Frage zu Rechenoperation < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Lösen Sie die Gleichung [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z} [/mm] nach x auf und vereinfachen Sie. |
Diese Aufgabe begegnete mir neulich in einem Übungstest.
Mir ist klar, dass
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x + y = z
bin aber nur durch Nachdenken auf die Lösung gekommen.
Ich frage mich nun aber wie die Rechenoperation heisst, die ich dürchführen muss, um aus der Darstellung in Brüchen auf x + y = z zu kommen.
Also das was Quasi immer rechts neben einem vertikalen Strich neben der Gleichung steht :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke
yuffie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
> Lösen Sie die Gleichung [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + [mm]\bruch{1}{y}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{z}[/mm] nach x auf und vereinfachen Sie.
Wenn ich nach $x$ auflösen möchte mache ich folgendens:
[mm] $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$ [/mm] (rechne [mm] $-\frac{1}{y}$)
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}$ [/mm] (mache den Bruch gleichnamig)
[mm] $\Longleftrightarrow \frac{1}{x}=\frac{y-z}{yz}$ [/mm] (Multipliziere mit $x$ und [mm] $\frac{yz}{y-z}$)
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow x=\frac{yz}{y-z}$
[/mm]
Die Umformungen gelten nur (!!!), wenn [mm] $y-z\neq [/mm] 0$, also [mm] $y\neq [/mm] z$ ist. Eine andere Möglichkeit nach $x$ aufzulösen gibt es (meine ich) nicht.
> Diese Aufgabe begegnete mir neulich in einem Übungstest.
>
> Mir ist klar, dass
>
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + [mm]\bruch{1}{y}[/mm] = [mm]\bruch{1}{z}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] x + y = z
Mir nicht! Und das gilt auch nicht. Leichtes Gegenbeispiel: Setze $x=5$, $y=6$ und [mm] $z=\frac{30}{11}$, [/mm] dann gilt
[mm] $\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{11}{30}=\frac{1}{\frac{30}{11}}$
[/mm]
aber es ist
[mm] $5+6=11\neq\frac{11}{30}$
[/mm]
Verstehst Du, was ich meine? Und ein Gegenbeispiel für die andere Richtung wäre: Sei $x=y=z=0$, dann gilt:
$x+y=0+0=0=z$
Aber
[mm] $\frac{1}{0}+\frac{1}{0}=\frac{1}{0}$
[/mm]
ist nicht einmal erklärt (definiert) !!!
> bin aber nur durch Nachdenken auf die Lösung gekommen.
Ich komme leider nicht auf die Lösung. Schildere mir mal, wie Du darauf gekommen bist, damit Dein Fehler ans Tageslicht kommt.
> Ich frage mich nun aber wie die Rechenoperation heisst, die
> ich dürchführen muss, um aus der Darstellung in Brüchen auf
> x + y = z zu kommen.
Da fragst Du Dich zurecht. Kurz: Die gibt es nicht.
> Also das was Quasi immer rechts neben einem vertikalen
> Strich neben der Gleichung steht :)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Danke
> yuffie
Gruß Denny
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Also was ich mir vorgestellt habe:
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{y} [/mm] - [mm] \bruch{1}{z} [/mm] = 0
[mm] \gdw \bruch{1}{x+y-z} [/mm] = 0 [mm] |*(x+y-z)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x+y-z = 0
Aber das scheint ja so nicht zu gehen: wenn ich z.B. x = 3; y = 3; z = 6 setze,
kommt erhalte in x+y-z -> 3 + 3 - 6 = 0
jedoch in [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{y} [/mm] - [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
-> [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6} [/mm] = 0, was falsch ist.
Wenn ich jetzt nochmal drüber nachdenke, glaube ich das der Fehler ist, dass ich quasi die "Divisoren faktorisiert" habe, also ich habe aus
(1:x)+(1:y)-(1:z) = 1:(x+y-z) gemacht. Das darf ich aber nur bei Faktoren machen, also in (a*x)+(a*y)-(a*z) = a*(x+y-z) läge ja kein Fehler.
