matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Uni-Komplexe Analysis > Fourierreihe und Laurentreihe
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Fourierreihe und Laurentreihe
Fourierreihe und Laurentreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Fourierreihe und Laurentreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Mi 13.03.2013
Autor: loggeli

Aufgabe
Stellen Sie die Fourierreihe von

\(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), \begin{equation} f(t) = \frac{\sin(t)}{2+\cos(t)} \end{equation}

mit Hilfe einer Laurentreihe einer geeigneten holomorphen Funktion g auf.

Hallo liebe Mathefreunde,

ich habe zunächst die Funktion in eine komplexe holomorphe Funktion umgeschrieben.

\(g(z) = i\cdot \frac{(1-z^{2})}{z^{2}+4z+1}\)

Hier habe ich jetzt eine Polynomdivision und eine Partialbruchzerlegung ausgeführt.

\(g(z) = -i + i\cdot (\sqrt{3}+2) \cdot \frac{1}{z-(-2-\sqrt{3})} - i (2-\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{z-(-2+\sqrt{3})}\)

Diesen Term habe ich dann jeweils nach Fallunterscheidung in eine Laurentreihe entwickelt.

\begin{equation} g(z)= \begin{cases} -i + i\cdot \sum_{n=0}^{\infty} [(-2+\sqrt{3})^{-n} + (-2+\sqrt{3})^{n}]z^{n} & |z| < -2 + \sqrt{3}\\\\ -i + i\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2-\sqrt{3})^{-n} z^{n}+ i\cdot \sum_{n=-\infty}^{-1} (-2+\sqrt{3})^{-n} z^{n} & -2 + \sqrt{3} < |z| < - 2 - \sqrt{3}\\\\ -i + i\cdot \sum_{n=-\infty}^{-1} (-2-\sqrt{3})^{-n} z^{n} + i\cdot \sum_{n=-\infty}^{-1} (-2+\sqrt{3})^{-n} z^{n} & |z| > -2-\sqrt{3}\\ \end{cases} \end{equation}

Meine Frage:
Nun weiß ich leider nich genau, welche der Konvergenzberreiche ich für die Entwicklung in eine Fourierreihe benutzen soll. Könnt ihr mir da vielleicht weiterhelfen?

Ich freue mich auf eine Antwort :-)

Beste Grüße,
loggeli
        
Bezug
Fourierreihe und Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Do 14.03.2013
Autor: MathePower

Hallo loggeli,

> Stellen Sie die Fourierreihe von
>
> > \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), > \begin{equation} > f(t) = \frac{\sin(t)}{2+\cos(t)} > \end{equation} >
>  
> mit Hilfe einer Laurentreihe einer geeigneten holomorphen
> Funktion g auf.
>  Hallo liebe Mathefreunde,
>  
> ich habe zunächst die Funktion in eine komplexe holomorphe
> Funktion umgeschrieben.
>  
> > \(g(z) = i\cdot \frac{(1-z^{2})}{z^{2}+4z+1}\) >
>  
> Hier habe ich jetzt eine Polynomdivision und eine
> Partialbruchzerlegung ausgeführt.
>  
> > \(g(z) = -i + i\cdot (\sqrt{3}+2) \cdot \frac{1}{z-(-2-\sqrt{3})} - i (2-\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{z-(-2+\sqrt{3})}\) >
>  
> Diesen Term habe ich dann jeweils nach Fallunterscheidung
> in eine Laurentreihe entwickelt.
>  
> > \begin{equation} > g(z)= > \begin{cases} > -i + i\cdot \sum_{n=0}^{\infty} [(-2+\sqrt{3})^{-n} + (-2+\sqrt{3})^{n}]z^{n} & |z| < -2 + \sqrt{3}\\\\ > -i + i\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2-\sqrt{3})^{-n} z^{n}+ i\cdot \sum_{n=-\infty}^{-1} (-2+\sqrt{3})^{-n} z^{n} & -2 + \sqrt{3} < |z| < - 2 - \sqrt{3}\\\\ > -i + i\cdot \sum_{n=-\infty}^{-1} (-2-\sqrt{3})^{-n} z^{n} + i\cdot \sum_{n=-\infty}^{-1} (-2+\sqrt{3})^{-n} z^{n} & |z| > -2-\sqrt{3}\\ > \end{cases} > \end{equation} >
>  
> Meine Frage:
>  Nun weiß ich leider nich genau, welche der
> Konvergenzberreiche ich für die Entwicklung in eine
> Fourierreihe benutzen soll. Könnt ihr mir da vielleicht
> weiterhelfen?
>  


Benutze den Kreisring.

