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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Fr 30.12.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | | Will die Forierreihe der Funktion [mm] sin^{2}(t) [/mm] bestimmen. |
Frage: Habe derzeit zwei Methoden kennengelernt, wie man eine Forierreihe aufstellen kann.
Die eine Methode beruht darauf, dass man [mm] a_{0}, a_{k} [/mm] und [mm] b_{k} [/mm] bestimmt.
[mm] f(t)=\frac{a_0}{2} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^\infty (a_k \cdot \cos(k \omega [/mm] t) + [mm] b_k \cdot \sin(k \omega [/mm] t)).
Eine andere Methode ist:
[mm] \displaystyle f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\omega t} [/mm]
Dabei ist
[mm] \displaystyle c_n =\frac1T\int_{c}^{c+T} [/mm] f(t) [mm] \mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\omega t} [/mm] dt
Komplex zu reell:
[mm] \displaystyle a_0 [/mm] = 2 [mm] \cdot c_0
[/mm]
[mm] \displaystyle a_n [/mm] = [mm] c_n [/mm] + [mm] c_{-n}\!
[/mm]
[mm] \displaystyle b_n [/mm] = [mm] \mathrm{i} (c_n [/mm] - [mm] c_{-n})\! [/mm]
Kann ich eigentlich immer die komplexe Variante verwenden?
Jetzt zu der Aufgabe:
Will die Furierreihe der [mm] sin^{2}(t) [/mm] aufstellen.
Ich verwende dazu die komplexe FR.
[mm] c_{n}= \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_{0} sin^{2}(t) e^{-int} [/mm] dt [mm] (\omega [/mm] =1)
Frage: gibt es vielleicht Tabellen, die einem helfen die Forierreihe aufzustellen (habe bis jetzt nur Tabellen für die Furiertransformation gesehen), oder muss ich es per Hand machen?
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Hallo zoj,
> Will die Forierreihe der Funktion [mm]sin^{2}(t)[/mm] bestimmen.
> Frage: Habe derzeit zwei Methoden kennengelernt, wie man
> eine Forierreihe aufstellen kann.
>
> Die eine Methode beruht darauf, dass man [mm]a_{0}, a_{k}[/mm] und
> [mm]b_{k}[/mm] bestimmt.
>
> [mm]f(t)=\frac{a_0}{2}[/mm] + [mm]\sum_{k=1}^\infty (a_k \cdot \cos(k \omega[/mm]
> t) + [mm]b_k \cdot \sin(k \omega[/mm] t)).
>
> Eine andere Methode ist:
>
> [mm]\displaystyle f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\omega t}[/mm]
> Dabei ist
>
> [mm]\displaystyle c_n =\frac1T\int_{c}^{c+T}[/mm] f(t)
> [mm]\mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\omega t}[/mm] dt
> Komplex zu reell:
>
> [mm]\displaystyle a_0[/mm] = 2 [mm]\cdot c_0[/mm]
> [mm]\displaystyle a_n[/mm] =
> [mm]c_n[/mm] + [mm]c_{-n}\![/mm]
> [mm]\displaystyle b_n[/mm] = [mm]\mathrm{i} (c_n[/mm] - [mm]c_{-n})\![/mm]
>
> Kann ich eigentlich immer die komplexe Variante verwenden?
>
> Jetzt zu der Aufgabe:
>
> Will die Furierreihe der [mm]sin^{2}(t)[/mm] aufstellen.
> Ich verwende dazu die komplexe FR.
>
> [mm]c_{n}= \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_{0} sin^{2}(t) e^{-int}[/mm]
> dt [mm](\omega[/mm] =1)
>
> Frage: gibt es vielleicht Tabellen, die einem helfen die
> Forierreihe aufzustellen (habe bis jetzt nur Tabellen für
> die Furiertransformation gesehen), oder muss ich es per
> Hand machen?
Das geht viel einfacher.
Verwende hierzu dieses Additionstheorem:
[mm]\cos\left(a+b\right)=\cos\left(a\right)*\cos\left(b\right)-\sin\left(a\right)*\sin\left(b\right)[/mm]
mit a=b.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Fr 30.12.2011 | | Autor: | zoj |
$ [mm] \cos\left(a+b\right)=\cos\left(a\right)\cdot{}\cos\left(b\right)-\sin\left(a\right)\cdot{}\sin\left(b\right) [/mm] $
mit a=b.
