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| Aufgabe | [mm] H_{2^{n}} \ge [/mm] 1 + [mm] \bruch{n}{2}
[/mm]
Harmonische Reihe
[mm] H_k [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Frage zum Beweis , ich verstehe gewisse Schritte nciht:
IA: Für n = 0 gilt , [mm] H_{2^{0}} [/mm] = 1 [mm] \ge [/mm] 1 + [mm] \bruch{0}{2}
[/mm]
IS: Annahme , [mm] h_{2^a} \ge [/mm] 1 + [mm] \bruch{a}{2} [/mm] für ein beliebiges a [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] h_{2^{a+1}} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + ....+ [mm] \bruch{1}{2^{a}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{a}+1} [/mm] +...+ [mm] \bruch{1}{2^{a+1}}
[/mm]
Okay , da man ja auf n->n+1 bzw a->a+1 schließen will, verstehe ich warum dieser Schritt gemacht wurde.
Aber hier hätte ich trotzdem eine Frage
Da steht ja (...) [mm] \bruch{1}{2^{a}+1} [/mm] +...+ [mm] \bruch{1}{2^{a+1}} [/mm] kann ich auch [mm] \bruch{1}{2^{a+1}+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{a+1}+2}+...+ \bruch{1}{2^{a+1}} [/mm] schreiben ? Das müsste auch gehen , oder ?
Weiter:
= [mm] h_{2^{a}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{a}+1}+...+\bruch{1}{2^{a+1}}
[/mm]
Okay nach IV gilt es für [mm] h_{2^{a}} [/mm] Da jetzt aber zwei neue Summen da stehen ( und zwar [mm] \bruch{1}{2^{a}+1}+...+\bruch{1}{2^{a+1}} [/mm] ) muss ich das auch auf der rechten Seite machen , oder ? Deswegen auch :
[mm] \ge [/mm] (1+ [mm] \bruch{a}{2}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{a}+1}+ [/mm] ... [mm] +\bruch{1}{2^{a+1}}
[/mm]
-> Hier ist eigentlich meine wichtigste Frage.
Wieso kann man hier von einer Summe, die man nicht so einfach zusammenfassen kann ( [mm] \bruch{1}{2^{a}+1}+...+\bruch{1}{2^{a+1}} [/mm] ) auf
[mm] \ge [/mm] (1+ [mm] \bruch{a}{2}) [/mm] + [mm] 2^{a} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2^{a+1}} [/mm] kommen ??
= (1+ [mm] \bruch{a}{2}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
= 1 + [mm] \bruch{(a+1)}{2} \Box
[/mm]
Vielen Dank im Voraus
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Hallo,
> [mm]H_{2^{n}} \ge[/mm] 1 + [mm]\bruch{n}{2}[/mm]
> Harmonische Reihe
> [mm]H_k[/mm] = 1 + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
??
doch eher [mm]H_k=1+1/2+1/3+...+1/k[/mm] ...
>
> Hallo,
> ich habe eine Frage zum Beweis , ich verstehe gewisse
> Schritte nciht:
>
> IA: Für n = 0 gilt , [mm]H_{2^{0}}[/mm] = 1 [mm]\ge[/mm] 1 + [mm]\bruch{0}{2}[/mm]
>
> IS: Annahme , [mm]h_{2^a} \ge[/mm] 1 + [mm]\bruch{a}{2}[/mm] für ein
> beliebiges a [mm]\in \IN[/mm]
Wieso im IA n und nun a? Was spricht dagegen, bei n zu bleiben?!
>
> [mm]h_{2^{a+1}}[/mm] = 1 + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + ....+ [mm]\bruch{1}{2^{a}}[/mm] +[mm]\bruch{1}{2^{a}+1}[/mm] +...+ [mm]\bruch{1}{2^{a+1}}[/mm]
Was ist "klein h"?
