Frage zur vollständigen Indukt < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Fr 06.04.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Sei f(n) die n.te Fibonacci-Zahl.
Zeigen sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass gilt:
$f(n) = [mm] \frac{\phi^n - \hat{\phi}^n}{\sqrt{5}}$ [/mm] mit [mm] $\phi [/mm] = [mm] \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ [/mm] und [mm] $\hat{\phi} [/mm] = [mm] \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ [/mm] |
Ich hab jetzt erst mal die Teile ineinander eingesetzt und soweit gekürzt wie es möglich war:
$f(n) = ... = [mm] \frac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n}\cdot \sqrt{5}$
[/mm]
Nun soll ich ja mit vollständiger Induktion beweisen, dass dies gilt. Ich habe schon enige Induktionsbeweise gemacht, allerdings noch nie sowas hier. Bisher hab ich immer eine Summe gehabt, die gleich einem Term, wie der hier oben war. Hier bei dieser Aufgabe fehlt aber nun die Summe und ich bin aufgeschmissen. Ich weiß quasi nicht wie man das jetzt mit der Induktion beweisen soll.
Könnt ihr mir helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
Auch wenn es hier nicht explizit stesht: Du benötigst hier auch die Definition der Fibonacci-Zahlen mit:
[mm]\begin{cases} F(0) \ = \ 0 \\
F(1) \ = \ 1 \\
F(n) \ = \ F(n-1)+F(n-2)\end{cases}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:45 Fr 06.04.2012 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hm, ok. Ich hab's mir insgeheim schon gedacht, dass ich diese Defintion benötige. Ich weiß aber jetzt ehrlich gesagt immer noch nicht so genau, was ich damit jetzt anfangen soll bzw. wie ich mit der Definition nun die vollständige Induktion durchführen soll...
Kannst du mir noch ein bisschen mehr auf die Sprünge helfen? Ich hab übrigens grad entdeckt, dass die Definition sogar in meiner Aufgabenstellung gegebenwar. Ich hab sie überlesen... Sorry. Allerdings ist sie etwas anders gegeben als du sie geschrieben hast:
$f(n) := f(n) = 1 \text{ falls n=1 }, f(n) = 1 \text{ falls n=2 } \text{ und } f(n) = f(n-1)+f(n-2) \text{ für } n\geq 3}$
Behauptung: $ \sum_{i=1}^{n} f(n-1)+f(n-2) = \frac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n}\cdot \sqrt{5} $
Induktionsanfang: n=n+1
$f(n+1) = \frac{(1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}}{2^{n+1}}\cdot \sqrt{5} = ... =$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hm, ok. Ich hab's mir insgeheim schon gedacht, dass ich
> diese Defintion benötige. Ich weiß aber jetzt ehrlich
> gesagt immer noch nicht so genau, was ich damit jetzt
> anfangen soll bzw. wie ich mit der Definition nun die
> vollständige Induktion durchführen soll...
>
> Kannst du mir noch ein bisschen mehr auf die Sprünge
> helfen? Ich hab übrigens grad entdeckt, dass die
> Definition sogar in meiner Aufgabenstellung gegebenwar. Ich
> hab sie überlesen... Sorry. Allerdings ist sie etwas
> anders gegeben als du sie geschrieben hast:
>
> [mm]f(n) := f(n) = 1 \text{ falls n=1 }, f(n) = 1 \text{ falls n=2 } \text{ und } f(n) = f(n-1)+f(n-2) \text{ für } n\geq 3}[/mm]
dann ist halt beim Index alles um [mm] $1\,$ [/mm] verschoben.
>
> Behauptung: [mm]\sum_{i=1}^{n} f(n-1)+f(n-2) = \frac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n}\cdot \sqrt{5}[/mm]
Sicher nicht: Schau' mal auf den Laufindex und korrigiere das. Wo hat [mm] $i\,$ [/mm] zu stehen und wo [mm] $n\,$?
