Frage zur Konvergenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Mo 12.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hallo Leute,
also ne kurze Frage, die mich umtreibt.
Kann ich daraus, dass eine Folge [mm] (1_{A_n})_n [/mm] von Indikatorfunktionen für [mm] n\to{\infty} [/mm] nach Wahrscheinlichkeit gegen 0 konvergiert,
folgern, dass auch [mm] \lim_{n\to{\infty}} P[A_n]=0??
[/mm]
Umgekehrt ist dies anscheind möglich, d.h. wenn [mm] \lim_{n\to{\infty}} P[A_n]=0, [/mm] so ist [mm] \lim_{n\to{\infty}} 1_{A_n}=0.
[/mm]
Wär toll, wenn mir da jemand ne Antwort hätte bzw. dann auch erklärt warum die eine Richtung okay ist, die andere aber nicht,
naja oder eben doch!! Vielen Dank schon mal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Mo 12.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Keiner ne Ahnung? Wär echt super.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Mo 12.07.2010 | | Autor: | gfm |
> siehe unten
> Hallo Leute,
> also ne kurze Frage, die mich umtreibt.
>
> Kann ich daraus, dass eine Folge [mm](1_{A_n})_n[/mm] von
> Indikatorfunktionen für [mm]n\to{\infty}[/mm] nach
> Wahrscheinlichkeit gegen 0 konvergiert,
> folgern, dass auch [mm]\lim_{n\to{\infty}} P[A_n]=0??[/mm]
>
> Umgekehrt ist dies anscheind möglich, d.h. wenn
> [mm]\lim_{n\to{\infty}} P[A_n]=0,[/mm] so ist [mm]\lim_{n\to{\infty}} 1_{A_n}=0.[/mm]
>
> Wär toll, wenn mir da jemand ne Antwort hätte bzw. dann
> auch erklärt warum die eine Richtung okay ist, die andere
> aber nicht,
> naja oder eben doch!! Vielen Dank schon mal!
Ist alles eine Frage einer hinreichend disziplinierten Anwendung von Definitionen: Eine Folge von ZVn [mm]X_n[/mm] konvergiere in Wahrscheinlichkeit gegen die ZV [mm]X[/mm]. [mm]:\gdw \forall_{\epsilon>0} lim_{n\to\infty} P(|X-X_n|>\epsilon)=0[/mm]. Mit [mm]X_n:=1_{A_n}[/mm] und [mm]X:=0[/mm] heißt das, [mm]\forall_{\epsilon>0} lim_{n\to\infty} P(1_{A_n}>\epsilon)=0[/mm]. Nun ist für [mm]\epsilon>0[/mm] aber [mm]P(1_{A_n}>\epsilon)=P(1_{A_n}=1)=P(A_n)[/mm], wenn [mm]\epsilon\le1[/mm]. Für den Fall [mm]\epsilon>1[/mm] gilt immer [mm]P(1_{A_n}>\epsilon)=0[/mm]. Deswegen gilt [mm] P-\lim 1_{A_n}=0 \Rightarrow [/mm] lim [mm] P(A_n)=0. [/mm] Das ganze kann man aber auch rückwärts lesen: Wenn [mm] P(A_n) [/mm] beliebig klein wird, sobald n hinreichend groß ist, dann ist auch [mm] P(1_{A_n}>\epsilon)=P(|0-1_{A_n}|>\epsilon) [/mm] jeweils für [mm] \epsilon>1 [/mm] und [mm] \epsilon\le1 [/mm] wieder beliebig klein, sobald n hinreichend groß ist.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Mo 12.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay, vielen Dank!!!
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