>
> Okay , da man ja auf n->n+1 bzw a->a+1 schließen will,
> verstehe ich warum dieser Schritt gemacht wurde.
> Aber hier hätte ich trotzdem eine Frage
> Da steht ja (...) [mm]\bruch{1}{2^{a}+1}[/mm] +...+ [mm]\bruch{1}{2^{a+1}}[/mm] kann ich auch [mm]\bruch{1}{2^{a+1}+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2^{a+1}+2}+...+ \bruch{1}{2^{a+1}}[/mm] schreiben ?
> Das müsste auch gehen , oder ?
Ja, das meinen die ja, da laufen im Nenner die natürichen Zahlen von [mm]2^{a}[/mm] bis [mm]2^{a+1}[/mm], das sind im Nenner die Zahlen [mm]2^{a}, 2^{a}+1, 2^{a}+2, 2^{a}+3}, ..., 2^{a+1}-2, 2^{a+1}-1, 2^{a+1}[/mm]
Überlege dir mal, wieviele Summanden bzw. Zahlen das sind von [mm]2^{a}[/mm] bis [mm]2^{a+1}[/mm]
Damit klären sich sicher deine weiteren Fragen
>
> Weiter:
>
> = [mm]h_{2^{a}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2^{a}+1}+...+\bruch{1}{2^{a+1}}[/mm]
>
> Okay nach IV gilt es für [mm]h_{2^{a}}[/mm] Da jetzt aber zwei neue
> Summen da stehen ( und zwar
> [mm]\bruch{1}{2^{a}+1}+...+\bruch{1}{2^{a+1}}[/mm] )
Das sind nicht 2 neue Summen ...
Das sind die Summanden [mm]\frac{1}{2^{a}+1}, \frac{1}{2^{a}+2}, ..., \frac{1}{2^{a+1}-1}, \frac{1}{2^{a+1}}[/mm] von [mm]H_{2^{a+1}}[/mm]
> muss ich das
> auch auf der rechten Seite machen , oder ? Deswegen auch :
>
> [mm]\ge[/mm] (1+ [mm]\bruch{a}{2})[/mm] + [mm]\bruch{1}{2^{a}+1}+[/mm] ... [mm]+\bruch{1}{2^{a+1}}[/mm]
Genau, der erste Teil bis zu [mm]\frac{1}{2^{a}+1}[/mm] ist ja genau [mm]H_{2^{a}}[/mm], und das ist nach IV [mm]\ge 1+a/2[/mm]
>
> -> Hier ist eigentlich meine wichtigste Frage.
> Wieso kann man hier von einer Summe, die man nicht so
> einfach zusammenfassen kann (
> [mm]\bruch{1}{2^{a}+1}+...+\bruch{1}{2^{a+1}}[/mm] ) auf
>
>
>
> [mm]\ge[/mm] (1+ [mm]\bruch{a}{2})[/mm] + [mm]2^{a}[/mm] * [mm]\bruch{1}{2^{a+1}}[/mm]
> kommen ??
Nun, der kleinste Summand ist der letzte, also [mm]\frac{1}{2^{a+1}}[/mm]
Es sind insgesamt [mm]2^{a}[/mm] Summanden von [mm]\frac{1}{2^{a}+1}[/mm] bis [mm]\frac{1}{2^{a+1}}[/mm]
Jeder dieser [mm]2^{a}[/mm] Summanden ist [mm]\ge[/mm] dem kleinsten dieser Summanden, also [mm]\ge \frac{1}{2^{a+1}}[/mm].
Also [mm]\underbrace{\frac{1}{2^{a}+1}}_{\ge\frac{1}{2^{a+1}}}+\underbrace{\frac{1}{2^{a}+2}}_{\ge\frac{1}{2^{a+1}}}+...+\underbrace{\frac{1}{2^{a+1}}}_{\ge\frac{1}{2^{a+1}}}[/mm]
[mm]=2^{a}\cdot{}\frac{1}{2^{a+1}}[/mm]
>
> = (1+ [mm]\bruch{a}{2})[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> = 1 + [mm]\bruch{(a+1)}{2} \Box[/mm]
>
> Vielen Dank im Voraus
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> > [mm]H_k[/mm] = 1 + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> ??
