Frage zu "Trennung d. Variab." < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Di 13.07.2010 | | Autor: | Holonia |
Hallo! :)
Stecke gerade fest und habe mich deswegen mal hier angemeldet.
Um gleich zum Thema zu kommen:
Es geht um das Verfahren "Trennung der Variablen/Veränderlichen". Dank Recherche habe ich den Ablauf verstanden, dachte ich zumindest.
Wo das Problem ist? Also mit 2 veränderlichen macht mir das Verfahren keine Probleme, wenn man Beispielsweise zu y' = y/x die DGL suchen soll.
In Probeklausuren habe ich jetzt jedoch Gleichungen mit entweder nur einer oder gar mit 3 Variablen gesehen, Beispiele sind:
y' = 2y - 4
und
y' = [mm] \lambda [/mm] * (a - y)²
(das Lambda in der letzten Gleichung kann man wohl als Variable ansehen nehme ich an).
Wenn ich das Verfahren jetzt mit der ersten Gleichung durchziehen will, so klingt das schon paradox - welche Variablen will man den trennen, wenn es nur eine gibt. Das führst spätestens dann zum Problem, wenn man an den Teil mit der Integration links und rechts kommt. Auf einer Seite der Gleichung gibt es ja dann nur eine Zahl - aber die Integrationsvariable ist ja unbekannt.
Bei der zweiten Gleichung ist das Problem, das links vom Gleichheitszeichen Platz für ne Variable ist und rechts auch nochmal - wo soll dann die 3. Variable hin? Oder soll ich die als konstanten Faktor ignorieren und einfach mitschleppen.
Vielleicht erstmal eine Grundsatzfrage: Eignet sich TdV für die 2 Gleichungen überhaupt, oder funktioniert das gar nur mit exakt 2 Variablen pro Gleichung?
Das war der erste Teil meiner Fragen - der zweite handelt um die Berechnung der DGL mittels Taschenrechner, in meinem Fall der TI89 Titanium - ich weiß, es ist optimistisch hier im Forum zu einem ganz bestimmten Taschenrechnermodell ne Frage zu stellen, aber da sich hier sicherlich viele Matheliebhaber rumtreiben, habe ich ja vielleicht Glück.
Also angenommen, ich habe y' = x/y und soll die DGL finden, dann funktioniert das mit der Syntax
deSolve( y' = y/x , x ,y )
Und ich erhalte wunderbar y = cx.
Angenommen, ich habe 2 Gleichungen wie oben mit nur einer oder mehr als 2 Variablen, wie muss die Syntax dann lauten? Denn wenn die Gleichung nur aus y besteht, dann weiß ich nicht, ob das x dort noch Sinn macht in der Syntax. Ich habe danach gegoogelt und lustigerweise wird in beiden gefundenen Ergebnissen das x trotzdem stehen gelassen, was dann dazu führt, dass in der DGL ein x auftaucht, obwohl die Originalgleichung garkein x hatte.
Ich bedanke mich vielmals für eure Mühe! Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Di 13.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo! :)
>
> Stecke gerade fest und habe mich deswegen mal hier
> angemeldet.
> Um gleich zum Thema zu kommen:
>
> Es geht um das Verfahren "Trennung der
> Variablen/Veränderlichen". Dank Recherche habe ich den
> Ablauf verstanden, dachte ich zumindest.
> Wo das Problem ist? Also mit 2 veränderlichen macht mir
> das Verfahren keine Probleme, wenn man Beispielsweise zu y'
> = y/x die DGL suchen soll.
>
> In Probeklausuren habe ich jetzt jedoch Gleichungen mit
> entweder nur einer oder gar mit 3 Variablen gesehen,
> Beispiele sind:
>
> y' = 2y - 4
>
> und
>
> y' = [mm]\lambda[/mm] * (a - y)²
>
> (das Lambda in der letzten Gleichung kann man wohl als
> Variable ansehen nehme ich an).
Nein, das ist eine Konstante.
>
> Wenn ich das Verfahren jetzt mit der ersten Gleichung
> durchziehen will, so klingt das schon paradox - welche
> Variablen will man den trennen, wenn es nur eine gibt.
Da [mm] y'=\bruch{dy}{dx} [/mm] ist, hast du schon mal zwei Variablen.
Es gilt also [mm] \bruch{dy}{dx}=2y-4,
[/mm]
damit dy=2y*dx - 4 dx
... ist dieses Beispiel frei erfunden? ich sehe nicht auf Anhieb, wie die Trennung der Variablen hier funktionierten soll...
>
> Bei der zweiten Gleichung ist das Problem, das links vom
> Gleichheitszeichen Platz für ne Variable ist und rechts
> auch nochmal - wo soll dann die 3. Variable hin? Oder soll
> ich die als konstanten Faktor ignorieren und einfach
> mitschleppen.
Es IST ein konstanter Faktor.
Gruß Abakus
>
> Vielleicht erstmal eine Grundsatzfrage: Eignet sich TdV
> für die 2 Gleichungen überhaupt, oder funktioniert das
> gar nur mit exakt 2 Variablen pro Gleichung?
>
>
> Das war der erste Teil meiner Fragen - der zweite handelt
> um die Berechnung der DGL mittels Taschenrechner, in meinem
> Fall der TI89 Titanium - ich weiß, es ist optimistisch
> hier im Forum zu einem ganz bestimmten Taschenrechnermodell
> ne Frage zu stellen, aber da sich hier sicherlich viele
> Matheliebhaber rumtreiben, habe ich ja vielleicht Glück.
>
> Also angenommen, ich habe y' = x/y und soll die DGL finden,
> dann funktioniert das mit der Syntax
>
> deSolve( y' = y/x , x ,y )
>
> Und ich erhalte wunderbar y = cx.