[/mm]
>
> Induktionsanfang: n=n+1
Das macht keinen Sinn. Induktionsanfang bei [mm] $n=1\,$ [/mm] schon eher!
> [mm]f(n+1) = \frac{(1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}}{2^{n+1}}\cdot \sqrt{5} = ... =[/mm]
>
>
P.S.
Bitte erstmal alles korrigieren und in eine vernünftige Form bringen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Fr 06.04.2012 | | Autor: | bandchef |
So, dann mal in der richtigen Form:
Fibonacci-Definition laut Aufgabe:
[mm] $f(n)=\begin{cases} f(n) = 1, & \mbox{für } n = 1 \\ f(n) = 1, & \mbox{für } n = 2 \\ f(n-1)+f(n-2), & \mbox{für } n \geq 3 \end{cases}$
[/mm]
Behauptung: $ [mm] \sum_{i=3}^{n+1} [/mm] f(n-1)+f(n-2) = [mm] \frac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n}\cdot \sqrt{5} [/mm] $
Induktionsanfang bei n=1:
[mm] $\text{LS} [/mm] = [mm] \sum_{i=3}^{n+1} [/mm] f(n-1)+f(n-2) = [mm] \sum_{i=3}^{1+1} [/mm] f(?)+f(?) = ... = ?$
[mm] $\text{RS} [/mm] = [mm] \frac{(1+\sqrt{5})^1-(1-\sqrt{5})^1}{2^1}\cdot \sqrt{5} [/mm] = ... = 5$
Bei der linken Seite (LS) weiß ich nicht was das Ergebnis sein soll. Bei den bisherigen Induktionsbeweisen musste beim Induktionsanfang auf den Beiden seiten immer das Gleiche rauskommen... Ich hab da nun irgendwie das Problem, dass der Laufindex i nicht stimmen kann, wobei doch der Start des Launfindexes i am dritten Fall der Fibonacci-Definition abzulesen ist, oder? Wenn ich nun beim IA n=1 setze soll i quasi bei 3 beginnen, aber nur bis 2 laufen 
Was hab ich da nun falsch gemacht? Oder soll ich als Induktionsanfang bei n=2 starten? In diesem Fall komme ich dann aber, wenn ich die Folge "ausrechne", auch nicht auf die 5, damit es mit der rechten Seiten übereinstimmt...
Jetzt käme dann der Induktionsschritt. Vielleicht schaust du mal kurz über meine "Lösung" drüber?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Fr 06.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du auf die Summe? die Beh. gilt doch für [mm] f_n?
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Fr 06.04.2012 | | Autor: | bandchef |
Sorry, aber jetzt verstehe ich leider gar nichts mehr... Ich hab eigentlich gedacht, dass man zu einer vollständigen Induktion eine Summe braucht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Sa 07.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nur weil du anscheinend bisher mit vollst. Ind. Summenformeln gezeigt hast, hat v.I. eigentlich nichts mit summen zu tun.
du musst aus der aussage , dass was für n=1 oder 2 usw richtig ist, und der Annahme ,dass es für n richtig ist schließen dass es auch für n+1 richtig ist. wenn also deine Formel für n=2 richtig ist musst du sie aus richtig für n und der kenntnis der regeln für die fibonazzi zahlen rauskriegen, dass sie für n+1 auch stimmt.
anscheinend hast du das prinzip der vollst induktion nicht wirklich verstanden.
vielleicht sagst du erstmal, was du unter v.I. genau verstehst!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Sa 07.04.2012 | | Autor: | bandchef |
Na, also: Die vollständige Induktion ist eine Beweismethode mit der eine bestimmte Aussage für alle beliebigen natürlichen Zahlen bewiesen werden kann. Man will quasi beweisen, dass die Aussage für alle Schritte gilt und beginnt hier eben beim Induktionsanfang (IA), dass ein Ergebnis ist, von dem man weiß, dass es richtig ist und versucht dann auf alle nachfolgenden Ergebnisse (n+1) schließen zu können.
Stimmt doch soweit oder?
