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| Aufgabe | 4. a) Prüfen Sie direkt mit Hilfe der Defnition, ob die Funktion
f(x; y) = [mm] x^{2}y [/mm] für [mm] (x_{0}; y_{0}) \in \IR^{2} [/mm] (Fréchet)-differenzierbar ist und geben Sie ggf. die F-Ableitung [mm] f_{0}(x_{0}; y_{0}) [/mm] und den Rest [mm] r\vektor{h \\ k} [/mm] an.
Beachte: L = [mm] f_{0}(x_{0}; y_{0}) [/mm] ist eine lineare Abbildung von [mm] \IR^{2} \to \IR
[/mm]
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http://www.math.uni-leipzig.de/~schumann/an/anaII.pdf
Seite 27 bzw. 28 ist die Definition sowie ein Beispiel gegeben. Leider kann ich damit gar nichts anfangen, weil ich einfach nicht versteh, was in dem beispiel gemacht wird. Ich habe das mit dem hier mal einfach genauso gemacht um da am Ende bei mir der Rest genauso aussieht, komme ich natürlich eig aufs gleiche nur statt [mm] x_{0} [/mm] habe ich halt [mm] x_{0}^{2}.
[/mm]
Nun wollte ich erstmal wissen ob das stimmt, und desweiteren obs mir jemand verständlich erklären kann.
Mfg Leipziger
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hallo Leipziger,
ich finde, dass die Definition und das Beispiel im "Schumann"
sehr klar dargestellt sind. Nun ginge es also darum, das nur
ganz leicht abgeänderte Beispiel analog durchzunehmen.
Beginnen würde das so:
[mm]f(x_o+h,y_o+k) =(x_o+h)^2*(y_o+k)=(x_o^2+2x_oh+h^2)(y_o+k)[/mm]
[mm]=x_o^2y_o+kx_o^2+2hx_oy_o+2hkx_o+h^2y_o+h^2k[/mm]
[mm]= f(x_o,y_o)+(2x_oy_o,x_o^2)*\vektor{h\\k}+r(h,k)[/mm]
mit [mm]\ r(h,k)=2hkx_o+h^2y_o+h^2k[/mm]
Und nun bleibt zu beweisen, dass [mm] \limes_{h^2+k^2\to 0}{\bruch{|r(h,k)|}{\wurzel{h^2+k^2}}}=0 [/mm] ist.
LG
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Ja das habe ich auch so gemacht, wollte nur wissen, ob das auch der richtige Weg war. Trotzdem versteh ich eigentlich die Vorgehensweise nicht, ich kann das zwar genauso ausführen, aber verstanden habe ich es nicht!
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> Ja das habe ich auch so gemacht, wollte nur wissen, ob das
> auch der richtige Weg war.
oh, dann habe ich dich vorher nicht ganz verstanden - sorry !
> Trotzdem versteh ich eigentlich
> die Vorgehensweise nicht, ich kann das zwar genauso
> ausführen, aber verstanden habe ich es nicht!
es ist eigentlich ganz analog wie im eindimensionalen Fall
einer Funktion [mm] f:\IR \mapsto \IR [/mm] : um die Ableitung an der
Stelle [mm] x_0 [/mm] zu berechnen, schreibt man die Funktion so auf:
[m]\ f(x)=f(x_0+h)=f(x_0)+m*h+nichtlinearer\ Rest(h) [/m]
[mm] m=f'(x_0) [/mm] ist die Tangentensteigung, [mm] y=f(x_0)+f'(x_0)*h =y_0+m*(x-x_0) [/mm] oder y=m*x+b
ist die Gleichung der Tangente.
Die nichtlinearen Anteile beschreiben die Abweichung der Kurve von
der Tangente.
Damit eine solche überhaupt existiert, ist die Bedingung zu erfüllen:
[mm] \limes_{h\to 0}\bruch{|Rest(h)|}{|h|}=0
[/mm]
Im Fall einer Funktion [mm] f:\IR^2 \mapsto \IR [/mm] spielt sich das ganze
einfach in einer Dimension höher ab: Anstatt einer Tangente
haben wir eine Tangentialebene
T: [mm] z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)*h+f_y(x_0,y_0)*k [/mm] = A*x+B*y+C
und ein Restglied, das von [mm] h=x-x_0 [/mm] und [mm] k=y-y_0 [/mm] abhängig ist. Wieder
muss dieses Restglied für kleine Werte von |h| und |k| genügend
klein bleiben, nämlich eben
[mm] \limes_{b\to 0}\bruch{|Rest(h,k)|}{b}=0 [/mm] wenn b der Betrag des Vektors [mm] \vektor{h\\k} [/mm] ist,
damit eine Tangentialebene existiert.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Leipziger |
Danke für diese ausführliche Erklärung :) Ich denke jetzt versteh ich auch, was ich eigentlich gemacht habe *grins*
Haste vllt noch eine Idee für?
Sei X = R und Q [mm] \subset [/mm] X die Menge der rationalen Zahlen. Was sind
[mm] Q^{o}; \partial Q;\overline{Q} [/mm] ?
Das heißt ich muss die Menge der inneren - und Randpunkte, sowie wie die der abgeschlossenen rationalen Zahlen aufschreiben, richtig? Wie mach ich das denn am sinnvollsten bzw. haste ne gute Definition für die jeweilige Menge?
Mfg Leipziger
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| Aufgabe |
Haste vllt noch eine Idee für?
Sei X = R und Q [mm] \subset [/mm] X die Menge der rationalen Zahlen. Was sind
[mm] Q^{o}; \partial Q;\overline{Q} [/mm] ? |
Danke für diese ausführliche Erklärung :) Ich denke jetzt versteh ich auch, was ich eigentlich gemacht habe *grins*
Haste vllt noch eine Idee für die Aufgabe?
Das heißt ich muss die Menge der inneren - und Randpunkte, sowie wie die der abgeschlossenen rationalen Zahlen aufschreiben, richtig? Wie mach ich das denn am sinnvollsten bzw. haste ne gute Definition für die jeweilige Menge?
Mfg Leipziger
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Na, das ist schon ein ganz anderes Thema. Schau einmal da nach:
http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Topologie:_Inneres,_Abschluss,_Rand
und da:
http://de.wikipedia.org/wiki/Offene_Menge
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