[mm]-2 + \sqrt{3} < |z| < 2 + \sqrt{3}[/mm]


> Ich freue mich auf eine Antwort :-)
>  
> Beste Grüße,
>  loggeli


Gruss
MathePower
Bezug
                
Bezug
Fourierreihe und Laurentreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:08 Do 14.03.2013
Autor: loggeli

Hallo Mathepower,

danke für die Antwort. Ich habe nun folgendermaßen weitergerechnet:
g(z) = -i + i\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2-\sqrt{3})^{-n} z^{n}+ i\cdot \sum_{n=-\infty}^{-1} (-2+\sqrt{3})^{-n} z^{n}

g(z) = -i + i\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2+\sqrt{3})^{n} z^{n}- i\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2+\sqrt{3})^{-n} z^{-n}

g(z) = -i + i\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2+\sqrt{3})^{n} (z^{n} - z^{-n})

z^{n} = cos(n\phi) + i\cdot sin(n\varphi)

g(z) = -i + i\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2+\sqrt{3})^{n} (2i\sin(n\varphi))

Somit bekomme ich als Ergebnis für die Fourierreihe
g(z) = -i - 2\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2+\sqrt{3})^{n} (\sin(n\varphi))

Wäre sehr nett, wenn Du mir sagen könntest, ob das so richtig ist, bzw. wo ich da nen Fehler reingehauen hab. Vielen Dank :-)

Grüße,
loggeli
Bezug
                        
Bezug
Fourierreihe und Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 Do 14.03.2013
Autor: MathePower

Hallo loggeli,

> Hallo Mathepower,
>  
> danke für die Antwort. Ich habe nun folgendermaßen
> weitergerechnet:
>   > > g(z) = -i + i\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2-\sqrt{3})^{-n} z^{n}+ i\cdot \sum_{n=-\infty}^{-1} (-2+\sqrt{3})^{-n} z^{n} > >
>  
> > > g(z) = -i + i\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2+\sqrt{3})^{n} z^{n}- i\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2+\sqrt{3})^{-n} z^{-n} > >
>  
> > > g(z) = -i + i\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2+\sqrt{3})^{n} (z^{n} - z^{-n}) > >
>  
> > z^{n} = cos(n\phi) + i\cdot sin(n\varphi) >
>  
> > > g(z) = -i + i\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2+\sqrt{3})^{n} (2i\sin(n\varphi)) > >
>  
> Somit bekomme ich als Ergebnis für die Fourierreihe
>   > g(z) = -i - 2\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2+\sqrt{3})^{n} (\sin(n\varphi)) >
>  


Das "-i" ist zuviel, ansonsten stimmt die erhaltene Fourierreihe.


> Wäre sehr nett, wenn Du mir sagen könntest, ob das so
> richtig ist, bzw. wo ich da nen Fehler reingehauen hab.
> Vielen Dank :-)
>  
> Grüße,
>  loggeli


Gruss
MathePower
Bezug
                                
Bezug
Fourierreihe und Laurentreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:38 Fr 15.03.2013
Autor: loggeli

Hallo Mathepower,

danke für die Antwort. Ich hatte mir schon gedacht, dass das i da zu viel ist, da die Fourierreihe ja eigentlich reell sein sollte.

Das i kommt bei mir wegen der Polynomdivision von g(z) mit ins Spiel.

g(z) = -i - 2\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2+\sqrt{3})^{n} \sin(n\varphi)

Für n=0 gilt ja g(z)=-i. Kann man dann für g(z) einfach dieses hier schreiben

g(z) = - 2\cdot \sum_{n=1}^{\infty} (-2+\sqrt{3})^{n} \sin(n\varphi)

Habe jetzt die Summe bei n=1 loslaufen lassen.

