Fouriertransformation von cos < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Sa 25.08.2007 | | Autor: | Tequila |
Hallo,
ich soll die Funktion [mm] \bruch{1}{\pi}cos(at) [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] Fouriertransformieren
da diese Funktion gerade ist, habe ich es so probiert:
F(w) = [mm] \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\infty}{cos(wt)cos(at) dt}
[/mm]
und auch mit dem allgemeinen Fourierintegral also von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty
[/mm]
ich bekomme aber immer Terme raus, bei denen ich t -> [mm] \infty [/mm] laufen lassen muss mit z.B.
[mm] e^{-i*t} [/mm]
(normalerweise beommt man einen etwas anderen Term raus, aber es geht mir ums Prinzip der komplexen e-Funktion)
Nunja, aber das ist doch schlichtweg einfach nicht definiert, oder? ich drehe mich ja im Prinzip im Kreis wenn ich gegen [mm] \infty [/mm] gehe.
Oder gibt es einen anderen Lösungsweg, wie ich an Fouriertransformationen von Cos(t) oder Sin(t) allgemein rangehe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Sa 25.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich soll die Funktion [mm]\bruch{1}{\pi}cos(at)[/mm] a [mm]\in \IR[/mm] Fouriertransformieren
>
> da diese Funktion gerade ist, habe ich es so probiert:
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>
> F(w) = [mm]\bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\infty}{cos(wt)cos(at) dt}[/mm]
>
> und auch mit dem allgemeinen Fourierintegral also von
> [mm]-\infty[/mm] bis [mm]\infty[/mm]
>
> ich bekomme aber immer Terme raus, bei denen ich t ->
> [mm]\infty[/mm] laufen lassen muss mit z.B.
> [mm]e^{-i*t}[/mm]
>
> (normalerweise beommt man einen etwas anderen Term raus,
> aber es geht mir ums Prinzip der komplexen e-Funktion)
>
> Nunja, aber das ist doch schlichtweg einfach nicht
> definiert,
Richtig, dieses Integral existiert so nicht. Man muss die Theorie der verallgemeinerten Funktionen (Distributionen) bemühen. Du willst das Integral
[mm]\integral_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{i(w-a)t} dt [/mm]
ausrechnen, heraus kommt die Delta-Distribution [mm] \delta(w-a)[/mm].
Man kann allerdings sich auch anders überlegen, wie das Ergebnis aussehen muss.
Die Fouriertransformierte einer Funktion gibt das Frequenzspektrum an. Nun ist die Ausgangsfunktion [mm]\bruch{1}{\pi}cos(at)[/mm] eine Schwingung mit einer festen Frequenz a. Also wäre die Fouriertransformierte eine Funktion F(w), die überall 0 ist außer bei w=a.
Soweit so gut, aber so eine Funktion hilft uns nicht weiter, denn bei der Rücktransformation von F(w) zu f(t) kommt sofort 0 heraus, weil die Funktion F(w) fast überall 0 ist.
Deswegen ist F(w) in diesem Fall eine verallgemeinerte Funktion, genauer gesagt (bis auf einen Vorfaktor) die Summe zweier Delta-Distributionen [mm]\delta(a-w) + \delta(a+w)[/mm]. Die Delta-Distribution hat nämlich die Eigenschaft
[mm]\integral_{-\infty}^{+\infty} \delta(w-a) g(w) dw = g(a)[/mm].
Wenn du [mm]\delta(a-w) + \delta(a+w)[/mm] in die Rücktransformation einsetzt, bekommst du die Summe zweier e-Funktionen: [mm]\mathrm{e}^{iat}+\mathrm{e}^{-iat}[/mm] und damit [mm]\cos(at)[/mm] (Vorfaktoren überlasse ich dir  ).
Grüße
Rainer
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