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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 So 10.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich soll folgende Aufgabe lösen
[mm] f(x)=x^2 [/mm] ,x [mm] \in [/mm] [- [mm] \pi ,\pi [/mm] )
Nun soll ich die Funktion skizzieren und die Fourierreihe berechnen.
Ich arbeite heute zum ersten Mal mit Fourierreihen und dementsprechend sicher fühle ich mich auch
Ich steh leider nur im Moment vor der allg Def für [mm] f(x)=\bruch{a_0}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}(ak [/mm] cos(kx)+bk sin(kx))
und eben die Defintionen für ak,bk und [mm] a_0 [/mm]
[mm] ak=\bruch{2}{T}\integral_{c}^{c+T}{f(x)*cos(kx)dx}
[/mm]
[mm] bk=\bruch{2}{T}\integral_{c}^{c+T}{f(x)*sin(kx)dx}
[/mm]
[mm] a_0=\bruch{1}{T}\integral_{c}^{c+T}{f(x)dx}
[/mm]
Nun meine Fragen: Wie bekomme ich meine Skizze hin [mm] f(x)=x^2 [/mm] ist klar aber von - [mm] \pi [/mm] bis [mm] \pi??
[/mm]
T=ist ja meine Periodendauer oder?
Was setze ich aber für c und T ein?
Könnt ihr mich vielleicht durch dieses Bsp durchleiten damit ich es verstehe.Denn alleine wird es denke ich sehr schwierig werden
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Hallo racy90,
> Hallo
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> Ich soll folgende Aufgabe lösen
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> [mm]f(x)=x^2[/mm] ,x [mm]\in[/mm] [- [mm]\pi ,\pi[/mm] )
>
> Nun soll ich die Funktion skizzieren und die Fourierreihe
> berechnen.
>
> Ich arbeite heute zum ersten Mal mit Fourierreihen und
> dementsprechend sicher fühle ich mich auch
>
> Ich steh leider nur im Moment vor der allg Def für
> [mm]f(x)=\bruch{a_0}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}(ak[/mm] cos(kx)+bk
> sin(kx))
>
> und eben die Defintionen für ak,bk und [mm]a_0[/mm]
>
> [mm]ak=\bruch{2}{T}\integral_{c}^{c+T}{f(x)*cos(kx)dx}[/mm]
> [mm]bk=\bruch{2}{T}\integral_{c}^{c+T}{f(x)*sin(kx)dx}[/mm]
> [mm]a_0=\bruch{1}{T}\integral_{c}^{c+T}{f(x)dx}[/mm]
>
> Nun meine Fragen: Wie bekomme ich meine Skizze hin [mm]f(x)=x^2[/mm]
> ist klar aber von - [mm]\pi[/mm] bis [mm]\pi??[/mm]
>
Skizziere f(x) in diesem Intervall.
> T=ist ja meine Periodendauer oder?
> Was setze ich aber für c und T ein?
>
Die Berechnung der Fourierkoeffiizienten
ist unabhängig vom Integrationsintervall, d.h.
Ebenso kann
[mm]a_{k}=\bruch{2}{T}\integral_{c-\blue{\bruch{T}{2}}}^{c+\blue{\bruch{T}{2}}}{f(x)*cos(kx)dx}[/mm]
[mm]b_{k}=\bruch{2}{T}\integral_{c-\blue{\bruch{T}{2}}}^{c+\blue{\bruch{T}{2}}}{f(x)*sin(kx)dx}[/mm]
[mm]a_{0}=\bruch{2}{T}\integral_{c-\blue{\bruch{T}{2}}}^{c+\blue{\bruch{T}{2}}}{f(x)dx}[/mm]
berechnet werden.
Hier ist dann z.B. c=0, [mm]T=2*\pi[/mm].
> Könnt ihr mich vielleicht durch dieses Bsp durchleiten
> damit ich es verstehe.Denn alleine wird es denke ich sehr
> schwierig werden
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 So 10.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Okay ich habe nun meine Parabel im Intervall - [mm] \pi [/mm] bis [mm] \pi [/mm] skizziert
Dann wäre zb [mm] a_k=\bruch{2}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{f(x)\cdot{}cos(kx)dx}
[/mm]
Wie gehe ich nun weiter vor?