Grüße,
loggeli
Bezug
                                        
Bezug
Fourierreihe und Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Fr 15.03.2013
Autor: MathePower

Hallo loggeli,

> Hallo Mathepower,
>  
> danke für die Antwort. Ich hatte mir schon gedacht, dass
> das i da zu viel ist, da die Fourierreihe ja eigentlich
> reell sein sollte.
>


Für die erste Summe lautet das erste Glied "i".
Damit ergibt -i+i=0.


> Das i kommt bei mir wegen der Polynomdivision von g(z) mit
> ins Spiel.
>
> > g(z) = -i - 2\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2+\sqrt{3})^{n} \sin(n\varphi) >
>  
> Für n=0 gilt ja g(z)=-i. Kann man dann für g(z) einfach
> dieses hier schreiben
>  
> > g(z) = - 2\cdot \sum_{n=1}^{\infty} (-2+\sqrt{3})^{n} \sin(n\varphi) >
>  
> Habe jetzt die Summe bei n=1 loslaufen lassen.
>  
> Grüße,
>  loggeli


Gruss
MathePower
Bezug
                                                
Bezug
Fourierreihe und Laurentreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:18 Sa 16.03.2013
Autor: loggeli

Hallo,

mir sind noch zwei letzte Fragen zu der Sache aufgekommen:

1.) Erstes Glied der Summe

$ > g(z) = -i - [mm] 2\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2+\sqrt{3})^{n} \sin(n\varphi) [/mm] > $

Hier ist bei n=0 die Summe doch 0 oder? Ich steh da grad etwas auf dem Schlauch.

2.) Berreich der Laurentreihe

Nimmt man grad den mittleren Entwicklungsberreich, weil hier die Laurentreihe absolut konvergiert, oder gibt es da noch einen anderen Grund? Mir war am Anfang garnicht klar, welchen Berreich ich jetzt für die Fourierreihe nehmen sollte.

Wäre sehr nett, wenn Ihr mir dazu etwas sagen könntet :-)

Viele Grüße,
loggeli

Bezug
                                                        
Bezug
Fourierreihe und Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:41 Sa 16.03.2013
Autor: MathePower

Hallo loggeli,

> Hallo,
>  
> mir sind noch zwei letzte Fragen zu der Sache aufgekommen:
>  
> 1.) Erstes Glied der Summe
>  
> [mm]> g(z) = -i - 2\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2+\sqrt{3})^{n} \sin(n\varphi) >[/mm]
>  
> Hier ist bei n=0 die Summe doch 0 oder? Ich steh da grad
> etwas auf dem Schlauch.
>  


Ich bin von dieser Darstellung ausgegangen:

[mm] g(z) = -i + i\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2-\sqrt{3})^{-n} z^{n}+ i\cdot \sum_{n=-\infty}^{-1} (-2+\sqrt{3})^{-n} z^{n}[/mm]

Die erste Summe ist

[mm]i\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2-\sqrt{3})^{-n} z^{n}[/mm]

Davon das erste Glied ist: [mm]i\cdot (-2-\sqrt{3})^{-0} z^{0}=i[/mm]


> 2.) Berreich der Laurentreihe
>  
> Nimmt man grad den mittleren Entwicklungsberreich, weil
> hier die Laurentreihe absolut konvergiert, oder gibt es da
> noch einen anderen Grund? Mir war am Anfang garnicht klar,
> welchen Berreich ich jetzt für die Fourierreihe nehmen
> sollte.

>


Ein möglicher Grund ist doch offensichtlich:

Es tauchen positive wie negative Exponenten auf.

Im Falle der beiden anderen Entwicklungsbereiche
tauchen entweder nur positive oder negative Exponenten auf.


> Wäre sehr nett, wenn Ihr mir dazu etwas sagen könntet
> :-)
>  
> Viele Grüße,
>  loggeli

>


Gruss
MathePower  
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]