Frage zur Fehlerabschätzung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Fr 28.03.2014 | | Autor: | infra99 |
| Aufgabe | Funktion: [mm] f(x)=3x^4-x^3
[/mm]
Schätzen Sie den Fehler |f(2)-p(2)| möglichst genau ab, ohne p(2) und f(2) zu bestimmen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe eine Frage zur obenstehenden Aufgabe bzw. generell Aufgaben dieses Stils. Das allgemeine Vorgehen ist mir klar.
Komme auf den Term |f(2)-p(2)|=w(2)/6*f'''(z)
Die Frage bezieht sich auf den Part f'''(z).
Als dritte Ableitung habe ich: 72x-6
und für z einen Raum von 0 bis 3 definiert.
Welchen Wert benutze ich nun als Ergebnis von f'''(z)?
Nutze ich (durch Einsetzen von 0) -6 oder (durch Einsetzen von 3) 210.
Ich würde in diesem Fall 210 wählen, allerdings fehlt mir hier die eindeutige Entscheidungsregel. Der maximale positive Wert, der maximale Wert unabhängig vom Vorzeichen oder der Wert der durch die höchste Grenze des Raumes für z bestimmt wird?
Durchstöbere schon ständig Skripte und Bücher allerdings eher mit geringerem Erfolg. Die Beispiele bestätigen zwar meine Vermutung aber würde es schon gern genau wissen :)
Liebe Grüße und vielen vielen Dank :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Fr 28.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was ist denn p(2) und welchen Fehler genau willst du bestimmen?
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Fr 28.03.2014 | | Autor: | infra99 |
Oh, das hab ich übersehen, dass das in dem Aufgabenteil auch relevant ist.
p(2) steht für das Interpolationspolynom [mm] p(x)=-33x+35x^2 [/mm]
Somit ist es, wenn ich es richtig verstanden habe, die Abweichung des Interpolationspolynoms von der eigentlichen Funktion.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Fr 28.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Oh, das hab ich übersehen, dass das in dem Aufgabenteil
> auch relevant ist.
> p(2) steht für das Interpolationspolynom [mm]p(x)=-33x+35x^2[/mm]
>
> Somit ist es, wenn ich es richtig verstanden habe, die
> Abweichung des Interpolationspolynoms von der eigentlichen
> Funktion.
Hallo,
bezieht sich die Aufgabe vielleicht auch noch auf ein bestimmtes Intervall, oder geht es wirklich um die komplette Funktion?
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Fr 28.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
offensichtlich sollst du den Fehler an der Stelle 2 abschätzen. Dazu müsste man wissen wie bzw wodurch dein Interpolationspolynom denn bestimmt ist?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Sa 29.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo infra99,
In der Tat brauchst du hier die dritte Ableitung von
[mm] f(x):=3x^4-x^3.
[/mm]
> Aufgaben dieses Stils. Das allgemeine Vorgehen ist mir klar.
Poste doch mal bitte eine komplette Aufgabenstellung. Wirst
du nicht auch stutzig, wenn du folgendes betrachtest?
$f(2)=40$ und $p(2)=74$.
> Komme auf den Term |f(2)-p(2)|=w(2)/6*f'''(z)
Ich denke, dass das falsch ist (siehe unten).
> Die Frage bezieht sich auf den Part f'''(z).
> Als dritte Ableitung habe ich: 72x-6
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und für z einen Raum von 0 bis 3 definiert.
Meine Glaskugel sagt mir, dass dein Interpolationspolynom
mit Werten aus diesem Intervall entstanden ist? Damit geht
das schon in die richtige Richtung. Ich benutze hier lieber
[mm] \xi, [/mm] da wir eigentlich mit dem Mittelwertsatz arbeiten.
> Welchen Wert benutze ich nun als Ergebnis von f'''(z)?
> Nutze ich (durch Einsetzen von 0) -6 oder (durch Einsetzen
> von 3) 210.
> Ich würde in diesem Fall 210 wählen, allerdings fehlt
> mir hier die eindeutige Entscheidungsregel. Der maximale
> positive Wert, der maximale Wert unabhängig vom Vorzeichen
> oder der Wert der durch die höchste Grenze des Raumes für
> z bestimmt wird?
Benutze folgende Eigenschaft:
[mm] |f(x)-p_n(x)|\le\frac{\max_{\xi\in[a,b]}|f^{(n+1)}(\xi)|}{(n+1)!}|\produkt_{k=0}^{n}(x-x_k)|,
[/mm]
wobei wir hier obiges $f$ betrachten und [mm] p\in\Pi_2 [/mm] dein Interpola-
tionspolynom ist. Aus reiner Spekulation würde ich wohl in
diesem Fall auf $[a,b]=[0,3]$ tippen.
> Durchstöbere schon ständig Skripte und Bücher allerdings
> eher mit geringerem Erfolg. Die Beispiele bestätigen zwar
> meine Vermutung aber würde es schon gern genau wissen :)
>
> Liebe Grüße und vielen vielen Dank :)
Gruß
DieAcht
|
|
|
|