Ich hab nun nochmal angefangen:
Behauptung:
$f(n) = [mm] \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n}{\sqrt5}$
[/mm]
Induktionsanfang:
n=1:
$f(1) = [mm] \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^1 - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^1}{\sqrt5} \Leftrightarrow [/mm] ... [mm] \Leftrightarrow [/mm] 1=1$
n=2:
$f(2) = [mm] \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2}{\sqrt5} \Leftrightarrow [/mm] ... [mm] \Leftrightarrow [/mm] 1=1$
Induktionsschritt:
$f(n+1) = f(n)+f(n-1) [mm] \Leftrightarrow [/mm] f(n+1) = [mm] \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n} + (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}}{\sqrt5} [/mm] + [mm] \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1} - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}}{\sqrt5} \Leftrightarrow [/mm] ... [mm] \Leftrightarrow [/mm] <br /> f(n+1) = [mm] \frac{ (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1} \cdot \left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1\right] - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1} \cdot \left[\frac{1-\sqrt{5}}{2}+1\right]}{\sqrt5} \Leftrightarrow [/mm] ... [mm] \Leftrightarrow [/mm] f(n+1) = [mm] \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1} - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}}{\sqrt5}$
[/mm]
Hier komm ich nun aber mit der Umformung nicht mehr zurecht... Wie geht man da jetzt weiter dran?
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Mein Prof. sagt immer:
"Was muss man einem Außerirdischen erklären, damit er mit einer Leiter auf ein Dach klettern kann? - Man muss ihm erklären wie er auf die erste Sprosse kommt und wie er von einer Sprosse auf die nächste steigt. Dann kann er jede Leiter erklimmen, egal wie hoch sie ist."
;)
LG Scherzkrapferl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Na, also: Die vollständige Induktion ist eine
> Beweismethode mit der eine bestimmte Aussage für alle
> beliebigen natürlichen Zahlen bewiesen werden kann.
naja, "bestimmt" ist so eine Sache. Und "können" auch. Es ist eine Beweismethode, mit der man versuchen kann, eine wahre Aussage, die "für alle natürlichen Zahlen" (oder ein wenig allgemeiner: alle ganzen Zahlen [mm] $\ge$ [/mm] einer bestimmten ganzen Zahl) gilt, zu beweisen. Aber Du meinst das schon richtig!
> Man
> will quasi beweisen, dass die Aussage für alle Schritte
> gilt und beginnt hier eben beim Induktionsanfang (IA), dass
> ein Ergebnis ist, von dem man weiß, dass es richtig ist
> und versucht dann auf alle nachfolgenden Ergebnisse (n+1)
> schließen zu können.
>
> Stimmt doch soweit oder?
Das gleiche wie oben: Du meinst sicher das richtige. Die Vorgehensweise ist halt die: Man zeigt die Aussage für ein bestimmtes [mm] $n_0 \in \IZ\,.$ [/mm] Dann macht man den Induktionsschritt: "Wenn [mm] $A(n)\,$ [/mm] wahr ist, dann auch [mm] $A(n+1)\,.$"
[/mm]
Die Logik ist dann die:
Weil [mm] $A(n_0)$ [/mm] als wahr erkannt wurde (das macht man ja beim Induktionsanfang!), und wenn der Induktionsschritt gelingt, weiß man, dass dann auch [mm] $A(n_0+1)$ [/mm] wahr ist. Weil [mm] $A(n_0+1)$ [/mm] nun wahr ist, ist wegen des Induktionsschritts dann auch [mm] $A(n_0+2)$ [/mm] wahr etc.. Also gilt [mm] $A(n)\,$ [/mm] dann für alle ganzen Zahlen $n [mm] \ge n_0$ [/mm] - anders gesagt: Für diese ist [mm] $A(n)\,$ [/mm] wahr.
