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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Do 07.01.2010 | | Autor: | massimo |
Hallo,
ich hätte eine Frage zur Interpretation des freien Produkts beim
Wedge-Produkt [mm] S^1 \vee S^1, [/mm] genauer: mit Seifert van Kampen
bekommen wir raus, dass die Fundamentalgruppe des Wed.Prod.
isomorph zu Z * Z ist (Z = ganze Zahlen). Mich interessiert nun, wie ich die
Elemente von Z * Z mit den Homotopieklassen in Verbindung bringe. Die
Intuition, die ich habe, ist die, dass ich (bis auf Homotopie) die
Schleifenumläufe im 1. und im 2. Kreis zähle. So steht z.B.
34 für: 3 Umläufe im 1., danach 4 Umläufe im 2. Kreis.
123 für: 1 Umlauf im 1., danach 2 Umläufe im 2., dannach 3 Umläufe
im 1. Kreis. Spinnen wir den Gedanken - falls es bisher richtig ist - mal
weiter:
angenommen ich mache einen Umlauf im 1. Kreis, danach 0 Umläufe im 2.
Kreis. Da Z * Z reduzierte Wörter sind und das neutrale Element der
Gruppe Z (also die 0) als das leere Wort interpretiert wird müsste
1 rauskommen. Analoge Überlegung würde dann aber die 1 mit
"mache einen Umlauf im 2. Kreis, danach 0 Umläufe im 1. Kreis"
identifizieren, also Wid.. Der Punkt ist also, dass ich in G1 * G2 im
Falle von G1 = G2 die Buchstaben (hier Zahlen) des Wortes aus G1 * G2
nicht mehr den Gruppen zuordnen kann.
Habe ich irgendwo einen Denkfehler, oder ist Z * Z eine schlampige
Notation für z.B. (Z x {0}) * (Z x {1}), sprich man führt eine künstliche
Unterscheidung der Gruppen ein (ähnlich wie bei der Summentopologie)
Wär cool, wenn jemand helfen könnte,
Max
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Hallo!
Du hast Dir deine Frage letztlich schon selbst beantwortet: Du mußt die beiden Gruppen als unterscheidbar ansehen, "das eine [mm] $\IZ$" [/mm] ist also ungleich dem anderen. Das stellt in der ursprünglichen Version des Ergebnisses von Seifert-van Kampen kein Problem dar, da (mit geeignet umständlicher Notation) die beiden Gruppen unterscheidbar sind, z.B. indem man schreibt
[mm] $\pi_1(S^1\wedge S^1,\{(1,0),(1,1)\})\cong \pi_1(S^1\times\{0\},(1,0))\*\pi_1(S^1\times\{1\},(1,1))$, [/mm] sprich, man unterscheidet die "linke" [mm] $S^1$ [/mm] von der rechten.
Langer Rede kurzer Sinn: es kommt genau das raus, was Du vermutet hast,
nämlich
[mm] $(\IZ\times\{0\})\*(\IZ\times\{1\})$.
[/mm]
Viele Grüße,
Christian
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