Frage zu Funktionenfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich stehe gerade bei Funktionenfolge etwas auf dem Schlauch.
Ich möchte zeigen, dass [mm] f_n(x)=x^n [/mm] gleichmäßig auf dem Intervall (0,q) mit 0<q<1 konvergiert.
Dazu wähle ich zunächst epsilon>0 beliebig
Da die Grenzfunktion f(x)=0 ist, muss ich zeigen, dass
[mm] x^n [/mm] < epsilon. Aus der Voraussetzung entnehmen wir, dass
x<q bzw [mm] x^n [/mm] < [mm] q^n. [/mm]
Jetzt meine Frage Wenn ich wüsste, dass [mm] q^n [/mm] < epsilon
dann könnte ich, dass ganze Umformen und ich würde ein [mm] n_0 [/mm] unabhängig von x erhalten ab dem die Folge konvergiert.
Doch woher weiß ich, dass [mm] x^n [/mm] < [mm] q^n [/mm] < epsilon gilt??
Kann mir jemand helfen? Steh auf dem Schlauch.
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Falsche Frage! Die richtige Frage wäre: Ab welchem n gilt [mm]q^n < \epsilon[/mm]? Logarithmieren könnte helfen...
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Ah okay...ja passt.
Ich hab mal eine Frage zu der Quantorenschreibweise von der gleichmäßigen Konvergenz.
Unzwar folgende Frage:
a) Warum erhalte ich die Negation der Aussage wenn ich "Es existiert ein..." und "für alle" vertausche?
b) Ich kann mir die Negation der Aussage der gleichmäßigen Stetigkeit irgendwie noch nicht so richtig bildlich vorstellen. Sie lautet ja:
[mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall N(\varepsilon) [/mm] natürlich [mm] \exists [/mm] x in I [mm] (n>=N(\varepsilon) \Rightarrow |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon)
[/mm]
So auf deutsch heißt das ja:
Es existiert ein Epsilon größer 0 für alle N ( in Abhängigkeit von Epsilon ) sodass ein ein x in einem Intervall I existiert sodass wenn n größer oder gleich N ist, dann folgt...usw.
Was mir hier unklar ist, ist wie das dritte "Existiert" grammatisch korrekt in den Satz eingebunden wird und warum
es überhaupt dasteht. Die tatsächliche Aussage (also nicht die Negation) von der glmg. Konvergenz ist mir klar.
Aber ich kann mir die Negation irgendwie nicht bildlich im Kopf veranschaulichen.
Gruß
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Zu b) fällt mir gerade nichts ein, aber zu a) kann ich dir folgendes anbieten:
Eine Aussage gilt entweder allgemein ("für alle") oder es findet sich ("es existiert") eine Ausnahme, für die die Aussage nicht gilt (sondern das Gegenteil = Negation).
Eigentlich logisch, oder? (Ist ja auch Logik ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") ) In der Mathematik unterstellen wir mal, dass wir es mit einer ![[]](/images/popup.gif) zweiwertigen Logik (es gibt nur wahr oder falsch) zu tun haben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Di 20.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Da 0<q<1, ist [mm] (q^n) [/mm] eine Nullfolge
FRED
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