> Ich hab nun nochmal angefangen:
>
>
>
> Behauptung:
>
> [mm]f(n) = \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n}{\sqrt5}[/mm]
>
>
>
> Induktionsanfang:
>
> n=1:
>
> [mm]f(1) = \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^1 - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^1}{\sqrt5} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow 1=1[/mm]
>
> n=2:
>
> [mm]f(2) = \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2}{\sqrt5} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow 1=1[/mm]
Für [mm] $n=2\,$ [/mm] kannst Du doch einfach auf den Fall [mm] $n=1\,$ [/mm] verweisen. Schließlich gilt doch [mm] $f(2)=f(1)\,.$
[/mm]
>
>
> Induktionsschritt:
>
> [mm]f(n+1) = f(n)+f(n-1) \Leftrightarrow f(n+1) = \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n} + (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}}{\sqrt5} + \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1} - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}}{\sqrt5} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow
f(n+1) = \frac{ (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1} \cdot \left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1\right] - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1} \cdot \left[\frac{1-\sqrt{5}}{2}+1\right]}{\sqrt5} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow f(n+1) = \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1} - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}}{\sqrt5}[/mm]
>
>
>
> Hier komm ich nun aber mit der Umformung nicht mehr
> zurecht... Wie geht man da jetzt weiter dran?
Erspare Dir mal die [mm] $\gdw$-Zeichen: [/mm] Bei denen muss man sich immer überlegen, ob sowohl die Folgerung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] als auch die Folgerung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] gelten.
Was ist denn im Induktionsschritt zu zeigen:
Behauptet wird:
[mm] $$(\star)\;\;\;f(n+1)=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}}{\sqrt{5}}\,.$$
[/mm]
Und jetzt siehst Du vielleicht auch, warum ich von der erweiterten Induktion gesprochen habe. Du hast (richtigerweise) auch schonmal den Induktionsanfang sowohl für [mm] $n=1\,$ [/mm] als auch [mm] $n=2\,$ [/mm] gemacht.
Bei der erweiterten Induktion sagt man:
Im Induktionsschritt beweist man die Richtigkeit der Aussage [mm] $A(n+1)\,,$ [/mm] indem man verwendet, dass die Aussage [mm] $A(k)\,$ [/mm] für alle [mm] $n_0 \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$ richtig sei.
Was darfst Du also verwenden?
[mm] $$1.)\;\;\;f(n-1)=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}}{\sqrt{5}}$$ [/mm]
und
[mm] $$2.)\;\;\;f(n)=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}}{\sqrt{5}}\,.$$ [/mm]
Und was noch? Per Definitionem von Fibonaccizahlen
[mm] $$3.)\;\;\;f(n+1)=f(n)+f(n-1)\,.$$
[/mm]
Also gilt (im Induktionsschritt):
[mm] $$f(n+1)=f(n)+f(n-1)=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}}{\sqrt{5}}+\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}}{\sqrt{5}}\,.$$
[/mm]
Und was ist nun zu zeigen?
Naja, gemäß [mm] $(\star)$ [/mm] sollten wir erkennen, dass folgende Gleichheit gilt:
[mm] $$\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}}{\sqrt{5}}+\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}}{\sqrt{5}}=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}}{\sqrt{5}}\,.$$
[/mm]
Wie zeigt man denn sowas etwa? Am besten etwa, indem man Äquivalenzumformungen solange betreibt, bis man zu einer offensichtlich wahren Gleichheit gelangt. Wenn Dir also sowas gelingt
[mm] $$\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}}{\sqrt{5}}+\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}}{\sqrt{5}}=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}}{\sqrt{5}}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw T_1=T_2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw T_3=T_4$$
[/mm]
[mm] $$\gdw T_5=T_6$$
[/mm]
.
.
.
[mm] $$\gdw 0=0\,,$$
[/mm]
dann zeigen alle Folgerungen [mm] $\Leftarrow$ [/mm] und das Lesen von unten nach oben dann die behauptete Gleichheit, d.h. das eigentlich wesentliche im Beweis wäre dann die Folgerungskette
$$0=0 [mm] \Rightarrow \ldots \Rightarrow T_5=T_6 \Rightarrow T_3=T_4 \Rightarrow T_1=T_2 \Rightarrow \frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}}{\sqrt{5}}+\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}}{\sqrt{5}}=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}}{\sqrt{5}}\,.$$
[/mm]
(Die [mm] "$T\,$'s" [/mm] stehen dabei für irgendwelche Terme.)
