Frage zur Anordnungsaxiomen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a,b,c,d sind Elemente von [mm] \IR
[/mm]
a) Falls a,b < 0 ist, gilt a<b [mm] \Rightarrow [/mm] a² > b²
b) 0<a<b [mm] \Rightarrow \bruch{1}{a}>\bruch{1}{b}
[/mm]
c) a<b, [mm] c\ge [/mm] d [mm] \Rightarrow [/mm] a-c<b-d |
Folgende Anordnungsaxiome hab ich:
1) [mm] x\in\IR
[/mm]
x>0 x=0 -x>0
2) x>0, y>0 [mm] \Rightarrow [/mm] x+y>0
3) x>0, y>0 [mm] \Rightarrow [/mm] x*y>0
Und:
x>y [mm] :\gdw [/mm] x-y>0
x<y [mm] :\gdw [/mm] y>x
x [mm] \ge [/mm] y [mm] :\gdw [/mm] x>y oder x=y
x [mm] \le [/mm] y [mm] :\gdw [/mm] x<y oder x=y
Bei a) kann ich auch mit Zahlen schreiben:
-2<-1 [mm] \Rightarrow [/mm] -2²>-1²
dann würde die Behauptung stimmen. Aber wie beweist man das?
Bei b) könnt ich schreiben 0<1<2 [mm] \Rightarrow [/mm] 1>1/2
Bei c) 1<2, 2 [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1-2<2-1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 Do 08.11.2012 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
nun wollte ich mal wissen, ob ich das nach über 30 Jahren noch schaffe.
Ich habe mich nur mit a) auseinander gesetzt. Die Vorüberlegung: aus dem <0 muss ein >0 werden, sonst lassen sich die Axiome und Folgerungen nicht anwenden. Da es um einen Vergleich gegenüber 0 geht, wird der Schritt vor dem Ziel lauten: [mm] $a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] > 0$ Das riecht nach dritter binomischer Formel, also muss ich zu $(a-b)(a+b)$ kommen. Es wird dann ein wenig anders, wie Du gleich siehst.
Jede Umformung lässt sich mit den von Dir gegebenen Axiomen und Folgerungen begründen. Das nachzuvollziehen überlasse ich Dir. Tu es.
1. a < b => b > a => b-a > 0
2. a < 0 => 0 > a => 0-a > 0 => -a > 0
3. genau so für b ... => -b > 0
4. mit 2 und 3 => -a-b > 0
5. mit 1 und 4 => (b-a)(-a-b) > 0 ( da ist binomi 3)
6. ...
Bei b könnte es sinnvoll sein, erst einmal 1 > 0 zu zeigen, ich bin aber nicht sicher. Probier erst einmal selbst.
Bei c würde ich eine Fallunterscheidung machen. Erst einmal c > d zum warm werden.
Das läuft ähnlich wie a, nur etwas einfacher. Wie der Fall c = d angegangen wird, sehe ich nicht sofort. Da das = in den Axiomen nur einmal vorkommt, würde ich a-c = b-d und a-c > b-d zum Widerspruch bringen.
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