>
> doch eher [mm]H_k=1+1/2+1/3+...+1/k[/mm] ...
Was ist der Unterschied ?
> >
> > IA: Für n = 0 gilt , [mm]H_{2^{0}}[/mm] = 1 [mm]\ge[/mm] 1 +
> [mm]\bruch{0}{2}[/mm]
> >
> > IS: Annahme , [mm]h_{2^a} \ge[/mm] 1 + [mm]\bruch{a}{2}[/mm] für ein
> > beliebiges a [mm]\in \IN[/mm]
>
> Wieso im IA n und nun a? Was spricht dagegen, bei n zu
> bleiben?!
Frage ich mich auch , haben die ausm Buch so gemacht. Find ich auch unnötig
>
> Das sind die Summanden [mm]\frac{1}{2^{a}+1}, \frac{1}{2^{a}+2}, ..., \frac{1}{2^{a+1}-1}, \frac{1}{2^{a+1}}[/mm]
> von [mm]H_{2^{a+1}}[/mm]
>
> > muss ich das
> > auch auf der rechten Seite machen , oder ? Deswegen auch
> :
> >
> > [mm]\ge[/mm] (1+ [mm]\bruch{a}{2})[/mm] + [mm]\bruch{1}{2^{a}+1}+[/mm] ...
> [mm]+\bruch{1}{2^{a+1}}[/mm]
>
> Genau, der erste Teil bis zu [mm]\frac{1}{2^{a}+1}[/mm] ist ja genau
> [mm]H_{2^{a}}[/mm], und das ist nach IV [mm]\ge 1+a/2[/mm]
Okay, danke. Stimmt auch , wenn ich etwas bei einer (Un)-Gleichung addiere/subtrahiere etc , muss ich das auch auf der anderen Seite machen, stimmts ?
> Nun, der kleinste Summand ist der letzte, also
> [mm]\frac{1}{2^{a+1}}[/mm]
>
> Es sind insgesamt [mm]2^{a}[/mm] Summanden von [mm]\frac{1}{2^{a}+1}[/mm] bis
> [mm]\frac{1}{2^{a+1}}[/mm]
>
> Jeder dieser [mm]2^{a}[/mm] Summanden ist [mm]\ge[/mm] dem kleinsten dieser
> Summanden, also [mm]\ge \frac{1}{2^{a+1}}[/mm].
>
> Also
> [mm]\underbrace{\frac{1}{2^{a}+1}}_{\ge\frac{1}{2^{a+1}}}+\underbrace{\frac{1}{2^{a}+2}}_{\ge\frac{1}{2^{a+1}}}+...+\underbrace{\frac{1}{2^{a+1}}}_{\ge\frac{1}{2^{a+1}}}[/mm]
>
> [mm]=2^{a}\cdot{}\frac{1}{2^{a+1}}[/mm]
Hab alles verstanden , aber ich verstehe es trotzdem immer noch nicht , wieso man dann [mm]=2^{a}\cdot{}\frac{1}{2^{a+1}}[/mm]
macht.
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Hallo nochmal,
> Hallo nochmal,
>
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> > > [mm]H_k[/mm] = 1 + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> >
> > ??
> >
> > doch eher [mm]H_k=1+1/2+1/3+...+1/k[/mm] ...
> Was ist der Unterschied ?
