Frage zu Eigenwerten/vektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Di 29.03.2011 | | Autor: | Kayle |
| Aufgabe | "Gibt es eine Basis von V, die nur aus Eigenvektoren von f besteht?
f: V [mm] \to [/mm] V, V Vektorraum." |
Hallo,
ich habe mir ein paar Fragen überlegt, die man mir in der Prüfung stellen könnte, und bin dann auf diese gekommen.
Könnte man darauf so antworten:
Man muss überprüfen ob die Matrix diagonalisierbar ist. Um das festzustellen muss man zuerst die Eigenwerte -, vektoren - und räume aufstellen? Damit sehe ich, ob es eine Basis gibt, die das erfüllt.
Denn wenn eine Matrix diagonalisierbar ist, gilt ja
[mm] A'=TAT^{-1} [/mm] und dann besteht A nur aus Eigenwerten und T aus Eigenvektoren. Also wenn die Matrix diagonalisierbar ist, gibt es eine solche Basis.
Ist das richtig?
Mfg
Kayle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Di 29.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> "Gibt es eine Basis von V, die nur aus Eigenvektoren von f
> besteht?
> f: V [mm]\to[/mm] V, V Vektorraum."
>
> Hallo,
>
> ich habe mir ein paar Fragen überlegt, die man mir in der
> Prüfung stellen könnte, und bin dann auf diese gekommen.
>
> Könnte man darauf so antworten:
> Man muss überprüfen ob die Matrix diagonalisierbar ist.
> Um das festzustellen muss man zuerst die Eigenwerte -,
> vektoren - und räume aufstellen? Damit sehe ich, ob es
> eine Basis gibt, die das erfüllt.
>
> Denn wenn eine Matrix diagonalisierbar ist, gilt ja
Das ist so O.K.
>
> [mm]A'=TAT^{-1}[/mm] und dann besteht A nur aus Eigenwerten
........... von ............ ?
> und T aus Eigenvektoren. Also wenn die Matrix diagonalisierbar
> ist,
................welche ?
> gibt es eine solche Basis.
Hier hast Du nur ein paar Symbole aneinandergereit ! Und Dich wiederholt !
FRED
>
> Ist das richtig?
>
> Mfg
> Kayle
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Di 29.03.2011 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
>
> >
> > [mm]A'=TAT^{-1}[/mm] und dann besteht A nur aus Eigenwerten
>
> ........... von ............ ?
Okay. Also meine eigentliche Überlegung ist: Warum bilde ich eigentlich Eigenwerte, etc.. Darum kam ich auf die Frage. Es ist natürlich einfacher wenn ich Matrizen habe, die nur aus Eigenvektoren bestehen, bzw. wenn bei der Muliplikation nur Skalare vorkommen.
Also ich möchte doch eine Koordinatenmatrix A' haben, die sich möglichst einfach darstellt.
Ich möchte also wissen, ob es eine invertierbare Matrix T gibt, so dass gilt
[mm] A'=diag(\lambda_1,...,\lambda_n)= T*A*T^{-1} [/mm] existiert.
Ich berechne also meine Eigenvektoren, [mm] v_1,..,v_n [/mm] und damit kann ich dann T aufstellen. Ich könnte also auch A darstellen mit [mm] T^{-1}*diag(\lamda_1,...,\lambda_2)*T.
[/mm]
Stimmt das? Wie gesagt, es geht vorallem darum, dass ich sagen kann, WIESO man eigentlich Eigenwerte etc sucht.
Gruß
Kayle
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Di 29.03.2011 | | Autor: | lexjou |
Hallo,
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> Also ich möchte doch eine Koordinatenmatrix A' haben, die
> sich möglichst einfach darstellt.
>
> Ich möchte also wissen, ob es eine invertierbare Matrix T
> gibt, so dass gilt
> [mm]A'=diag(\lambda_1,...,\lambda_n)= T*A*T^{-1}[/mm] existiert.
>
> Ich berechne also meine Eigenvektoren, [mm]v_1,..,v_n[/mm] und damit
> kann ich dann T aufstellen. Ich könnte also auch A
> darstellen mit [mm]T^{-1}*diag(\lamda_1,...,\lambda_2)*T.[/mm]
>
> Stimmt das? Wie gesagt, es geht vorallem darum, dass ich
> sagen kann, WIESO man eigentlich Eigenwerte etc sucht.
>
Ja, das ist richtig!
Erklären kannst Du Dir das mit der Multiplikation von [mm]T^{-1}[/mm] von links!
Also:
[mm]A'=T*A*T^{-1}
\textrm{Multiplikation mit } T^{-1} \textrm{von links } (\textrm{da } T^{-1}*T=I)
T^{-1}*A'=T^{-1}*T*A*T^{-1}
\Rightarrow T^{-1}*A'=A*T^{-1}
\textrm{und nun Multiplikation mit T von rechts}
T^{-1}*A'*T=A*T^{-1}*T
\Rightarrow T^{-1}*A'*T=A
[/mm]
Dein Gedanke war also richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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