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Hallo,
ich lese gerade die Bände "Höhere Mathematik für Ing." und bin im 3. Band bei einem Beweis zur Fouriertransformation hängengeblieben. Vielleicht kann mir ja jemand helfen. Es geht um folgenden Satz:
Für Funktionen f [mm] \in \partial [/mm] läßt sich f aus g mit Hilfe der Umkehrformel
f(x) = [mm] \integral_{- \infty}^{ \infty} [/mm] {g(s)*exp(i*x*s) ds}
berechnen. Dabei ist die Menge [mm] \partial [/mm] folgendermaßen definiert:
[mm] \partial [/mm] = {f [mm] \in C^\infty(R) [/mm] | sup [mm] |x^p [/mm] * [mm] f^q [/mm] (x) | < [mm] \infinity, [/mm] p,q [mm] \in [/mm] N0}
Das [mm] f^q [/mm] heisst q. Ableitung. p und q kommen aus den nat. Zahlen mit 0. Die Menge beschreibt alle komplexwertigen Fkt. die beliebig oft stetig diff'bar sind und mitsamt allen ihren Ableitungen stärker als jede Potenz von 1/|x| für [mm] |x|->\infinity [/mm] gegen 0 konvergieren.
Jetzt soll an einer Stelle im Beweis folgendes gezeigt werden:
[mm] s^p [/mm] * [mm] g^q [/mm] (s) ist beschränkt. Es wurde nun gezeigt:
[mm] s^p [/mm] * [mm] g^q [/mm] (s) = [mm] (-i)^p [/mm] * [mm] \integral_{- \infty}^{ \infty} [/mm] {exp(-i*x*s) [mm] (d/dt)^p [(-it)^q [/mm] *f(t)] dt}
Jetzt steht drunter: "Da mit f auch [mm] (-it)^q [/mm] f und [mm] (d/dt)^p [(-it)^q [/mm] *f(t)] zu [mm] \partial [/mm] gehören, folgt hieraus die Beschränktheit von [mm] s^p [/mm] * [mm] g^q [/mm] (s)."
Das ist genau die Stelle, die ich nicht verstehe. Ich sehe ein, dass [mm] (d/dt)^p [(-it)^q [/mm] *f(t)] zu [mm] \partial [/mm] gehört, aber warum ist dann das gesamte Integral beschränkt? Vielleicht kann mir jemand helfen. Ich überlege nun schon eine ganze Weile, komme aber nicht so recht weiter.
Auf jeden Fall vielen Dank schonmal
Viele Grüße
Marco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Mo 29.08.2005 | | Autor: | choosy |
Schau einfach mal scharf hin: ist
[mm](d/dt)^p [(-it)^q \cdot f(t)] \in \partial[/mm],
so ist
[mm] $\sup \big\|\left(\frac{d}{dt}\right)^p [(-it)^q \cdot [/mm] f(t)] [mm] \big\| [/mm] =:c < [mm] \infty$
[/mm]
(auch wenn [mm] $(s^p*g^q)(s)$ [/mm] keine glückliche bezeichnung ist, behalte ich sie mal bei)
also ist
[mm] $|(s^p*g^q)(s) [/mm] |= [mm] \big|(-i)^p\cdot \int_{-\infty}^{\infty} [/mm] exp(-i*x*s) [mm] \cdot \left(\frac{d}{dt}\right)^p [(-it)^q \cdot [/mm] f(t)]dt [mm] \big| \leq |(-i)^p [/mm] | [mm] \cdot\int_{-\infty}^{\infty}| [/mm] exp(-i*x*s) [mm] \cdot [/mm] c | [mm] \;dt [/mm] = $ konstant,
also beschränkt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Cardmaker |
Hallo,
vielen vielen Dank. Jetzt hab ichs verstanden. War eigentlich gar nicht mal so schwer, aber wenn man so einen langen Beweis ließt grübelt man dann auch schon mal an den "einfachen" Sachen. Hätte es aber wohl alleine nicht hingekriegt.
Vielen Dank nochmals
Liebe Grüße
Marco
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