Du hast [mm] $H_{\red 3}$ [/mm] aufgeschrieben, aber [mm] $H_k$ [/mm] geht bis $1/k$
>
>
>
> > >
> > > IA: Für n = 0 gilt , [mm]H_{2^{0}}[/mm] = 1 [mm]\ge[/mm] 1 +
> > [mm]\bruch{0}{2}[/mm]
> > >
> > > IS: Annahme , [mm]h_{2^a} \ge[/mm] 1 + [mm]\bruch{a}{2}[/mm] für ein
> > > beliebiges a [mm]\in \IN[/mm]
> >
> > Wieso im IA n und nun a? Was spricht dagegen, bei n zu
> > bleiben?!
> Frage ich mich auch , haben die ausm Buch so gemacht. Find
> ich auch unnötig
> >
>
> > Das sind die Summanden [mm]\frac{1}{2^{a}+1}, \frac{1}{2^{a}+2}, ..., \frac{1}{2^{a+1}-1}, \frac{1}{2^{a+1}}[/mm]
> > von [mm]H_{2^{a+1}}[/mm]
> >
> > > muss ich das
> > > auch auf der rechten Seite machen , oder ? Deswegen
> auch
> > :
> > >
> > > [mm]\ge[/mm] (1+ [mm]\bruch{a}{2})[/mm] + [mm]\bruch{1}{2^{a}+1}+[/mm] ...
> > [mm]+\bruch{1}{2^{a+1}}[/mm]
> >
> > Genau, der erste Teil bis zu [mm]\frac{1}{2^{a}+1}[/mm] ist ja genau
> > [mm]H_{2^{a}}[/mm], und das ist nach IV [mm]\ge 1+a/2[/mm]
> Okay, danke.
> Stimmt auch , wenn ich etwas bei einer (Un)-Gleichung
> addiere/subtrahiere etc , muss ich das auch auf der anderen
> Seite machen, stimmts ?
>
> > Nun, der kleinste Summand ist der letzte, also
> > [mm]\frac{1}{2^{a+1}}[/mm]
> >
> > Es sind insgesamt [mm]2^{a}[/mm] Summanden von [mm]\frac{1}{2^{a}+1}[/mm] bis
> > [mm]\frac{1}{2^{a+1}}[/mm]
> >
> > Jeder dieser [mm]2^{a}[/mm] Summanden ist [mm]\ge[/mm] dem kleinsten dieser
> > Summanden, also [mm]\ge \frac{1}{2^{a+1}}[/mm].
> >
> > Also
> >
> [mm]\underbrace{\frac{1}{2^{a}+1}}_{\ge\frac{1}{2^{a+1}}}+\underbrace{\frac{1}{2^{a}+2}}_{\ge\frac{1}{2^{a+1}}}+...+\underbrace{\frac{1}{2^{a+1}}}_{\ge\frac{1}{2^{a+1}}}[/mm]
> >
> > [mm]=2^{a}\cdot{}\frac{1}{2^{a+1}}[/mm]
>
> Hab alles verstanden , aber ich verstehe es trotzdem immer
> noch nicht , wieso man dann [mm]=2^{a}\cdot{}\frac{1}{2^{a+1}}[/mm]
> macht.
Na, dann halt nochmal  ...
Jeder der Summanden wird abgeschätzt (ich schreibe statt a ein n, das spart mir Tipparbeit)
[mm] $\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+\frac{1}{2^n+3}+...+\frac{1}{2^{n+1}-1}+\frac{1}{2^{n+1}}$
[/mm]
[mm] $\ge \underbrace{\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}+...+\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}}_{2^n Summanden}$
[/mm]
[mm] $=2^n\cdot{}\frac{1}{2^{n+1}}$
[/mm]
Wenn du k-mal dieselbe Zahl x summierst, also $x+x+x+...+x$ (k-mal), ist das doch [mm] $k\cdot{}x$
[/mm]
Hier summierst du [mm] $2^n$-mal [/mm] dieselbe Zahl [mm] $\frac{1}{2^{n+1}}$, [/mm] das ergibt [mm] $2^n\cdot{}\frac{1}{2^{n+1}}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Fr 03.01.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Achsoo, jetzt habe ich es verstanden.
Vielen vielen Dank !
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