Aber wenn a=b ist, dann sieht das Additionstheorem doch so aus:
cos(2a) = [mm] cos^{2}(a)-sin^{2}(a) [/mm]
=> [mm] sin^{2}(a)= cos^{2}(a)-cos(2a)
[/mm]
Damit hätte ich anstatt [mm] sin^{2} [/mm] nun [mm] cos^{2} [/mm] stehen.
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Hallo zoj,
>
> [mm]\cos\left(a+b\right)=\cos\left(a\right)\cdot{}\cos\left(b\right)-\sin\left(a\right)\cdot{}\sin\left(b\right)[/mm]
>
> mit a=b.
>
> Aber wenn a=b ist, dann sieht das Additionstheorem doch so
> aus:
> cos(2a) = [mm]cos^{2}(a)-sin^{2}(a)[/mm]
> => [mm]sin^{2}(a)= cos^{2}(a)-cos(2a)[/mm]
>
> Damit hätte ich anstatt [mm]sin^{2}[/mm] nun [mm]cos^{2}[/mm] stehen.
>
Benutze jetzt die Beziehung
[mm]\cos^{2}\left(a\right)=1-\sin^{2}\left(a\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Fr 30.12.2011 | | Autor: | zoj |
> Benutze jetzt die Beziehung
>
> [mm]\cos^{2}\left(a\right)=1-\sin^{2}\left(a\right)[/mm]
Damit bekomme ich für [mm] sin^{2}(a)=\frac{1-cos(2a)}{2} [/mm]
und damit eine Forierreihe:
[mm] c_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}sin^{2}(t) e^{-ikt}dt
[/mm]
= [mm] \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{1-cos(2t)}{2} e^{-ikt}dt
[/mm]
= [mm] \frac{1}{4\pi} \int_{0}^{2\pi} [/mm] 1 - cos(2t) [mm] e^{-ikt}dt
[/mm]
Ist es soweit in Ordnung?
Jetzt muss ich substituieren. Was wäre jetzt sinnvoll?
Habe u = cos(2t) probiert aber da bekomme ich für die obere und untere Integralgrenze jeweils eine 1 raus, was keinen Sinn macht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Fr 30.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch jetzt die [mm] sin^2(t)=0.5-0.5*cos2t
[/mm]
damit hast du doch die ganze -ziemlich kurze- Fourrierreihe!
wenn dus gar nicht siehst: was ist die Fourriereihe von cos(t)?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 So 01.01.2012 | | Autor: | zoj |
Könnt Ihr mal schauen, ob die Forierkoeffizienten zu cos(t) richtig berechnet wurden sind?
da cos(t) gerade:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \frac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} [/mm] f(t) cos(n w t) dt , [mm] b_{n}=0.
[/mm]
[mm] T=2\pi [/mm] => w = 1
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \frac{4}{2\pi} \int^{\pi}_{0} [/mm] cos(kt) cos (nt) dt
hier wende ich ein Additionstheorem an:
= [mm] \frac{4}{2\pi} \int^{\pi}_{0} \frac{1}{2}(cos((k-n)t) [/mm] + cos((k+n)t)) dt
= [mm] \frac{1}{\pi} \int^{\pi}_{0} [/mm] (cos((k-n)t) + cos((k+n)t)) dt
Fallunterscheidungen:
k=n
= [mm] \frac{1}{\pi} \int^{\pi}_{0} [/mm] 1 + cos((k+n)t)) dt
= [mm] \frac{1}{\pi} [t+\frac{1}{(k+n)}sin(t(k+n))]_{0}^{\pi}
[/mm]
= 1 - [mm] \frac{1}{\pi(k+n)}
[/mm]
k [mm] \not= [/mm] n
= [mm] \frac{1}{\pi} \int^{\pi}_{0} [/mm] (cos((k-n)t) + cos((k+n)t)) dt
=0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 So 01.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich versteh die Frage nicht wirklich. hat sie noch mit der Aufgabe zu tun?
willst du wirklich die Fourrierreihe zu cos(kt) durch integrieren berechnen?
und wenn schon wieso ist dann $ [mm] sin(t(k+n))]_{0}^{\pi} [/mm] $ =1?
noch mal die frage ohne jede Rechnung! was ist die fourrierreihe von sin(k*t) was die von cos(k*t) ?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 So 01.01.2012 | | Autor: | zoj |
> Hallo
> Ich versteh die Frage nicht wirklich. hat sie noch mit der
> Aufgabe zu tun?
