Frage zu Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Fr 10.09.2010 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | | Bestimme [mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx} [/mm] |
Hallo!
Habe die Lösung dieser Aufgabe (Integration durch Substitution).
Meine Frage bezieht sich darauf, warum ich diese Aufgabe
nicht wie folgt lösen kann.
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}
[/mm]
[mm] {\f f(x) := \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} = (1-x^2)^{-\bruch{1}{2}}}
[/mm]
[mm] {\Rightarrow F(x) := 2 (1-x^2)^{\bruch{1}{2}} = 2\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
Also:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx=[2\wurzel{1-x^2}]\vmat{ \bruch{1}{2} \\ 0 }=2\wurzel{\bruch{3}{4}}-2 \approx -0,268}
[/mm]
Mit Integration durch Substiution ist die Lösung hingegen:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx = \bruch{\pi}{6}}
[/mm]
Vielen Dank für jede Antwort!
Gruß
chesn
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> Bestimme
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]
>
> Hallo!
Hallo,
> Habe die Lösung dieser Aufgabe (Integration durch
> Substitution).
> Meine Frage bezieht sich darauf, warum ich diese Aufgabe
> nicht wie folgt lösen kann.
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]
>
> [mm]{\f f(x) := \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} = (1-x^2)^{-\bruch{1}{2}}}[/mm]
>
> [mm]{\Rightarrow F(x) := 2 (1-x^2)^{\bruch{1}{2}} = 2\wurzel{1-x^2}}[/mm]
>
Leite doch einfach mal deine erhaltene Funktion F wieder ab. Dann kommt nicht deine Ausgangsfunktion heraus, wenn du die Kettenregel richtig anwendest! Also ist deine Stammfunktion fehlerhaft.
> Also:
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx=[2\wurzel{1-x^2}]\vmat{ \bruch{1}{2} \\ 0 }=2\wurzel{\bruch{3}{4}}-2 \approx -0,268}[/mm]
>
> Mit Integration durch Substiution ist die Lösung
> hingegen:
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx = \bruch{\pi}{6}}[/mm]
>
> Vielen Dank für jede Antwort!
>
> Gruß
> chesn
Gruß Patrick
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