Ist Dir nun klarer, was Du noch zu machen hast?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 So 08.04.2012 | | Autor: | bandchef |
Danke, du hast mir wahnsinnig viel und vor allem sehr gut weitergeholfen! Jetzt hab ich das mal richtig verstanden! Danke! Wenn noch Fragen auftreten sollten, dann melde ich mich wieder!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:28 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> So, dann mal in der richtigen Form:
>
>
> Fibonacci-Definition laut Aufgabe:
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} f(n) = 1, & \mbox{für } n = 1 \\ f(n) = 1, & \mbox{für } n = 2 \\ f(n-1)+f(n-2), & \mbox{für } n \geq 3 \end{cases}[/mm]
schon wieder steht da Unsinn:
Man definiert doch nicht [mm] $f(n)\,$ [/mm] durch [mm] $f(n)\,$ [/mm] mit [mm] $n=1\,,$ [/mm] oder ...
Mensch, Leute:
[mm] $$f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n = 1 \\ 1, & \mbox{für } n = 2 \\ f(n-1)+f(n-2), & \mbox{für } n \geq 3 \end{cases}$$
[/mm]
oder kürzer
[mm] $$f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n = 1 \text{ oder }n=2 \\ f(n-1)+f(n-2), & \mbox{für } n \geq 3 \end{cases}\,.$$
[/mm]
Zum Rest hat Leduart Dir ja schon was gesagt (ich hatte mir die Aufgabenstellung nicht genau angeguckt):
Vielleicht schreibst Du erstmal auf: Was ist die Behauptung?
(1.) Es gilt Aussage $A(n)$ (was ist die Aussage [mm] $A(n)\,$?) [/mm] für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
2.) Wie sieht der Induktionsanfang aus?
3.) Was ist im Induktionsschritt zu zeigen?)
P.S.
Ich vermute, dass Du hier eh sowas wie "erweiterte Induktion" (zum Begriff: vgl. ![[]](/images/popup.gif) Matheplanet, Antwort von Buri) benötigen wirst. Aber viel drüber nachgedacht habe ich noch nicht (eigentlich gar nicht)!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi Loddar,
> Hallo bandchef!
>
>
> Auch wenn es hier nicht explizit stesht: Du benötigst hier
> auch die Definition der Fibonacci-Zahlen mit:
>
> [mm]F(n) \ := \ \begin{cases} F(0) \ = \ 0 \\
F(1) \ = \ 1 \\
F(n-1)+F(n-2)\end{cases}[/mm]
uh, so darf man das nicht schreiben (sonst wäre [mm] $F\,$ [/mm] keine Folge, denn $F(n)$ wäre mittels drei Ausdrücken JEWEILS definiert/definierbar...)! Auch, wenn klar ist, was Du meinst (Du meinst [mm] $F(n)\,$ [/mm] wird definiert durch [mm] $F(0):=0\,,$ $F(1):=1\,$ [/mm] und $F(n):=F(n-1)+F(n-2)$ für $n [mm] \ge [/mm] 2$), schreiben wir's lieber richtig auf:
[mm] $$F(n):=\begin{cases} 0, & \text{ falls }n=0 \\
1, & \text{ falls }n=1 \\
F(n-1)+F(n-2), & \text{ falls }n \ge 2 \end{cases}$$
[/mm]
Der Unterschied:
Bei Deiner Schreibweise könnte man interpretieren:
$$F(n)=F(0)=0$$
oder
$$F(n)=F(1)=1$$
oder
$$F(n)=F(n-1)+F(n-2).$$
Es wäre schon unklar, wie [mm] $F(0)\,$ [/mm] definiert wäre...
Gruß,
Marcel
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