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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Fourierreihen der Funktion [mm] $f:[-\pi [/mm] , [mm] \pi]:\rightarrow\IR$ [/mm] mit
[mm] $f(x)=\frac14 (\cos(x)-1)(\sin(x)+\frac32)$
[/mm]
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Hi,
also ich stehe vor folgendem Problem. f [mm] 2$\pi$-periodisch, [/mm] aber weder achsen-, noch punktsymmetrisch. Ich weiß also, meine Fourierreihe $F$ sieht so aus:
[mm] $F=\frac{a_0}2 [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{\infty} a_k (\cos(kx)+b_k\sin(kx)$
[/mm]
mit [mm] $a_k=\frac1{\pi} [/mm] + [mm] \int_{-\pi}^{\pi}f(x) \cos(kx) [/mm] dx$ und [mm] $b_k$ [/mm] entsprechend mit [mm] $\sin$ [/mm] statt [mm] $\cos$. [/mm]
Kann es nun sein, dass die Koeffizienten bis auf [mm] $a_0$ [/mm] alle wegfallen? Das hab ich jedenfalls raus:
[mm] $a_0=-\frac34,~a_k=b_k=0 ~\forall k\geq [/mm] 1$
Macht irgendwie wenig Sinn oder?
lg, Ole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Mi 18.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Was Du gerechnet hast weiß ich nicht, es ist jedenfalls falsch.
Die Fourierreihe Deiner Funktion ist nicht konstant !
Bei der Darstellunh der Fourierkoeff. ist Dir wahrscheinlich ein Tipfehler unterlaufen: vor dem Integral steht kein "+" Zeichen sondern..... ?
FRED
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Ja klar, da muss ein [mm] $\cdot$ [/mm] hin, aber das ändert an meiner Rechnung nichts:
[mm] $a_k=\frac1{\pi}\cdot \int_{-\pi}^{\pi} [/mm] f(x) [mm] \cdot \cos(kx) [/mm] dx$
Es ist
[mm] $f(x)\cos(kx)=\frac14(\cos(x)-1)(\sin(x)+\frac32)\cos(kx)$.
[/mm]
Mittels der Beziehung [mm] $\sin(x)\cos(y)=\frac12(\sin(x-y)+\sin(x+y))$ [/mm] kriege ich
[mm] $f(x)\cos(kx)=\frac14\left(\frac12 \sin(2x) -\sin(x)+\frac32\cos(x)-\frac32\right)\cos(kx)$
[/mm]
Nun benutze noch die Beziehung [mm] $\cos(x)\cos(y)=\frac12(\cos(x-y)+\cos(x+y))$ [/mm] und erhalte
[mm] $f(x)\cos(kx)=\frac14\left(\frac14(\sin((2-k)x) + \sin((2+k)x))-\frac12(\sin((1-k)x)+\sin((1+k)x)) +\frac34(cos((1-k)x)+cos((1+k)x))-\frac32 \cos(kx)
\right)$
[/mm]
Hierüber kann ich nun leicht integrieren. Dabei fallen alle [mm] $\cos$-Terme [/mm] weg, weil sie durch Integration [mm] $\sin$-Terme [/mm] werden und [mm] $\sin(n\pi)=0$ [/mm] für [mm] $n\in \IZ$. [/mm] Es bleiben also lauter [mm] $\cos$-Terme [/mm] mit irgendwelchen Faktoren übrig. Da aber [mm] $\cos(n\pi)=\cos(-n\pi)$ [/mm] für [mm] $n\in\IZ$ [/mm] hebt sich alles auf.
Wo liegt mein Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 20.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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