Frage < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Mo 11.07.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Ich verstehe nicht, welcher Satz beim berechnen des Integrals über die Gauß-Glockenkurve ein zurückführen von Einfachintegral auf ein Doppelintegral erlaubt.
Also:
Das Integral lautet: [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} {e^(-x^2) dx}
[/mm]
Jetzt führt man ja das Einfach-Integral auf ein Doppelintegral, d.h.:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ \integral_{-\infty}^{\infty} {e^(-x^2-y^2) dxdy}} [/mm]
Ich verstehe aber nicht, welcher Satz das besagt, dass dies erlaubt ist????
Anschließend verwendet man die Transformationsformel, um von kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten über zu gehen, dies ist mir klar. Aber die Verwendung von Einfach- zu Doppelintegral ist mir nicht klar.
Vielen Dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Dieser Schritt ist eigentlich kein Problem:
Wir haben ja:
$ [mm] \left(\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, dx \right)^2 [/mm] = [mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\, [/mm] dy [mm] \cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, [/mm] dx$,
denn es ist ja egal, wie wir die Integrationsvariablen nennen. Nun ist [mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\, [/mm] dy$ eine konstante Zahl (die insbesondere nicht von $x$ abhängt), die wir in das Integral $ [mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, [/mm] dx$ "reinziehen" können:
[mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\, [/mm] dy [mm] \cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, [/mm] dx = [mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left[\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}\, dy \right]e^{-x^2}\, [/mm] dx$.
Andererseits hängt nun für jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] der Term [mm] $e^{-x^2}$ [/mm] nicht von $y$ ab und lässt sich somit in das (innere) Integral [mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}\, [/mm] dy$ "reinziehen", so dass wir
[mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty}\left[ \int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}\, dy\right] e^{-x^2}\, [/mm] dx = [mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}e^{-y^2} \cdot e^{-x^2}\, dy\, [/mm] dx$
erhalten. Dies liefert aber wegen [mm] $e^{-y^2}\cdot e^{-x^2} [/mm] = [mm] e^{-y^2-x^2}$ [/mm] die Behauptung.
Nach dem Satz von Tonelli ist dies dann gleich
$ [mm] \int\limits_{\IR^2} e^{-x^2-y^2}\, [/mm] d(x,y)$,
und man kann die Transformationsformel im [mm] $\IR^2$ [/mm] (über die Polarkoordinaten) anwenden.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
|
