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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Di 30.01.2007 | | Autor: | peter_d |
| Aufgabe | [mm] $\text{Sei } f=f_A\in \text{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^3) \text{ für die Matrix}$
[/mm]
[mm] $A=\dfrac13\left(\begin{array}{ccc}2&1&-2\\1&2&2\\-2&2&-1\end{array}\right)$
[/mm]
[mm] $\text{Zeigen Sie: }f^2=\text{id}$ [/mm] |
Hallo. Ich hab das Gefühl, das kann nich so schwer sein, aber ich versteh grade nicht, was mit [mm] f_A [/mm] gemeint ist. Wie soll ich damit umgehen.
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Di 30.01.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich würde meinen, das [mm] f_A [/mm] die durch die Matrix A induzierte lineare Abbildung ist. Also ist nur nachzuweisen, dass [mm] A^2=1 [/mm] (1=3x3 Einheitsmatrix) gilt, was leicht auszurechnen ist.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Di 30.01.2007 | | Autor: | peter_d |
Das ist mir jetzt klar. Danke.
Und wie komme ich auf den Kern(f) und Bild(f) ??
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Di 30.01.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] Kern(f)=\{x|Ax=0\}, [/mm] hier ist also ein lineares Gleichungssystem zu lösen
und [mm] Bild(f)=\{y\in\IR^3|y=Ax \mbox{ x\in\IR^3}\}
[/mm]
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Di 30.01.2007 | | Autor: | peter_d |
schon mal danke, wenn noch was ist, frag ich nochmal 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Di 30.01.2007 | | Autor: | peter_d |
Moin, noch eine letzte Frage.
Meine Basis ist
[mm] $B=\left(\left(\begin{array}{ccc}-1\\1\\-2\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc}-2\\0\\1\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc}1\\1\\0\end{array}\right)\right)$
[/mm]
Wie lautet die Matrix [mm] $M_B(f)$ [/mm] ?
Wie mache ich so etwas?
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Di 30.01.2007 | | Autor: | CPH |
> Moin, noch eine letzte Frage.
>
> Meine Basis ist
>
> [mm]B=\left(\left(\begin{array}{ccc}-1\\1\\-2\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc}-2\\0\\1\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc}1\\1\\0\end{array}\right)\right)[/mm]
>
> Wie lautet die Matrix [mm]M_B(f)[/mm] ?
>
> Wie mache ich so etwas?
Hallo,
ich gebe dienen basisvektoren erst mal namen, der erste heißt [mm] b_1
[/mm]
der zweite heißt [mm] b_2 [/mm]
...
du berechnest [mm] f(b_1) [/mm] und stellst es mit deiner basis B dar
Also deine Matrix A* [mm] b_1
[/mm]
das ist
bruch{1}{3} * [mm] \vektor{-2+1+4 \\ -1+2-4\\2+2+2}=\vektor{1\\ -1\\2}
[/mm]
jetut musst du diesen vektor [mm] \vektor{1\\ -1\\2} [/mm] mittels deiner Basis darstellen:
offensichtlich gilt:
[mm] \vektor{1\\ -1\\2}= [/mm] -1 [mm] *b_1 +0*b_2+0*b_3
[/mm]
Also ist [mm] \vektor{-1\\ 0\\0} [/mm] der erste Spaltenvektor deiner gesuchten Matrix.
den zweiten Spaltenvektor bestimmst du indem du [mm] b_2 [/mm] mit f abbildest, und das Ergebnis mit deiner (nummerierten, die Reihenfolge deiner basis ist hier sehr wichtig!) Basis darstellst:
also [mm] f(b_2)=\vektor{x\\ y\\z}= a_{12} [/mm] * [mm] b_1 [/mm] + [mm] a_{22} [/mm] * [mm] b_2 [/mm] + [mm] a_{32} [/mm] * [mm] b_3.
[/mm]
daraus folgt [mm] \vektor{a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} } [/mm] ist der zeite Spaltenvektor deiner Matrix
der dritte sollte kein problem sein.
Allgemein gilt
[mm] f(b_i)=\vec{v}= a_{1i} [/mm] * [mm] b_1 [/mm] + [mm] a_{2i} [/mm] * [mm] b_2 [/mm] + ... [mm] +a_{ni} [/mm] * [mm] b_n.
[/mm]
dies ist der i-te Spaltenvektor deiner Matrix [mm] M_f^{B},
[/mm]
wenn du eine Matrix [mm] M_f^{BC} [/mm] bestimmen sollst, dann heißt das nichts anderes als dass du die Basisvektoren von B abbildest und dann das ergebnis mit C darstellst:
[mm] f(b_i)=\vec{v}= a_{1i} [/mm] * [mm] c_1 [/mm] + [mm] a_{2i} [/mm] * [mm] c_2 [/mm] + ... [mm] +a_{ni} [/mm] * [mm] c_n.
[/mm]
dies ist der i-te Spaltenvektor deiner Matrix [mm] M_f^{BC}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Di 30.01.2007 | | Autor: | peter_d |
man, ich danke dir vielmals
eine sehr ausführliche erklärung
danke und gruß
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