Irgendwie dachte ich auch, dass man einfach von allen Gliedern des Therms einfach den Kehrwert nehmen könnte, was aber, wie ich nun glaube, kompletter Unsinn ist, obwohl, wenn ich nur Punktrechnung zwischen den einzelnen Gliedern meiner Gleichung habe, könnte ich das einfach machen oder?
Also:
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] * [mm] \bruch{1}{y} [/mm] : [mm] \bruch{1}{z} [/mm] = 1
[mm] \gdw [/mm] x*y:z = 1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
> Also was ich mir vorgestellt habe:
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> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + [mm]\bruch{1}{y}[/mm] = [mm]\bruch{1}{z}[/mm]
Okay soweit
> [mm]\gdw \bruch{1}{x}[/mm] + [mm]\bruch{1}{y}[/mm] - [mm]\bruch{1}{z}[/mm] = 0
Das was jetzt kommt es falsch und gilt nicht!
> [mm]\gdw \bruch{1}{x+y-z}[/mm] = 0 [mm]|*(x+y-z)^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] x+y-z = 0
Denke mal darüber nach. Meine Gegenbeispiele sollten Dir dabei helfen.
> Aber das scheint ja so nicht zu gehen: wenn ich z.B. x = 3;
> y = 3; z = 6 setze,
>
> kommt erhalte in x+y-z -> 3 + 3 - 6 = 0
Okay
> jedoch in [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + [mm]\bruch{1}{y}[/mm] - [mm]\bruch{1}{z}[/mm]
> -> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{6}[/mm] = 0, was
> falsch ist.
Stop! Hier hast Du mit Deinen Werten:
[mm] $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\neq [/mm] 0$
und damit hast Du ein weiteres Gegenbeispiel gefunden, für dass Deine Umformungen nicht gelten.
>
> Wenn ich jetzt nochmal drüber nachdenke, glaube ich das der
> Fehler ist, dass ich quasi die "Divisoren faktorisiert"
> habe, also ich habe aus
> (1:x)+(1:y)-(1:z) = 1:(x+y-z) gemacht.
Genau dort ist der Fehler!
> Das darf ich aber
> nur bei Faktoren machen, also in (a*x)+(a*y)-(a*z) =
> a*(x+y-z) läge ja kein Fehler.
Du dividierst hier aber nicht, sondern ziehst nur das $a$ vor die Klammern. Das hat also mit deinem Problem nichts zu tun. Das Analogon zur Division wäre hier
[mm] $\frac{a}{x}+\frac{a}{y}-\frac{a}{z}=a(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z})$
[/mm]
und diese Aussage gilt für [mm] $x,y,z\neq [/mm] 0$
> Irgendwie dachte ich auch, dass man einfach von allen
> Gliedern des Therms einfach den Kehrwert nehmen könnte, was
> aber, wie ich nun glaube, kompletter Unsinn ist
Das stimmt! Das darfst Du natürlich nicht für einzelne Summanden einer Gleichung machen.
>, obwohl,
> wenn ich nur Punktrechnung zwischen den einzelnen Gliedern
> meiner Gleichung habe, könnte ich das einfach machen oder?
Wenn ich Dich richtig verstehe willst Du wissen, ob Du
[mm] $x\cdot y\cdot z\neq 0\Longleftrightarrow\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{y}\cdot\frac{1}{z}\neq [/mm] 0$
machen darfst. Ja das darfst Du, aber NICHT mit "=0". Denn stünde links "=0" so wäre $x$, $y$ oder $z$ "=0" und damit würde auf der rechten Seite durch 0 geteilt werden, was Du bekanntlicherweise nicht darfst.
> Also:
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] * [mm]\bruch{1}{y}[/mm] : [mm]\bruch{1}{z}[/mm] = 1
>
> [mm]\gdw[/mm] x*y:z = 1
Meinst Du wirklich das?? Mit "Mal" und "Geteilt"? Sieht zwar komisch aus und ich mag die Schreibweise mit dem "Geteilt" darin nicht, aber die Umfomrung gilt FALLS [mm] $x,y,z\neq [/mm] 0$ sind (und zwar alle ungleich 0).
Gruß Denny
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