Wenn diese Koeffizenten unabhängig sind dann könnte ich ja zb auch c=2 und T=3 [mm] \pi [/mm] nehmen oder?
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Hallo racy90,
> Okay ich habe nun meine Parabel im Intervall - [mm]\pi[/mm] bis [mm]\pi[/mm]
> skizziert
>
> Dann wäre zb [mm]a_k=\bruch{2}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{f(x)\cdot{}cos(kx)dx}[/mm]
>
> Wie gehe ich nun weiter vor?
>
Funktion einsetzen, integrieren und auswerten.
> Wenn diese Koeffizenten unabhängig sind dann könnte ich
> ja zb auch c=2 und T=3 [mm]\pi[/mm] nehmen oder?
Nein, das Integrationsintervall muss schon dieselbe Länge haben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 So 10.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Naja ich habe diese allgemeine Form [mm] a_k=\bruch{2}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{f(x)\cdot{}cos(kx)dx}
[/mm]
[mm] a_k=\bruch{2}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{x^2\cdot{}cos(kx)dx}
[/mm]
diese habe ich dann für k=1,2,3 ausgewertet
[mm] a_1=-4 [/mm] ; [mm] a_2=1 ;a_3=-4/9
[/mm]
eingesetzt hier [mm] a_{0}+\summe_{k=1}^{\infty}{a_{k}\cdot{}\cos\left(k\cdot{}x\right) ergibt mir für die ersten 3 Glieder
\bruch{2 \pi}{3}+\summe_{k=1}^{\infty}{-4cos(x)+cos(2x)-4/9cos(3x)}}
[/mm]
Aber das kann ja noch nicht alles gewesen sein weil die Reihe ja von k=1 bis [mm] \infty [/mm] geht
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Hallo racy90,
> Naja ich habe diese allgemeine Form [mm]a_k=\bruch{2}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{f(x)\cdot{}cos(kx)dx}[/mm]
>
> [mm]a_k=\bruch{2}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{x^2\cdot{}cos(kx)dx}[/mm]
>
> diese habe ich dann für k=1,2,3 ausgewertet
>
> [mm]a_1=-4[/mm] ; [mm]a_2=1 ;a_3=-4/9[/mm]
>
> eingesetzt hier
> [mm]a_{0}+\summe_{k=1}^{\infty}{a_{k}\cdot{}\cos\left(k\cdot{}x\right) ergibt mir für die ersten 3 Glieder
\bruch{2 \pi}{3}+\summe_{k=1}^{\infty}{-4cos(x)+cos(2x)-4/9cos(3x)}}[/mm]
>
Die Fourierreihe lautet doch:
[mm] \bruch{\pi^{2}}{3}+4\summe_{k=1}^{\infty}{\bruch{\left(-1\right)^{k}}{k^{2}}*\cos\left(k*x\right)[/mm]
> Aber das kann ja noch nicht alles gewesen sein weil die
> Reihe ja von k=1 bis [mm]\infty[/mm] geht
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 So 10.06.2012 | | Autor: | racy90 |
okay ich bekomme nun für [mm] a_k [/mm] folgende Werte heraus: k=1 -> -4,k=2->1 ,k=3-->-4/9
für [mm] b_k=0 [/mm] für alle k
[mm] a_0= \bruch{2\i}{3}
[/mm]
Wie schreibe ich nun meine Fourierreihe an ,ich kann doch nicht k= \ infty berechnen ;)
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Hallo racy90,
> okay ich bekomme nun für [mm]a_k[/mm] folgende Werte heraus: k=1 ->
> -4,k=2->1 ,k=3-->-4/9
>
> für [mm]b_k=0[/mm] für alle k
>
> [mm]a_0= \bruch{2\i}{3}[/mm]
>
> Wie schreibe ich nun meine Fourierreihe an ,ich kann doch
> nicht k= \ infty berechnen ;)
Sicher hast Du auch eine allgemeine Formel für die [mm]a_{k}[/mm].
Die Fourierreihe ergibt sich dann zu:
[mm]a_{0}+\summe_{k=1}^{\infty}{a_{k}*\cos\left(k*x\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 So 10.06.2012 | | Autor: | racy90 |
OKay vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:27 Mo 11.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Ich hätte noch eine andere Frage
Wenn ich zb die Funktion f(x)= |cos(x/2)| ,x [mm] \in [/mm] R
Die Skizze habe ich richtig,es sind lauter kleine Wellenberge im Abstand von [mm] \pi
[/mm]
Wie wähle ich nun mein T?