> willst du wirklich die Fourrierreihe zu cos(kt) durch
> integrieren berechnen?
> und wenn schon wieso ist dann [mm]sin(t(k+n))]_{0}^{\pi}[/mm] =1?
> noch mal die frage ohne jede Rechnung! was ist die
> fourrierreihe von sin(k*t) was die von cos(k*t) ?
> Gruss leduart
Du hast mich vorhin nach der Forierreihe von cos(t) gefragt.
Diese brauchen wir, um diese Aufgabe zu lösen.
Die cos Forierreihe steht bei mir nicht in der Formelsammlung also habe ich diese berechnet.
Mit dem komplexen Ansatz bekomme ich für:
cos(t) : [mm] S_{f}= \summe_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{2}e^{int}
[/mm]
sin(t) : [mm] S_{f}= \summe_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{|2i|}e^{int}
[/mm]
diese Foriereihen habe ich berechnet, stimmen diese so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 So 01.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
cos(t) hat die Fourrierreihe 1*cos(t) sin(t) hat die Fourrierreihe sin(t) (wenn die fkt auf [mm] 2\pi [/mm] periodisch ist. entsprechend. cos(2t) hat die Fourrierreihe 0*cost+1*cos(2t)+0*cos(kt)
es geht doch darum, die koeffizienten zu finden, so dass [mm] f(t)=\sum a_k*cos(kt) [/mm] ist und dabei können natürlich auch fast alle [mm] a_k [/mm] verschwinden!
du hast also mit [mm] sin^2(t)=0.5-0.5*cos(2t) [/mm] die gesamte fourrierreihe! das kommt natürlich auch für deine Rechnung raus, wenn du siehst [mm] k\ne [/mm] n [mm] a_k=0 [/mm] k=n=2 [mm] a_2=1 [/mm] (weil deine [mm] sinn*\pi)=0
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 So 01.01.2012 | | Autor: | zoj |
So langsamm vertsehe ich die Sache.
Also ich habe für cos(t) folgenden Koeffizienten berechnet:
[mm] c_{n}= \frac{1}{2} [/mm] für k = [mm] \pm [/mm] n und 0 sonst.
Mein Cosunus hat dabei n=1. Also cos(1 * t).
Das heißt also, dass der Koeffizient [mm] a_{n}= [/mm] 2 * [mm] \frac{1}{2}=1 [/mm] für n = 1 ist, wobei die restlichen Koeffizienten Null sind.
Jetzt zu der Darstellung der Fourierreihe:
Diese hat ja die Form:
[mm] f_n(t)=\frac{a_0}{2} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^n (a_k \cdot \cos(k \omega [/mm] t) + [mm] b_k \cdot \sin(k\omega [/mm] t)).
und da fallen ja alle Summanden bis auf cos(1*t) weg.
Das habe ich jetzt verstanden.
Jetzt zu meiner Aufgabe:
$ [mm] sin^2(t)=0.5-0.5\cdot{}cos(2t) [/mm] $
Jetzt sehe ich auch, dass es einen Faktor
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] -\frac{1}{2} [/mm] bei n=2
geben muss.
und einen Faktor [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] bei n=0.
Stimmt das jetzt so?
Ich wollte es per Rechnung machen damit ich schonmal Übung hab aber in der Rechnung habe ich kein Faktor [mm] \frac{1}{2} [/mm] raus bekommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Mo 02.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass das stimmt hatte ich doch schon gesagt, aber sowas sinnloses zu rechnen, zeigt dass du nicht verstanden hast dass die sin und cos fkt eine Orthonormalbasis des VR der periodischen fkt sind.
gruss leduart
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