Fourierreihe, Parseval, Konv. < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Mi 27.11.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion
[mm] $f(x):=\begin{cases}x(\pi-x), & x\in [0,\pi]\\-x(\pi+x), & x\in [-\pi,0]\end{cases}$.
[/mm]
(a) Berechnen Sie die trigonometrische Fourierreihe von $f$.
(b) Untersuchen Sie die erhaltene Reihe auf Konvergenz (absolute und gleichmäßige).
(c) Schreiben Sie die zugehörige Parsevalgleichung auf. |
Hallo und guten Abend!
Ich weiß, daß die Aufgabe etwas Rechenarbeit ist und bin mir daher nicht so sicher, ob jemand wirklich Lust hat, meine Ergebnisse zu kontrollieren. Aber ich wage einen Versuch. 
Zu (a):
[mm] $f(x)=\frac{\pi^2}{6}+\sum_{k=1}^{\infty}-\frac{4}{(2k)^2}\cos(2kx)$
[/mm]
Zu (b):
Es gilt für alle [mm] $k\geq [/mm] 1$
[mm] $\left\lvert -\frac{4}{(2k)^2}\cos(2kx)\right\rvert=\frac{4}{(2k)^2}\lvert\cos(2kx)\rvert\leq\frac{4}{(2k)^2}=\frac{1}{k^2}$
[/mm]
und
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}<\infty$,
[/mm]
dh. nach dem Majorantenkriterium von Weierstraß ist
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty}-\frac{4}{(2k)^2}\cos(2kx)$
[/mm]
absolut und gleichmäßig konvergent.
Damit ist die unter (a) angegebene Fourierreihe absolut und gleichmäßig konvergent, da dort nur noch der endliche Summand [mm] $\frac{\pi^2}{6}$ [/mm] hinzukommt und der natürlich an der gleichmäßigen und absoluten Konvergenz nichts ändert.
Zu (c):
Parseval'sche Gleichung:
[mm] $\frac{\pi^4}{18}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{16}{(2k)^4}=\frac{x^4}{15}$
[/mm]
Ich würde mich freuen, wenn sich jemand tatsächlich die Mühe machen würde und mir sagen könnte, ob meine Resultate stimmen (oder nicht).
Liebe Grüße!
mikexx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Mi 27.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie die Funktion
>
> [mm]f(x):=\begin{cases}x(\pi-x), & x\in [0,\pi]\\-x(\pi+x), & x\in [-\pi,0]\end{cases}[/mm].
>
> (a) Berechnen Sie die trigonometrische Fourierreihe von [mm]f[/mm].
> (b) Untersuchen Sie die erhaltene Reihe auf Konvergenz
> (absolute und gleichmäßige).
> (c) Schreiben Sie die zugehörige Parsevalgleichung auf.
>
>
> Hallo und guten Abend!
>
> Ich weiß, daß die Aufgabe etwas Rechenarbeit ist und bin
> mir daher nicht so sicher, ob jemand wirklich Lust hat,
> meine Ergebnisse zu kontrollieren. Aber ich wage einen
> Versuch.
>
> Zu (a):
>
> [mm]f(x)=\frac{\pi^2}{6}+\sum_{k=1}^{\infty}-\frac{4}{(2k)^2}\cos(2kx)[/mm]
>
> Zu (b):
>
> Es gilt für alle [mm]k\geq 1[/mm]
> [mm]\left\lvert -\frac{4}{(2k)^2}\cos(2kx)\right\rvert=\frac{4}{(2k)^2}\lvert\cos(2kx)\rvert\leq\frac{4}{(2k)^2}=\frac{1}{k^2}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}<\infty[/mm],
>
> dh. nach dem Majorantenkriterium von Weierstraß ist
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty}-\frac{4}{(2k)^2}\cos(2kx)[/mm]
>
> absolut und gleichmäßig konvergent.
>
> Damit ist die unter (a) angegebene Fourierreihe absolut und
> gleichmäßig konvergent, da dort nur noch der endliche
> Summand [mm]\frac{\pi^2}{6}[/mm] hinzukommt und der natürlich an
> der gleichmäßigen und absoluten Konvergenz nichts
> ändert.
Bis hier ist alles O.K.
>
>
> Zu (c):
>
> Parseval'sche Gleichung:
>
> [mm]\frac{\pi^4}{18}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{16}{(2k)^4}=\frac{x^4}{15}[/mm]
Das ist Unfug. Rechts sollte stehen:
[mm] $\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\left|f(x)\right|^2 \mathrm [/mm] dx $
FRED
>
>
>
>
> Ich würde mich freuen, wenn sich jemand tatsächlich die
> Mühe machen würde und mir sagen könnte, ob meine
> Resultate stimmen (oder nicht).
>
> Liebe Grüße!
>
> mikexx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Mi 27.11.2013 | | Autor: | mikexx |
Hallo, fred97!
Danke für Deine Antwort, ich bin ganz verwundert, wie schnell das ging.
>
> Das ist Unfug. Rechts sollte stehen:
>
>
>
> [mm]\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\left|f(x)\right|^2 \mathrm dx[/mm]
>
Die rechte Seite ist dann
[mm] $\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x^2(\pi-x)^2\, [/mm] dx$.
Und das muss ich jetzt nicht weiter ausrechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Mi 27.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, fred97!
>
> Danke für Deine Antwort, ich bin ganz verwundert, wie
> schnell das ging.
> >
> > Das ist Unfug. Rechts sollte stehen:
> >
> >
> >
> > [mm]\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\left|f(x)\right|^2 \mathrm dx[/mm]
>
> >
>
> Die rechte Seite ist dann
>
> [mm]\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x^2(\pi-x)^2\, dx[/mm].
>
> Und das muss ich jetzt nicht weiter ausrechnen?
Das ist zu empfehlen !
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mi 27.11.2013 | | Autor: | mikexx |
>
> Das ist zu empfehlen !
>
Da kommt dann m.E. [mm] $\frac{\pi^4}{15}$ [/mm] heraus.
(Im ersten Beitrag habe ich aus Versehen $x$ statt [mm] $\pi$ [/mm] geschrieben.)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
kopiere doch bitte das mit, um das es geht:
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> >
> > Das ist zu empfehlen !
> >
>
> Da kommt dann m.E. [mm]\frac{\pi^4}{15}[/mm] heraus.
rechnen wir es nach:
$ [mm] \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x^2(\pi-x)^2\, dx=\frac{2}{\pi}\left[\frac{\pi^2x^3}{3}-2\pi\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{5}x^5\right]_{x=0}^{x=\pi}=\frac{2}{\pi}*\pi^5\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\right]=2\pi^4*\frac{1}{30}=\frac{\pi^4}{15}\,.$
[/mm]
Ich nehm' aber auch an, dass Du das bei Deiner ersten Antwort mithilfe
der dort stehenden Reihe berechnet hast. Parseval sagt ja im Prinzip,
dass es egal ist, wie Du es rechnest (im Prinzip kann man damit also
auch [mm] $\sum_{k=1}^\infty 1/k^2=\pi^2/6$ [/mm] nachweisen - wenn man halt rechterhand das Integral
so ausrechnet, wie ich es hier nachgerechnet habe).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Mi 27.11.2013 | | Autor: | mikexx |
Danke!
Damit habe ich alles verstanden :D
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