Frage zu ganzrationalen Fkt und Fläscheninhalt < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Di 15.06.2004 | | Autor: | Smith |
Hallo zusammen.
Ich hab das Problem, dass ich nächste Woche ne Mathearbeit schreibe (11 Kl. Gymnasium; Analysis) und die ganze Zeit schon mächtig am lernen bin (zugegebenermaßen bin ich nicht gerade der Beste in Mathe). Jetzt hab ich da aber 2 Aufgaben gefunden, wo ich absolut keine Ahnung bzw keinen Ansatz habe, wie ich die Aufgaben lösen könnte. Ich schreib sie am besten einfach mal hier herein:
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1. Aufgabe:
Nennen sie die ganzrationale Funktion dritten Grades, die durch A(1|4) verläuft, in B(3|6) einen Wendepunkt hat und für x = 4 eine horizentale Tangente hat.
2. Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion f(x) = - $ [mm] \bruch{1}{4} [/mm] $ x² + 4 .
Der Graph schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.
Gesucht ist das zu den Koordinatenachsen parallele Rechteck mit maximalem Flächeninhalt.
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Ok, zu der 1. Aufgabe kann ich noch sagen, dass mein Hauptproblem gleich am ersten Teil liegt, nämlich dass die Fkt. durch A(1|4) verläuft. Den letzten Teil, nämlich dass x = 4 eine horizontale Tangente haben soll, hab' ich glaub ich verstanden: Bei einer waagerechten Tangente muss die Steigung gleich 0 sein. Das widerum bedeutet, dass die erste Ableitung der Fkt. ebenfalls bei 4 Null ergeben muss. Nur wie komme ich da auf den Funktionsterm?
Schonmal danke im Voraus für die Antworten!
MfG Smith
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> 1. Aufgabe:
>
> Nennen sie die ganzrationale Funktion dritten Grades, die
> durch A(1|4) verläuft, in B(3|6) einen Wendepunkt hat und
> für x = 4 eine horizentale Tangente hat.
Hallo Smith!
Also, zu Deinen Aufgaben.
Ich habe leider nur Ziet,um Dir etwas zur ersten Aufgabe zu sagen!
Die gesuchte Funktion ist dritten Grades:
Also: [mm] f(x)=a*x^3+bx^2+c*x+d
[/mm]
Dazu kannst du schon einmal allgemein die ABleitungen bestimmen!
Jetzt werten wir die Informationen aus:
1. f(1)=4, d.h. a+b+c+d=4
2. f(3)=6 ,d.h. 27a+9b+3c+d=6
3. f´´(3)=0 , d.h ind die zweite Ableitung 3 einsetzen und gleich 0 setzen
Das ist ja die Bedingung für einen Wendepunkt.
Für die letzte Bedingung bin ich mir nicht garnz sicher. Müsste das nicht bei y=4 sein?
Prinzipell hast Du also 4 Gleichungen.
Somit musst Du jetzt nur noch das lineare Gleichungssystem lösen, um Deine Parameter a,b,c,d zu bestimmen.
Und schon hast Du deine Funktion 3.Grades.
Versuch es mal!
Gruss,
Wurzelpi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:50 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo miteinander
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> Für die letzte Bedingung bin ich mir nicht garnz sicher.
> Müsste das nicht bei y=4 sein?
Ich denke, x=4 ist schon richtig.
Die Bedingung für eine horizontale Tangente ist ja einfach, dass an dieser Stelle die 1. Ableitung = 0 zu setzen ist. Also 1. Ableitung bilden, für x den Wert 4 einsetzen und das Ganze = 0 setzen.
Mit lieben Grüssen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo Smith,
> 2. Aufgabe:
>
> Gegeben ist die Funktion f(x) = - [mm]\bruch{1}{4}[/mm] x² + 4 .
>
> Der Graph schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.
> Gesucht ist das zu den Koordinatenachsen parallele
> Rechteck mit maximalem Flächeninhalt.
Das von Dir gesuchte Rechteck besitzt ja folgende Eigenschaften:
- eine Seite (die "Breite") verläuft auf der x-Achse, sagen wir von [mm] $P_1=(x_1/0)$ [/mm] bis [mm] $P_2=(x_2/0)$
[/mm]
- eine zweite Seite (die "Höhe") läuft von [mm] $P_1=(x_1/y_1)$ [/mm] nach [mm] $P_1^f=(x_1/f(x_1))$
[/mm]
Wenn man sich das einmal klar gemacht hat, ist der erste Schritt eigentlich schon getan: der gesuchte Flächeninhalt $A$ ist [mm] $(x_2-x_1) [/mm] * [mm] (f(x_1-0)$. [/mm] Soweit erst einmal klar?
Jetzt haben wir nur das Problem, dass $A$ momentan noch von [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] abhängt. Wie können wir uns einer Variable entledigen? Indem wir ausnutzen, dass die Seite, die [mm] $P_1^f=(x_1/f(x_1))$ [/mm] mit [mm] $P_2^f=(x_2/f(x_2))$ [/mm] verbindet, parallel zur x-Achse sein muss, sprich [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] gelten muss. Aufgrund der Symmetrie der Parabel (oder indem Du [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] explizit nach [mm] $x_1$ [/mm] bzw [mm] $x_2$ [/mm] auflöst) erhälst Du daraus [mm] $x_1=-x_2$.
[/mm]
Diese Bedingung kannst Du jetzt in unser $A$ einsetzen und Du erhälst eine Gleichung mit nur einer Unbekannten. Von der bestimmst Du dann wie gehabt das Maximum.
Hier mal die Skizze meines Ergebnisses zum Vergleich:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mach's gut
Oliver
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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