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Wenn ich eine exakte Sequenz 0 [mm] \to [/mm] U [mm] \stackrel{\alpha}{\to} [/mm] V [mm] \stackrel{\beta}{\to} [/mm] W habe, die bei U,V,W exakt ist.
1)
Das heißt doch, dass
Bild( [mm] \alpha)=Ker(\beta) [/mm] für exakt bei V
0=Ker( [mm] \alpha) [/mm] exakt bei U
[mm] Bild(\beta)=0 [/mm] exakt bei W
2)
[mm] \alpha [/mm] ist ja injektiv, denn ker( [mm] \alpha)=0.
[/mm]
Wie aber kann ich zeigen, dass [mm] \beta [/mm] surjektiv ist?
3)
Wie zeig ich nun, das dim V = dim U + dim W ist und umgekehrt, dass dim U + dim W = dim V ?
Ich weiß, dass ich dafür die Dimensionsformel
dim V = dim [mm] Ker(\beta) [/mm] + dim [mm] Bild(\beta) [/mm] verwenden muss.
Wie aber zeige ich, dass dim U = dim [mm] Ker(\beta) [/mm] = dim [mm] Bild(\alpha) [/mm] und dimW = dim [mm] Bild(\beta) [/mm] (=0?) ??
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Hallo!
Von einer kurzen exakten Sequenz spricht man eigentlich immer, wenn folgendes gemeint ist:
$0 [mm] \to [/mm] U [mm] \stackrel{\alpha}{\to} [/mm] V [mm] \stackrel{\beta}{\to} [/mm] W [mm] \to [/mm] 0$
Sonst macht "Exaktheit bei $W$" auch keinen Sinn...
Damit ist die Surjektivitaet von [mm] $\beta$ [/mm] klar, denn das Bild von $W$ unter der letzten Abbildung ist nur die 0, damit liegt ganz $W$ im Kern dieser Abbildung und damit ist ganz $W$ im Bild von [mm] $\beta$. [/mm] Fehlt die letzte 0 ist [mm] $\beta$ [/mm] im Allg. auch nicht surjektiv.
Die Dimensionen gehen mit der Dimensionsformel:
[mm] $\dim Bild(\beta) [/mm] = [mm] \dim [/mm] W$ ist klar wegen der Surjektivitaet.
Die Dimensionsformel fuer [mm] $\alpha$ [/mm] ergibt:
[mm] $\dim [/mm] U = [mm] \dim Kern(\alpha) [/mm] + [mm] \dim Bild(\alpha) [/mm] = [mm] \dim Kern(\beta)$
[/mm]
Denn der Kern von [mm] $\alpha$ [/mm] ist trivial [mm] ($\alpha$ [/mm] ist injektiv!!) und das Bild von [mm] $\alpha$ [/mm] ist wegen der Exaktheit gleich dem Kern von [mm] $\beta$.
[/mm]
Alles zusammen ergibt nun die Behauptung.
Kannst Du ausserdem zeigen: $W [mm] \cong [/mm] V / [mm] \alpha(U)$? [/mm] 
(Ich nehme mal an, dass es sich hier um Vektorraeume handelt und nicht etwa um Moduln oder so...)
Lars
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Vielen Dank für deine Hilfe.
Nach langem Überlegen, bin ich zu dem selben Ergebnis gekommen.
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