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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Mi 12.10.2005 | | Autor: | estrella |
Hallo!
Ich hoffe, dass mir jemand von euch helfen kann. Habe noch mehrere Probleme die ich bis zu meiner bevorstehenden Zwischenprüfung noch gern beseitigt hätte.
1.) Was sagt der Satz über implitie Funktionen eigentlich aus. Kann das jemand ganz einfach und anschaulich erläutern?
2.)Ich soll Unterschiede bzw. Zusammenhänge von Differetial und Funtionalmatrix wissen, hm. das Differential ist ja nichts weiter als eine Ableitung und die Funtionalmatrix ist eine Matrix die sämtliche ersten partiellen Ableitungen erhält. Wie ist das nun mit dem Zusammenhang und dem Unterschied zu verstehen?
3.) Was ist das Wegintegral anschaulich? Habe mit Physik leider nicht viel am Hut, deswegen verstehe ich das auch nicht so richtig, wie berechne ich es?
4.) Die Bogenlänge ist der Weg entlang einer Kurve von einem Punkt zum nächsten, also nichts weiter als ein Polygonzug durch Punkte der Kurve?
Wie berechne ich diesen, habe so viele verschiedene Formeln gefunden....
5.) Der Satz der Umkehrrabbildung sagt imwesentlichen nur aus, dass es zu jeder Bijektiven Abb f:A->B genau eine bijektive Abb g:B->A gibt so dass g°f=idA und f°g= idb ist?
6.) Unterschied/Zusammenhänge Rihtungsableitung und partielle Ableitung?
Es wäre super, wenn mir einige dieser Fragen beantwortet würden
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo estrella,
ich fange mal hinten an, vielleicht kann jemand anders dann von vorne die liste komplettieren:
> 6.) Unterschied/Zusammenhänge Rihtungsableitung und
> partielle Ableitung?
Also die partiellen ableitungen sind im grunde auch richtungsableitungen, nämlich in richtung der kanonischen einheitsvektoren. Möchte man nun die Ableitung in eine bestimmte richtung wissen, muss man einfach den gradienten der funktion mit dem richtungsvektor skalarmultiplizieren. (Herleitung geht leicht über kurven)
> 5.) Der Satz der Umkehrrabbildung sagt imwesentlichen nur
> aus, dass es zu jeder Bijektiven Abb f:A->B genau eine
> bijektive Abb g:B->A gibt so dass g°f=idA und f°g= idb
> ist?
das ist jetzt eine frage von bezeichnungen:sagt der satz nicht aus, dass eine funktion mit invertierbarer funktionalmatrix lokal umkehrbar ist?
> 4.) Die Bogenlänge ist der Weg entlang einer Kurve von
> einem Punkt zum nächsten, also nichts weiter als ein
> Polygonzug durch Punkte der Kurve?
> Wie berechne ich diesen, habe so viele verschiedene
> Formeln gefunden....
Die bogenlänge ist nicht die länge eines polygonzuges entlang einer kurve, sondern der grenzwert solcher längen, wenn ich die länge der einzelnen segmente gegen 0 gehen lasse. Ist [mm] $c:I\to \IR^n$ [/mm] eine solche Kurve, berechnet sich die bogenlänge zu:
[mm] $L(c)=\integral_I{||c'||}$
[/mm]
$||c'||$ ist das sogenannte Linienelement der Kurve.
> 3.) Was ist das Wegintegral anschaulich? Habe mit Physik
> leider nicht viel am Hut, deswegen verstehe ich das auch
> nicht so richtig, wie berechne ich es?
das weg- oder kurvenintegral einer funktion über einer kurve kann man sich eigentlich so vorstellen, dass man die kurve samt drauf definierter funktion 'geradebiegt' und einfach über dieses Intervall integriert. Formal berechnet man so ein integral mit hilfe des linienelementes, das ich oben erklärt habe, also:
[mm] $\integral_c{f ds}=\integral_I{f(c)||c'||}$
[/mm]
Viele Grüße
Matthias
> Hallo!
> Ich hoffe, dass mir jemand von euch helfen kann. Habe noch
> mehrere Probleme die ich bis zu meiner bevorstehenden
> Zwischenprüfung noch gern beseitigt hätte.
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> 1.) Was sagt der Satz über implitie Funktionen eigentlich
> aus. Kann das jemand ganz einfach und anschaulich
> erläutern?
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> 2.)Ich soll Unterschiede bzw. Zusammenhänge von Differetial
> und Funtionalmatrix wissen, hm. das Differential ist ja
> nichts weiter als eine Ableitung und die Funtionalmatrix
> ist eine Matrix die sämtliche ersten partiellen Ableitungen
> erhält. Wie ist das nun mit dem Zusammenhang und dem
> Unterschied zu verstehen?
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> Es wäre super, wenn mir einige dieser Fragen beantwortet
> würden
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Mi 12.10.2005 | | Autor: | SEcki |
Ich versuche mal zu komplementieren:
> 1.) Was sagt der Satz über implitie Funktionen eigentlich
> aus. Kann das jemand ganz einfach und anschaulich
> erläutern?
Es ist halt die lokale Auflösbarkeit - du zerlegst den Urbild raum in [m]Y\oplus Z[/m], so dass in einer Umgebung von dem Punkt [m](a,b)[/m], wo die Bedingugnne gelten, die Nullstellenmenge deines f genau der Grpah einer Funktion g ist, wobei g von einer Teilenge von Y in eine Teilmenge von Z geht. Das kann man sich grpahisch veranschaulichen: Der Kreis im [m]\IR^2[/m] ist Urbild der 1 von der Funktion [m](x,y)\mapsto x^2+y^2[/m]. Man kann die Funktion nicht global auflösen, aber lokal immer. Vergleiche [url href=http://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Funktion]hier[/url]. Oder auch naders: die Urbilder von solchen Werten sind schön, liegen also nicht wild im Urbild - sie bilden (lokal) eine Untermannigfaltigkeit.
Am besten ein paar Bildchen mit Niveaulinien malen, und Beispiele in Büchern anschauen.
> 2.)Ich soll Unterschiede bzw. Zusammenhänge von Differetial
> und Funtionalmatrix wissen, hm. das Differential ist ja
> nichts weiter als eine Ableitung und die Funtionalmatrix
> ist eine Matrix die sämtliche ersten partiellen Ableitungen
> erhält. Wie ist das nun mit dem Zusammenhang und dem
> Unterschied zu verstehen?
Das ist auch eher das gleiche, allerdings: das Differential macht als Linearisierung auch im nicht endlich-dimensionalen Sinn. Da wird es mit der Funktionalmatrix schon schwieriger. Den genauen Unterschied (wenn überhaupt) ergibt sich aus der genauen Definition in deinem Skript.
> 5.) Der Satz der Umkehrrabbildung sagt imwesentlichen nur
> aus, dass es zu jeder Bijektiven Abb f:A->B genau eine
> bijektive Abb g:B->A gibt so dass g°f=idA und f°g= idb
> ist?
Ich würde auch sagen, dass soll nicht diese Trivialität ausdrücken, sondern den Umkehrsatz - also wann man eine diff.bare Funktion lokal diff-bar umkehren kann, also ein lokaer Diffeomorpismus.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Mi 12.10.2005 | | Autor: | estrella |
Ich danke euch vielmals, das hat mir schon sehr geholfen
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