Da es sich um eine gerade Funktion handelt würde ich sagen der [mm] B_k-Teil [/mm] fällt wieder weg oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Mo 11.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Könnte jemand schauen ob meine Gedankenschritte richtig wären .Danke schon mal im voraus !
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Hallo racy90,
> Ich hätte noch eine andere Frage
>
> Wenn ich zb die Funktion f(x)= |cos(x/2)| ,x [mm]\in[/mm] R
>
> Die Skizze habe ich richtig,es sind lauter kleine
> Wellenberge im Abstand von [mm]\pi[/mm]
>
> Wie wähle ich nun mein T?
>
Die Funktion innerhalb der Betragszeichen ist [mm]4\pi[/mm]-periodisch.
Durch die Betragszeichen wird die Funktion [mm]2\pi[/mm]-periodisch.
> Da es sich um eine gerade Funktion handelt würde ich sagen
> der [mm]B_k-Teil[/mm] fällt wieder weg oder?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Mo 11.06.2012 | | Autor: | racy90 |
das heißt mein T=2 [mm] \pi
[/mm]
mein [mm] a_k =\bruch{2}{T}*\integral_{0}^{\pi}{cos(x/2)*cos(kx)dx}
[/mm]
Muss ich den Betrag beim integrieren beachten?
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Hallo racy90,
> das heißt mein T=2 [mm]\pi[/mm]
>
> mein [mm]a_k =\bruch{2}{T}*\integral_{0}^{\pi}{cos(x/2)*cos(kx)dx}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Muss ich den Betrag beim integrieren beachten?
In dem oben angegeben Integrationsintervall ist [mm]\cos\left(\bruch{x}{2}\right) \ge 0[/mm]
Wenn das Integrationsintervall z.B. [mm]\left[0;2\pi\right][/mm] lautet,
dann müßtest Du die Betragszeichen beachten.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Di 12.06.2012 | | Autor: | racy90 |
okay danke
für [mm] a_0 [/mm] hätte ich heraus wenn vor dem Integral 1/T steht dann komme ich auf 1/ [mm] \pi [/mm] oder wenn 2/T vor dem Integral bei [mm] a_0 [/mm] steht auf 2/ [mm] \pi
[/mm]
für [mm] a_k [/mm] fehlt mir nicht mehr viel : [mm] a_0+2\summe_{=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{?}*\pi [/mm] *cos(kx)
? deshalb weil ich mir eben nicht sicher bin für [mm] a_1=2/3 \pi a_2=-2/15 \pi [/mm] und [mm] a_3 [/mm] =2/35 [mm] \pi
[/mm]
Nun weiß ich nicht so ganz wie ich das formulieren solldas der Nenner auch immer passt
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Hallo racy90,
> okay danke
>
> für [mm]a_0[/mm] hätte ich heraus wenn vor dem Integral 1/T steht
> dann komme ich auf 1/ [mm]\pi[/mm] oder wenn 2/T vor dem Integral
> bei [mm]a_0[/mm] steht auf 2/ [mm]\pi[/mm]
>
[mm]a_{0}=\bruch{2}{\pi}[/mm] ist richtig.
> für [mm]a_k[/mm] fehlt mir nicht mehr viel :
> [mm]a_0+2\summe_{=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{?}*\pi[/mm]
> *cos(kx)
>
> ? deshalb weil ich mir eben nicht sicher bin für [mm]a_1=2/3 \pi a_2=-2/15 \pi[/mm]
> und [mm]a_3[/mm] =2/35 [mm]\pi[/mm]
>
Falls die [mm]a_{k}[/mm] unter dem Summenzeichen stehen,
dann stimmen diese.
Falls nicht, dann wirst Du feststellen, daß die Fourierreihe
nicht den Wert am Maximum hat, welchen f(x) hat.
Wenn Du das Integral allgemein ausrechnest,
dann ergibt sich im Nenner [mm]4*k^{2}-1[/mm].
> Nun weiß ich nicht so ganz wie ich das formulieren solldas
> der Nenner auch immer passt
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Di 12.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Dankeschön!
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