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Hallo alle zusammen,
ich habe ein paar Fragen aus dem Internet die möglicherweise im Vordiplom in Ana 1 und 2 gestellt werden könnten. Doch leider kann ich diese nicht alle beantworten. Bitte helft mir! (Definitionen sind immer alle klar)
1. Frage: Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz?
2. Frage: Begründung: absolute Konvergenz implementiert Konvergenz!
3. Frage: Potenzreihen: Stetigkeit, Ableitung, Diff'barkeit?
4. Frage: Wann gilt: gleichmäßige Stetigkeit<=>Stetigkeit?
5. Frage: Zusammenhang: totale und partielle Diff'barkeit?
Danke Euch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 Di 18.10.2005 | | Autor: | choosy |
Hallo hallo,
erstmal hab ich noch ein liste von unserem Stuga mit vordiplomsprüfungsfragen:
http://stuga.math.uni-bremen.de/wiki/index.php/Kategorie:Prüfungsfragen
nun mal ein paar antworten zu deien fragen:
> 1. Frage: Unterschied zwischen punktweiser und
> gleichmäßiger Konvergenz?
kurz gesagt: Eine Funktionenfolge [mm] g_n [/mm] ist
pktwse kgt: [mm] $|f(x)-g_n(x)|\rightarrow [/mm] 0$
glmkgt: [mm] $\|f-g_n\|\rightarrow [/mm] 0$ wobei wir hier z.b. die supremumsnorm auf den stetigen Funktionen haben.
etwas ander ausgedrückt heisst das für pktweise kgt das es für jedes x und jedes epsilon ein delta gibt....
gleichmässig heisst dagegen für jedes epsilon gibt es ein delta, so dass für alle x...
also wenn ich ein epsilon habe kann ich in jedem x ein und das selbe delta benutzen, wärend das delta bei pktweise von x abhängen kann.
> 2. Frage: Begründung: absolute Konvergenz implementiert
> Konvergenz!
das ist eigentlich so etwas wie die dreicksungleichung, denn
[mm] $\sum_k^\infty a_k \leq \sum_k^\infty |a_k|$
[/mm]
man wendet die dreiecksungleichung für die endlichen summen an und bildet dann den grenzwert zur reihe.... der beweis ist elementar
> 3. Frage: Potenzreihen: Stetigkeit, Ableitung,
> Diff'barkeit?
da gibt es viel zu sagen.... das wichtigste ist wohl das aus diffbar stetig folgt, die umkehrung aber nicht gilt (bsp $f(x) = |x|$)
> 4. Frage: Wann gilt: gleichmäßige
> Stetigkeit<=>Stetigkeit?
stetige funktionen auf kompakten definitionsbereichen sind gleichmässig stetig.
weiter folgt aus glm stetig immer stetig.
> 5. Frage: Zusammenhang: totale und partielle
> Diff'barkeit?
wie war das noch? bin mir nicht 100%ig sicher aber ich glaub das war so
sind sämmtliche partiellene erste ableitungen stetig,, so ist die totale ableitung gegeben durch die jacobimatrix oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Di 18.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Deine Fragen wurden ja mehr oder weniger schon von choosy beantwortet - bei weiteren Fragen darfst du natürlich gerne nachfragen. Ansonsten wollte ich dir noch den Tipp geben, mal Prüfungsprotokolle von deinem Prüfer anzugucken. Die können wirklich sehr hilfreich sein, wenn ein Prof immer nur ganz bestimmte Sachen fragt. Natürlich sollte man möglichst alles wissen, aber in den letzten Tagen vor der Prüfung kann man sich ja dann auf das konzentrieren, was häufig gefragt wird.
Viele Grüße
Bastiane
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