Anfänger wahrscheinlich nicht kennst. Das geht so:
Du suchst dir als Basis eine Zahl aus, nehmen wir mal die 12.
Jetzt "verwandelst" du jede andere natürliche Zahl (incl. 0) in den Rest, den sie beim Teilen durch 12 lässt. Das führt zu
Zahl 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ....30 ...77..
Neu 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 .... 6 ... 5 ..
Es kommen also nur Zahlen zwischen 0 und 11 vor.
Wenn du nun zwei (oder mehrere) Zahlen addierst, subtrahierst, multiplizierst oder potenzierst und das Ergebnis wieder verwandelst, kommt das selbe dabei heraus, als hättest du die Rechnung mit den verwandelten Zahlen durchgeführt und das Ergebnis wieder verwandelt. Die Division ist hier sinnlos.
Für die verwandelte Zahl benutzt man das Zeichen [mm] \equiv.
[/mm]
Beispiel: 14*26 = 364 = 30*12+4 [mm] \equiv [/mm] 4
Modulrechnung: 2*2 = 4
Beispiel: 30*77 = 2310 = 192*12+6 [mm] \equiv [/mm] 6
Modulrechnung: 6*5 = 30 = 2*12+6 [mm] \equiv [/mm] 6
Beispiel: 14+26 = 40 = 3*12 + 4 [mm] \equiv [/mm] 4
Modulrechnung: 2+2=4
Beispiel: 30+32 = 62 = 5*12+2 [mm] \equiv [/mm] 2
Modulrechnung: 6+8 = 14 = 1*12+2 [mm] \equiv [/mm] 2
Beispiel: [mm] 15^3 [/mm] = 3375 = 281*12+3 [mm] \equiv [/mm] 3
Modulrechnung: [mm] 3^3 [/mm] = 27 = 2*12+3 [mm] \equiv [/mm] 3
Beispiel: 97-35 = 62 = 5*12+2 [mm] \equiv [/mm] 2
Modulrechnung: 1-11 = -10 = -1*12+2 [mm] \equiv [/mm] 2
Sinnlose Division:
8:2 = 4, denn 2*4=8, oder 8:2=10, denn 2*10=20 [mm] \equiv [/mm] 8 ?
6:6 = 1 oder 3 oder 5 oder 7 oder 9 oder 11?
Für Modulzahlen gilt: Unter dem Inversen a einer Zahl b versteht man hier diejenige Zahl a, die mit b multipliziert 1 ergibt:
1*1=1, 2*?=1, 3*?=1, 4*?=1 5*5=25 [mm] \equiv [/mm] 1, 6*?=1 [mm] 7*7=49\equiv [/mm] 1, 8*?=1, 9*?=1, 10*?=1 11*11=121 [mm] \equiv [/mm] 1
Nur 1, 5, 7 und 11 haben Inverse, in diesem Fall sich selber (normaler Weise nicht sich selber, s.u.).
Regel: Genau die Zahlen haben ein Inverses, die mit der Basiszahl keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben.
Die anderen Zahlen haben einen Partner, mit dessen Produkt 0 heraus kommt: 2*6 = 3*4 = 12 [mm] \equiv [/mm] 0, 8*3 = 24 [mm] \equiv [/mm] 0, 9*4=36 [mm] \equiv [/mm] 0, 10*6 = 60 [mm] \equiv [/mm] 0, 12*1=12 [mm] \equiv [/mm] 0.
Betrachten wir nun (12-1)!=11! = 1*(2*3*4*5*6*7*8*9*10)*11, so ist dort ein Paar, z.B. 3*4, das zusammen 0 gibt und dadurch insgesamt 0 herauskommt.
Nimmt man nun als Basis eine Primzahl, z.B. 7, so hat keine Zahl mit 7 einen gemeinsamen Teiler außer 1 mit 7, so dass jede Zahl ein Inverses hat:
1*1=1, 2*4=8=7+1 [mm] \equiv [/mm] 1, 3*5=15=2*7+1 [mm] \equiv [/mm] 1, 6*6=36=5*7+1 [mm] \equiv [/mm] 1.
Dabei sind nur 1 und 6 zu sich selbst invers.
(7-1=6=7 - 1 wird gelegentlich auch als -1 bezeichnet.)
Betrachtet man nun (7-1)!=6!=1*(2*3*4*5)*6, so hat man eine gerade Anzahl von Zahlen, da man ja als Basis eine ungerade Primzahl p hat und p-1 gerade ist, also in der Klammer auch eine gerade Anzahl von Faktoren, wobei dort zu jeder Zahl ihr Inverses zu finden ist, so dass die Klammer insgesamt 1 gibt (2*4 [mm] \equiv [/mm] 1 und 3*5 [mm] \equiv [/mm] 1). Bleibt nur 1*6 = 1*(-1)=-1 oder, wenn einem das sympathischer ist, 6 = 7 - 1.
Für Jede Primzahl p als Basis ist also (p-1)!= -1 oder p - 1. Addiert man nun 1, so erhält man(p-1)! + 1 [mm] \equiv [/mm] 0. Das bedeutet, dass (p-1)! + 1 ein Vielfaches von p ist.
Ab Basis 5 hat man mindestens 2 Faktoren in der Klammer oben, und wenn man keine Primzahl nimmt, werden mindestens zwei davon zusammen 0, so dass [mm] (p-1)!\equiv [/mm] 0 ist, also durch p teilbar, und (p-1)!+1 sich dann nicht mehr durch p teilen lässt, sondern Rest 1 hat. So ist z.B. für Basis 6
5!+1=121 = 20*6+1.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 So 30.01.2022 | | Autor: | senmeis |
Vielen Dank.
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