>
> Angenommen, ich habe 2 Gleichungen wie oben mit nur einer
> oder mehr als 2 Variablen, wie muss die Syntax dann lauten?
> Denn wenn die Gleichung nur aus y besteht, dann weiß ich
> nicht, ob das x dort noch Sinn macht in der Syntax. Ich
> habe danach gegoogelt und lustigerweise wird in beiden
> gefundenen Ergebnissen das x trotzdem stehen gelassen, was
> dann dazu führt, dass in der DGL ein x auftaucht, obwohl
> die Originalgleichung garkein x hatte.
>
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> Ich bedanke mich vielmals für eure Mühe! Danke
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo Holonia und ganz herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> In Probeklausuren habe ich jetzt jedoch Gleichungen mit
> entweder nur einer oder gar mit 3 Variablen gesehen,
> Beispiele sind:
>
> y' = 2y - 4
>
> und
>
> y' = [mm]\lambda[/mm] * (a - y)²
>
> (das Lambda in der letzten Gleichung kann man wohl als
> Variable ansehen nehme ich an).
>
> Wenn ich das Verfahren jetzt mit der ersten Gleichung
> durchziehen will, so klingt das schon paradox - welche
> Variablen will man den trennen, wenn es nur eine gibt. Das
> führst spätestens dann zum Problem, wenn man an den Teil
> mit der Integration links und rechts kommt. Auf einer Seite
> der Gleichung gibt es ja dann nur eine Zahl - aber die
> Integrationsvariable ist ja unbekannt.
Nun, das erste ist eine inhomogene Dgl.
Betrachte zunächst den homogenen Teil [mm] $y_h'=2y_h$ [/mm] und löse ihn mit Trennung:
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{y_h} [/mm] \ [mm] dy_h [/mm] \ = \ 2 \ dx$
Das kannst du doch locker beiderseits integrieren zu:
[mm] $\ln|y_h|=2x+C$ [/mm] mit [mm] $C\in\IR$
[/mm]
Also [mm] $|y_h|=e^{2x+C}=M\cdot{}e^{2x}$ [/mm] mit [mm] $M\in\IR^+$
[/mm]
Also [mm] $y_h=K\cdot{}e^{2x}$ [/mm] mit [mm] $K\in\IR$
[/mm]
Nun weiter mit Variation der Konstanten, mache $K$ abhängig von x und bestimme so eine partikuläre Lösung [mm] $y_p$ [/mm] ...
Die Gesamtlösung setzt sich dann zusammen als Summe der beiden Lösungen, also [mm] $y=y_h+y_p$
[/mm]
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> Bei der zweiten Gleichung ist das Problem, das links vom
> Gleichheitszeichen Platz für ne Variable ist und rechts
> auch nochmal - wo soll dann die 3. Variable hin? Oder soll
> ich die als konstanten Faktor ignorieren und einfach
> mitschleppen.
Wie im anderen post erwähnt, ist [mm] $\lambda$ [/mm] eine Konstante, also Trennung:
[mm] $\frac{1}{(a-y)^2} [/mm] \ dy \ = \ [mm] \lambda [/mm] \ dx$
Nun wieder auf beiden Seiten integrieren ...
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> Vielleicht erstmal eine Grundsatzfrage: Eignet sich TdV
> für die 2 Gleichungen überhaupt, oder funktioniert das
> gar nur mit exakt 2 Variablen pro Gleichung?
>
>
> Das war der erste Teil meiner Fragen - der zweite handelt
> um die Berechnung der DGL mittels Taschenrechner, in meinem
> Fall der TI89 Titanium - ich weiß, es ist optimistisch
> hier im Forum zu einem ganz bestimmten Taschenrechnermodell
k.A.
Ich stelle mal die Frage auf teilweise beantwortet ...
> ne Frage zu stellen, aber da sich hier sicherlich viele
> Matheliebhaber rumtreiben, habe ich ja vielleicht Glück.
>
> Also angenommen, ich habe y' = x/y und soll die DGL finden,
> dann funktioniert das mit der Syntax
>
> deSolve( y' = y/x , x ,y )
>
> Und ich erhalte wunderbar y = cx.
>
> Angenommen, ich habe 2 Gleichungen wie oben mit nur einer
> oder mehr als 2 Variablen, wie muss die Syntax dann lauten?
> Denn wenn die Gleichung nur aus y besteht, dann weiß ich
> nicht, ob das x dort noch Sinn macht in der Syntax. Ich
> habe danach gegoogelt und lustigerweise wird in beiden
> gefundenen Ergebnissen das x trotzdem stehen gelassen, was
> dann dazu führt, dass in der DGL ein x auftaucht, obwohl
> die Originalgleichung garkein x hatte.
>
>
> Ich bedanke mich vielmals für eure Mühe! Danke
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Mi 14.07.2010 | | Autor: | Holonia |
Danke ihr 3, ich glaub ich hab den Dreh jetzt raus :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Di 13.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Verfahren funktioniert immer dann, wenn man sowas wie y'=f(y)*g(x) hat.
Nun verwirrt es dich im alle
y'=2y-4 dass das g(x) fehlt. in Wirklichkeit ist natürlich auch g(x)=1 eine Funktion
und du hast f(y)=2y-4 g(x)01
1/f(y)*dy=g(x)dx
oder dy/(2y-4)=1*dx.
im zweiten beispiel ist weder [mm] \lambda [/mm] noch a ne variable, wenn man sie aber allgemein lässt hat man gleich viele verschiedene Dgl auf einmal gelöst. [mm] \lambda [/mm] und a sind hier "Parameter" für die man irgendwelche Zahlen einsetzen kann.
Gruss leduart
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